2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月份質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是A． B． C． D．2．已知兩條不同的直線，與兩個不同的平面，，則下列說法正確的是A．若，，則 B．若且，則 C．若，，則直線與是異面直線 D．若，，，則直線與是異面直線3．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，則事件與的關(guān)系是A． B． C．相互獨立 D．互斥4．已知數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為5和4，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為A．9，8 B．9，16 C．19，15 D．20，165．中國古典樂器一般按“八音”分類，這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器分類的方法，最早見于《周禮春宮大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”八類，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器，現(xiàn)從“金、石、木、土、竹、絲”中任取“兩音”，則這“兩音”同為打擊樂器的概率為A． B． C． D．6．在中，，若存在兩個滿足條件，則的長可以為A．2 B． C．3 D．47．如圖，一個棱長為4的正方體封閉容器中，在棱，的中點和頂點處各有一個小洞，則該容器最多能盛水A．36 B．48 C． D．8．四名同學(xué)各擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)下列四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是A．平均數(shù)為2，方差為4 B．平均數(shù)為3，眾數(shù)為2 C．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 D．中位數(shù)為3，方差為0.16二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則A．，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù) B．，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù) C．，，，的標準差不小于，，，的標準差 D．，，，的極差不大于，，，的極差10．對于非零復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的是A．若和互為共軛復(fù)數(shù)，則為實數(shù) B．若為純虛數(shù)，則 C．若，則 D．若，則的最大值為11．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，，是線段的中點，是線段上的動點，則以下結(jié)論正確的是A．平面平面 B．直線與平面所成角正切值的最大值為 C．二面角余弦值的最小值為 D．線段上不存在點，使得平面第II卷（非選擇題92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）（1）計算：；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點位于第四象限，求實數(shù)的取值范圍．16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正切值．17．（本小題滿分15分）2017年國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，方案要求生活垃圾要進行分類管理．某市在實施垃圾分類管理之前，對人口數(shù)量在1萬左右的社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進行了調(diào)查．已知該市這樣的社區(qū)有240個，如圖是某天從中隨機抽取50個社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖．現(xiàn)將垃圾量超過14噸天的社區(qū)稱為“超標”社區(qū)．（1）根據(jù)所給頻率分布直方圖，估計當(dāng)天這50個社區(qū)垃圾量的第分位數(shù)；（2）若以上述樣本的頻率近似代替總體的概率，請估計這240個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)；（3）市環(huán)保部門要對樣本中“超標”社區(qū)的垃圾來源進行調(diào)查，按垃圾量采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣從中抽取5個，再從這5個社區(qū)隨機抽取2個進行重點監(jiān)控，求其中至少有1個垃圾量為，的社區(qū)的概率．18．（本小題滿分17分）如圖，矩形中，，，將沿直線折起至，點在線段上．（1）若平面，求的長；（2）過點作平面的垂線，垂足為，在折起過程中，點在內(nèi)部（包含邊界），求直線與平面所成角正弦值的取值范圍．19．（本小題滿分17分）五行，指金、木、水、火、土五個元素．五行學(xué)說用五行之間的生、克關(guān)系來闡釋事物之間的相互關(guān)系，是中國文化的重要組成部分，五行之間相生相克的關(guān)系如圖所示．現(xiàn)有一個不透明的盒子，盒子中有5個完全相同的小球，5個小球上分別標有“金、木、水、火、土”5個字，代表5個元素．現(xiàn)在甲、乙兩人各從盒子中隨機抽取一個球：（1）若甲抽到的元素克乙抽取的元素，則甲分；（2）若甲抽到的元素生乙抽取的元素，則甲分；（3）若甲抽到的元素被乙抽取的元素克，則甲分；（4）若甲抽到的元素被乙抽取的元素生，則甲分；（5）若甲抽到的元素與乙抽取的元素相同，則甲不計分．現(xiàn)有兩個游戲方案可供甲選擇：方案一：乙先從盒子中隨機抽取一個元素后放回，然后甲再從盒子中隨機抽取一個元素；方案二：乙先從盒子中隨機抽取一個元素不放回，然后甲再從盒子中隨機抽取一個元素．每次積完分后把所有小球放回盒子再進行下次游戲．（1）若按方案一進行兩次游戲，求兩次游戲后甲的積分之和為1分的概率；（2）現(xiàn)在要從方案一或方案二中選一個方案進行兩次游戲，若兩次游戲后甲的積分之和超過1分，則甲獲得勝利．為了盡可能獲勝，甲應(yīng)該選擇哪個方案，請說明理由．2023-2024學(xué)年高一年下學(xué)期6月份質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．【解答】解：，則，其虛部為．故選：．2．【解答】解：兩條不同的直線，與兩個不同的平面，，對于，若，，則與平行或異面，故錯誤；對于，若且，則由面面垂直的判定定理得，故正確；對于，若，，則直線與有可是共面直線，故錯誤；對于，若，，，則直線與相交、平行或異面，故錯誤．故選：．3．【解答】解：正正，正反，正反，反反，故不是的子集，故錯誤；事件“第一枚硬幣正面向上”，事件“第二枚硬幣反面向上”，則，錯誤；，（A）（B），則（A）（B），故與為相互獨立事件，故正確；可以同時發(fā)生，與不為互斥事件，故錯誤．