7．2離散型隨機(jī)變量及其分布列（單元教學(xué)設(shè)計）一、【單元目標(biāo)】（1）理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義．（2）掌握離散型隨機(jī)變量分布列的表示方法和性質(zhì)．（3）理解兩點分布．二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】三、【學(xué)情分析】學(xué)生已經(jīng)全面學(xué)習(xí)了統(tǒng)計概率與排列組合，有了知識上的準(zhǔn)備；并且通過古典概率的學(xué)習(xí)，基本掌握了離散型隨機(jī)變量取某些值時對應(yīng)的概率，有了方法上的準(zhǔn)備，但并未系統(tǒng)化．學(xué)生將在學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)上，利用計數(shù)原理與排列組合知識求古典概型的概率，這是本節(jié)的難點，主要是分清概率類型，計算隨機(jī)變量取得每一個值時的概率．此外，學(xué)生還需要注意是放回抽樣還是不放回抽樣．四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】課時安排：約2課時教學(xué)重點：離散型隨機(jī)變量的概念及其分布列．教學(xué)難點：會寫出隨機(jī)變量的取值以及隨機(jī)試驗的結(jié)果；分布列的求法和性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)方法/過程：五、【教學(xué)問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新情景：在迎奧運會射擊比賽訓(xùn)練中，統(tǒng)計某運動員的射擊結(jié)果可知，該運動員射擊所中環(huán)數(shù)均在7環(huán)（含7環(huán)）以上，已知該運動員射擊一次命中7環(huán)的概率為0．1，射擊一次命中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)的概率依次成等差數(shù)列．你能知道該運動員射擊命中環(huán)數(shù)的概率分布情況嗎？環(huán)節(jié)二、抽象概念，內(nèi)涵辨析1．隨機(jī)變量的概念及分類問題1：（1）某人在射擊訓(xùn)練中，射擊一次，命中的環(huán)數(shù)，能否用數(shù)值表示相應(yīng)結(jié)果呢？（2）籃球運動員每次罰球具有一定的隨機(jī)性，那么他三次罰球的得分結(jié)果可能是什么？（3）擲一枚骰子，出現(xiàn)正面向上的點數(shù)共有幾種不同的數(shù)字？能否用數(shù)值表示相應(yīng)結(jié)果呢？（4）拋擲一枚硬幣，可能會出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？能否用數(shù)值來表示隨機(jī)試驗的結(jié)果呢？【破解方法】（1）試驗結(jié)果：命中1環(huán)，命中2環(huán)，…，命中10環(huán)，用數(shù)值表示試驗結(jié)果：1，2，…，10．（2）投進(jìn)零個球——0分，投進(jìn)一個球——1分，投進(jìn)兩個球——2分，投進(jìn)三個球——3分．（3）共有6種，可以用1，2，3，4，5，6來表示相應(yīng)結(jié)果．（4）擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上．問題2：我們發(fā)現(xiàn)，有些隨機(jī)試驗的樣本點與數(shù)值并沒有直接關(guān)系，這時我們需要采取適當(dāng)?shù)姆椒ń⑵饦颖军c與實數(shù)的聯(lián)系．例如在隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品時，有“抽到正品”和“抽到次品”兩種可能的結(jié)果．你能建立樣本點和實數(shù)之間的對應(yīng)嗎?【破解方法】對于任何一個隨機(jī)試驗，總可以把它們的每一個樣本點與一個實數(shù)對應(yīng)，即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量，來刻畫樣本點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化．因為在隨機(jī)試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，所以變量的取值也具有隨機(jī)性．【歸納新知】（1）隨機(jī)變量隨機(jī)變量是將試驗的結(jié)果數(shù)量化，變量的取值對應(yīng)隨機(jī)試驗的某一個隨機(jī)事件．定義：一般地，對于隨機(jī)試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X（ω）與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．（2）離散型隨機(jī)變量可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱為離散型隨機(jī)變量，通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值．離散型隨機(jī)變量的特征：（1）可以用數(shù)值表示．（2）試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值，但不能確定取何值．（3）試驗結(jié)果能一一列出．（3）隨機(jī)變量和函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．2．離散型隨機(jī)變量的分布列問題3：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的隨機(jī)試驗中，X表示向上的點數(shù)，X的取值有哪些？X取每個值的概率分別是多少？【破解方法】列成表的形式X123456P【歸納新知】（1）離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率為X的概率分布列，簡稱為分布列．