第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用1/33考試要求1.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增加特征，A級要求；2.函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等)廣泛應(yīng)用，B級要求．2/33知識梳理幾類函數(shù)模型及其增加差異(1)幾類函數(shù)模型3/33對數(shù)函數(shù)型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)冪函數(shù)型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)4/33(2)指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上增減性單調(diào)單調(diào)單調(diào)遞增增加速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象改變隨x增大逐步表現(xiàn)為與平行隨x增大逐步表現(xiàn)為與平行隨n值改變而各有不一樣值比較存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax遞增遞增y軸x軸5/33診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝2x函數(shù)值比y＝x2函數(shù)值大． () (2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝abx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增加速度越來越快形象比喻． () (3)冪函數(shù)增加比直線增加更加快． () (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)． ()6/33答案(1)×(2)×(3)×(4)√7/338/33答案259/3310/3311/335．(·北京卷改編)加工爆米花時，爆開且不糊粒數(shù)占加工總粒數(shù)百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖統(tǒng)計了三次試驗數(shù)據(jù)．依據(jù)上述函數(shù)模型和試驗數(shù)據(jù)，能夠得到最正確加工時間為________分鐘．12/3313/33答案3.7514/33考點一二次函數(shù)模型【例1】A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為確保城市安全，核電站距城市距離不得小于10km.已知供電費用等于供電距離(km)平方與供電量(億度)之積0.25倍，若A城供電量為每個月20億度，B城供電量為每個月10億度． (1)求x取值范圍； (2)把月供電總費用y表示成x函數(shù)； (3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？15/3316/33規(guī)律方法在建立二次函數(shù)模型處理實際問題中最優(yōu)問題時，一定要注意自變量取值范圍，需依據(jù)函數(shù)圖象對稱軸與函數(shù)定義域之間位置關(guān)系討論求解．17/33【訓(xùn)練1】(·武漢高三檢測)某汽車銷售企業(yè)在A，B兩地銷售同一個品牌汽車，在A地銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該企業(yè)在兩地共銷售16輛該種品牌汽車，則能取得最大利潤是________萬元．18/33答案4319/3320/33規(guī)律方法在實際問題中，相關(guān)人口增加、銀行利率、細(xì)胞分裂等增加率問題慣用指數(shù)函數(shù)模型表示．通常能夠表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增加率，x為時間)形式．解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定值對應(yīng)求解．21/33【訓(xùn)練2】某位股民購進某支股票，在接下來交易時間內(nèi)，他這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，給出該股民關(guān)于這支股票盈虧情況(不考慮其它費用)：①略有盈利；②略有虧損；③沒有盈利也沒有虧損．其中說法正確為________(填序號)．22/33解析設(shè)該股民購這支股票價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經(jīng)歷n次跌停后價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故該股民這支股票略有虧損．答案

②23/3324/3325/3326/3327/33規(guī)律方法(1)很多實際問題中，變量間關(guān)系不能用一個關(guān)系式給出，這時就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型，如出租車票價與旅程函數(shù)就是分段函數(shù)．(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)單調(diào)性等方法．在求分段函數(shù)最值時，應(yīng)先求每一段上最值，然后比較得最大值、最小值．28/33【訓(xùn)練3】某建材商場國慶期間搞促銷活動，要求：用戶購物總金額不超出800元，不享受任何折扣，假如用戶購物總金額超出800元，則超出800元部分享受一定折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算.能夠享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超出500元部分5%超出500元部分10%29/3330/33[思想方法]解函數(shù)應(yīng)用問題步驟(四步八字)(1)審題：搞清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立對應(yīng)數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；31/33(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題意義．以上過程用框圖表示以下：32/33[易錯防范]1．解應(yīng)用題思緒關(guān)鍵是審題，不但要明白、了解問題講是什么，還要尤其注意一些關(guān)鍵字眼(如“幾年后”與“