故選：．4．【解答】解：數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為5和4，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為，．故選：．5．【解答】解：記“金、石、木”為，，，“土、竹、絲”為，，，則，，為打擊樂器，從“金、石、木、土、竹、絲”中任取“兩音”，組成的基本事件包含：，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，其中“兩音”同為打擊樂器的有，，，共包含3種情況，則“兩音”同為打擊樂器的概率．故選：．6．【解答】解：根據(jù)正弦定理得：，，若，則，顯然不成立，故錯誤；若，則，存在一個滿足條件，故錯誤；若，則，故可以是銳角，可以是鈍角，存在兩個滿足條件，故正確；若，則，，存在一個滿足條件，故錯誤．故選：．7．【解答】解：設(shè)為中點，為中點，，，則容器最多能盛水的體積為正方體在截面下方的部分，截面上方為棱臺，由題可知，可得為的中點，又，所以，所以棱臺體積，所求體積為．故選：．8．【解答】解：對于，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，1，1，6時，滿足平均數(shù)為2，其方差，可以出現(xiàn)點數(shù)6，所以錯誤；對于，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，2，3，6時，滿足平均數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，所以錯誤；對于，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，2，3，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點數(shù)6，所以錯誤；對于，假設(shè)當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為，，3，，6時，滿足中位數(shù)為3，方差為0.16，且出現(xiàn)點數(shù)6，假設(shè)其平均數(shù)為，則，即，因為，，即，所以，則，顯然方差不成立，即一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6，所以正確．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．【解答】解：選項，，，，的平均數(shù)不一定等于，，，的平均數(shù)，錯誤；選項，，，，的中位數(shù)等于，，，，的中位數(shù)等于，正確；選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，為0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均數(shù)是5，，，，的平均數(shù)是5，，，，的方差，，，，的方差，，，錯誤．選項，，，，正確．故選：．10．【解答】解：對于，和互為共軛復(fù)數(shù)，則，故正確；對于，不妨設(shè)，，，故錯誤；對于，設(shè)，，滿足，但，故錯誤；對于，設(shè)，，則，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，，表示圓上的點到圓心的距離，故的最大值為，故正確．故選：．11．【解答】解：對于，因為底面，平面，所以．因為為正方形，所以，又，平面，平面，所以平面．因為平面，所以．因為，為線段的中點，所以，又因為，平面，平面，所以平面．又因為平面，所以平面平面，故正確；對于，由選項可知平面，所以為直線與平面所成角，則，不妨設(shè)，則在中，，在中，，因為是線段上的動點，故，則，所以直線與平面所成角正切值的最大值為，故正確；對于，由選項可知平面，，平面，所以，，則為二面角的平面角，因為，所以二面角余弦值的最小值為，故正確；對于，當(dāng)與重合時，連接，連接，如圖，因為底面是正方形，所以是的中點，又為線段的中點，所以，又平面，平面，所以平面，即線段上存在點，使得平面，故錯誤．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【解答】解：設(shè)上下底的半徑分別為，則母線，高，構(gòu)成一個直角三角形，母線為斜邊5，高為直角邊4，通過勾股定理得到，即圓臺的側(cè)面積公式，則圓臺的體積：．故答案為：．13．【解答】解：是方程（其中，，的一個根，可得復(fù)數(shù)是方程（其中，，的另一個根，則，，，則．故答案為：7．14．【解答】解：依題意，設(shè)的外接圓的半徑為，三棱錐外接球的半徑為，則，則（負值舍去），因為平面，，所以，即，則（負值舍去），因為，所以為的外接圓的直徑，即，過作交于，連接，如圖，則二面角的平面角，設(shè)，，則由，即故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，即二面角正切值的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）【解答】解：（1）原式；（2）根據(jù)題意可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點位于第四象限，則．16．（本小題滿分15分）【解答】解：（1）證明：連接，交于點，連接，在中，，分別為，的中點，所以，因為面，面，所以面．（2）取中點，連接，，因為，所以，因為，，，所以面，又面，所以，又因為，所以面，所以為與平面所成角，設(shè)，則，，所以，所以與平面所成角的正切值為．17．（本小題滿分15分）【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為：，，，，，，，，，，，，，的頻率分別為：0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，而，，故這50個社區(qū)垃圾量的第分位數(shù)在，內(nèi)，設(shè)為，則，解得：．（2）由（1）得該樣本中“超標”社區(qū)的頻率為，這240個社區(qū)中“超標”社區(qū)的概率為0.2，這240個“超標”社區(qū)的個數(shù)為．（3）由題意得樣本中“超標”社區(qū)共有個，其中垃圾量為，的社區(qū)有個，垃圾量為，的社區(qū)有個，按垃圾量用分層抽樣抽取的5個社區(qū)中，垃圾量為，的社區(qū)有3個，分別記為，，，按垃圾量為，的社區(qū)有2個，分別記為，，從中選取2個基本事件為：，，，，，，，，，，共10個，其中所求事件“至少有1個垃圾量為，的社區(qū)”為：，，，，，，，共7個，重點監(jiān)控社區(qū)中至少有1個垃圾量為，的社區(qū)的概率為：．18．（本小題滿分17分）【解答】解：（1）如圖，連接，因為面，面，面，所以，，在中，，在中，，，在中，，，因為，解得．（2）如圖，連接，設(shè)點到平面的距離為，則直線與平面所成角的正弦值為，因為，所以，所以，當(dāng)點在上時，由（1）可知點與點重合，此時取最小值為，當(dāng)平面平面時，點在上，此時取最大值，因為，所以，因為，所以，所以直線與平面所成角正弦值的取值范圍為，．（本小題滿分17分）【解答】解：（1）按方案一進行第一次游戲，記甲的積分為，分析可知，，0，