（2）可以用表格來表示X的分布列，如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．問題4：類比函數(shù)的研究過程，在引入隨機(jī)變量概念，定義離散型隨機(jī)變量的概率分布列并對分布列做出表示后，你認(rèn)為接下來應(yīng)該研究什么?【破解方法】先由學(xué)生根據(jù)概率的性質(zhì)，結(jié)合具體的實例，小組討論探究獲得離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)．【歸納新知】離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)（1）；（2）．兩點分布對于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗，用表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么的分布列如表所示01我們稱X服從兩點分布或0－1分布．環(huán)節(jié)三：例題練習(xí)，鞏固理解題型一：兩點分布【典例11】一批產(chǎn)品中次品率為5%，隨機(jī)抽取1件，定義，求X的分布列．【解析】根據(jù)X的定義，“抽到次品”，“抽到正品”，則，．則X的分布列為：X01P【典例12】在某項體能測試中，跑1km時間不超過4min為優(yōu)秀．某位同學(xué)跑1km所花費的時間X是離散型隨機(jī)變量嗎？如果只關(guān)心該同學(xué)是否能夠取得優(yōu)秀成績，應(yīng)該如何定義隨機(jī)變量？【解析】若隨機(jī)變量只取有限多個或可列無限多個值，則稱為離散型隨機(jī)變量，在某項體能檢測中，跑時間不超過為優(yōu)秀，某同學(xué)跑所花的時間是連續(xù)的，所以某同學(xué)跑所花費的時間不是離散型隨機(jī)變量，而是連續(xù)型隨機(jī)變量；如果只關(guān)心是否優(yōu)秀，只需要定義一個兩點隨機(jī)變量就可以了，如下：，此時是離散型隨機(jī)變量，它僅有兩個取值，其中表示優(yōu)秀，表示不優(yōu)秀．【變式11】籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0．7，求他罰球1次的得分的分布列．【解析】先確定隨機(jī)變量可能取法，再分別求對應(yīng)概率，最后列表可得分布列，也可根據(jù)二點分布直接得分布列試題解析：解設(shè)此運動員罰球1次的得分為ξ，則ξ的分布列為ξ01P0．30．7（注：ξ服從二點分布）題型二：用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果【典例21】舉出兩個離散型隨機(jī)變量的例子．【解析】（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的次數(shù)；（2）某公共汽車站1分鐘內(nèi)等車的人數(shù)；【典例22】下列隨機(jī)試驗的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請寫出各隨機(jī)變量可能的取值，并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果．（1）拋擲2枚骰子，所得點數(shù)之和；（2）某足球隊在5次點球中射進(jìn)的球數(shù)；（3）任意抽取一瓶標(biāo)有1500mL的飲料，其實際含量與規(guī)定含量之差．【解析】（1）拋擲兩枚骰子所得點數(shù)之和，能用離散型隨機(jī)變量表示，各隨機(jī)變量可能的取值分別為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．2表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為11；3表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為12；21；4表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為13；22；31；5表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為14；23；32；41；6表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為15；51；24；42；33；7表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為16；61；25；52；34；43；8表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為26；62；35；53；44；9表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為36；63；45；54；10表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為46；64；55；11表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為56；65；12表示拋擲兩枚骰子得到的結(jié)果為66．（2）某足球隊在5次點球中射進(jìn)的球數(shù)能用離散型隨機(jī)變量表示，各隨機(jī)變量可能的取值分別為0，1，2，3，4，50表示5次點球中射進(jìn)0球；1表示5次點球中射進(jìn)1球；2表示5次點球中射進(jìn)2球；3表示5次點球中射進(jìn)3球；4表示5次點球中射進(jìn)4球；5表示5次點球中射進(jìn)5球．（3）任意抽取一瓶某種標(biāo)有1500mL的飲料，其實際量與規(guī)定量之差，不能用離散型隨機(jī)變量表示．題型三：求離散型隨機(jī)變量的分布列【典例31】某學(xué)校高二年級有200名學(xué)生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如表所示．

等級不及格及格中等良優(yōu)分?jǐn)?shù)12345人數(shù)2050604030從這200名學(xué)生中任意選取1人，求所選同學(xué)分?jǐn)?shù)X的分布列，以及．【解析】X是一個離散型隨機(jī)變量，其可能取值為1，2，3，4，5，“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“優(yōu)”．根據(jù)古典概型的知識，可得X的分布列，如表所示．X12345P．【典例32】一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺．如果從中隨機(jī)挑選2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列．【解析】設(shè)挑選的2臺電腦中A品牌的臺數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，根據(jù)古典概型的知識，可得X的分布列為，，．用表格表示X的分布列，如表所示．X012P【變式31】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，寫出正面向上次數(shù)X的分布列．【解析】由已知，拋擲一次一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的概率為記正面向上的次數(shù)為，則可取0，1，2，，，，所以正面向上的次數(shù)的分布列為：012題型四：分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用【典例41】已知隨機(jī)變量滿足，，其中為常數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，解得，則，所以．故選：A【典例42】某位同學(xué)求得一個離散型隨機(jī)變量的分布列為：X0123P0．20．30．150．45試說明該同學(xué)的計算結(jié)果是否正確．【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可知：分布列中所有概率之和等于1，而題目中，所以該同學(xué)的計算結(jié)果不正確．環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題5：請你帶著下列問題回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（1）為什么要引入隨機(jī)變量概念？（2）為什么要研究離散型隨機(jī)變量的分布列？（3）根據(jù)本課所舉的例題，你能歸納出求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟嗎？（4）分布列的性質(zhì)在解決概率問題中能起到什么作用?【破解方法】學(xué)生獨立思考總結(jié)，然后進(jìn)行回答，教師適當(dāng)予以引導(dǎo)，師生共同總結(jié)．六、【教學(xué)成果自我檢測】環(huán)節(jié)五：目標(biāo)檢測，檢驗效果1．課桌上有12本書，其中理科書籍有4本，現(xiàn)從中任意拿走6本書，用隨機(jī)變量表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，則概率為的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，故，A正確，其他選項，均不合要求．故選：A2．某銀行有一自動取款機(jī)，在某時刻恰有個人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為，根據(jù)統(tǒng)計得到，則在該時刻沒有人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，則，解得，即該時刻沒有人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為．故選：B．3．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】由題意知，甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，其中甲得3分，有兩種情況：甲贏一局輸兩局，甲得分為3分；甲、乙平局三次，甲得分為3分．所以{ξ＝3}表示甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．4．袋中裝有除顏色外其余均相同的10個紅球，5個黑球，每次任取一球，若取到黑球，則放入袋中，直到取到紅球為止．若抽取的次數(shù)為，則表示“放回4個球”的事件為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，若取到黑球，則將黑球放回，然后繼續(xù)抽取，若取到紅球，則停止抽取，所以“放回4個球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了紅球，故．故選：B．5．袋中有2個黑球、6個紅球，從中任取2個，可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．取到的球的個數(shù)B．取到紅球的個數(shù)C．至少取到1個紅球D．至少取到1個紅球的概率【答案】B【解析】A的取值不具有隨機(jī)性，C是一個事件而非隨機(jī)變量，D中概率值是一個定值而非隨機(jī)變量，只有B滿足要求故選：B6．張同學(xué)從學(xué)?；丶乙?jīng)過4個紅綠燈路口，每個路口可能遇到紅燈或綠燈．（1）寫出隨機(jī)試驗的樣本空間；（2）設(shè)他可能遇到紅燈的次數(shù)為X，寫出X的可能取值，并說明這些值所表示的隨機(jī)事件．【解析】（1）設(shè)在一個路口遇到紅燈記為1，遇到綠燈記為0，用表示他經(jīng)過四個路口所遇到紅綠燈情況，其中表示第個路口的情況，則隨機(jī)試驗的樣本空間，，，，，（2）設(shè)他可能遇到紅燈的次數(shù)為X，則的可能取值為、、、、；表示表示表示表示，，，，表示7．某位射箭運動員命中目標(biāo)的環(huán)數(shù)X的分布列為：X678910P0．050．150．250．350．20如果命中9環(huán)或10環(huán)為優(yōu)秀，那么他一次射擊成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是多少？【解析】若射手射擊一次為優(yōu)秀，則他射中的環(huán)數(shù)為9、10環(huán)，其概率為P＝P（X＝9）+P（X＝10）＝0．35+0．20＝0．55，故他射