直線的傾斜角與斜率教學(xué)設(shè)計(jì)題目直線的傾斜角和斜率學(xué)時(shí)2第1課時(shí)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容直線的傾斜角和斜率的概念、過兩點(diǎn)的直線斜率公式。

內(nèi)容解析作為解析幾何的起始課，章引言部分較好的介紹了解析幾何的發(fā)展歷史和思想，以及本章的研究方法和路徑。而直線作為基本幾何對象之一，是解析幾何的起始研究對象，為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，首先要確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)表示這些幾何要素。對確定直線位置的幾何要素的刻畫，是按照方向傾斜角傾斜角的正切值斜率直線上任意兩點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的差商過程展開的，傾斜角從幾何角度刻畫了直線的方向，斜率從代數(shù)角度刻畫了直線的方向。這個(gè)過程是對直線這個(gè)幾何研究對象逐步代數(shù)化的過程，把形逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)，用數(shù)表示形，這個(gè)過程是解析幾何研究幾何圖形的基本過程，它是不斷深化的過程。本節(jié)課承接了初中對直線的認(rèn)識，用解析幾何的思想對直線的幾何要素進(jìn)行探究。在已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，分別從幾何角度和代數(shù)角度對直線的方向進(jìn)行刻畫，并建立它們之間的聯(lián)系，在這個(gè)過程中讓學(xué)生初步體會坐標(biāo)法的內(nèi)涵和數(shù)形結(jié)合的思想，提高直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面為后續(xù)直線位置關(guān)系的判定和直線方程的建立提供知識基礎(chǔ)，另一方面為本章乃至下一章圓錐曲線的學(xué)習(xí)，提供從曲線的幾何特征出發(fā)，通過代數(shù)運(yùn)算對其進(jìn)行研究，再將代數(shù)運(yùn)算得到的結(jié)果翻譯成幾何語言的整體研究思路，加深學(xué)生對幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算關(guān)系的理解。二、學(xué)情分析已有經(jīng)驗(yàn)1.在平面幾何中，通過直觀感知、操作確認(rèn)等方式，學(xué)生已經(jīng)了解了直線與圓。掌握了兩點(diǎn)確定一條直線、兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線的距離的意義及其度量等基本事實(shí)。研究了相交線與平行線，知道了用兩條直線交成的角的關(guān)系可以刻畫相交線的性質(zhì)，掌握了平行線的判定定理和性質(zhì)定理以及平行關(guān)系的可傳遞性等。除了這些知識基礎(chǔ)之外，學(xué)生還具備了一定看圖識圖的能力，有了一定幾何直觀的能力。2.學(xué)生知道了平面直角坐標(biāo)系可以將點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對建立對應(yīng)，并且掌握了一次函數(shù)，知道一次函數(shù)的圖象是一條直線。借助平面直角坐標(biāo)系和單位圓研究三角函數(shù)，掌握了正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，具備了一定的數(shù)形結(jié)合的思想，初步具備了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。3.在平面向量和空間向量的學(xué)習(xí)中，掌握了溝通幾何和代數(shù)的工具向量，獲得平面直角坐標(biāo)系是溝通代數(shù)和幾何的橋梁的經(jīng)驗(yàn)，掌握了向量的線性運(yùn)算、投影、數(shù)量積、方向向量等知識，會用向量法解決幾何問題。有了數(shù)形結(jié)合的思想，初步具備了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)。存在問題：1.雖然在前面不同的學(xué)段中，學(xué)生已經(jīng)研究過許多空間和平面幾何圖形，但是并沒有對研究內(nèi)容和研究方法做系統(tǒng)的梳理，知識整體處于分散的狀態(tài)，不具有系統(tǒng)性。解決方式是設(shè)計(jì)了大單元指引單，伴隨著學(xué)生直線的方程單元的學(xué)習(xí)，也伴隨著圓的方程單元的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。2.直線是學(xué)生初中熟悉的圖形，但是直線的幾何特征學(xué)生是不明確的，只知兩點(diǎn)確定一條直線、一點(diǎn)和一方向定直線。所以在這兩部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中直線幾何特征的確定會對學(xué)生產(chǎn)生一些困難。3.盡管學(xué)生對直角坐標(biāo)系已經(jīng)非常熟悉，但將它作為一個(gè)研究幾何圖形的工具以及如何利用直角坐標(biāo)系刻畫直線的“方向”這個(gè)要素，是與平面幾何有質(zhì)的不同的地方，也是學(xué)生所不習(xí)慣的。4.盡管學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線的相關(guān)性質(zhì)，但更多的是幾何直觀，是利用綜合幾何法研究的推理幾何，方程的學(xué)習(xí)也只是單純地停留在代數(shù)角度進(jìn)行運(yùn)算等，而將方程與直線利用坐標(biāo)法建立聯(lián)系，是學(xué)生的初次體驗(yàn)，也是學(xué)生的思維障礙。5.盡管在高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過向量這個(gè)工具，但是利用向量的知識去推理、論證、求解相關(guān)問題，對學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性，需要充分調(diào)動以往的知識經(jīng)驗(yàn)等。三、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)（1）了解坐標(biāo)法的思想，把握整章的研究內(nèi)容和方法（2）理解傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的斜率公式（3）掌握直線斜率與方向向量的內(nèi)在聯(lián)系，掌握斜率與y=kx+b中的k的聯(lián)系（通過探究作業(yè)完成）目標(biāo)解析（1）通過課前預(yù)習(xí)和大單元指引單的準(zhǔn)備動作，學(xué)生能了解解析幾何的發(fā)展史以及坐標(biāo)法的思想，整體把握單元的研究路徑和研究方法，感受數(shù)學(xué)文化。（2）.通過在平面直角坐標(biāo)系中對畫出不同直線的直觀感知，能找出刻畫直線傾斜程度的幾何量傾斜角，并抽象出傾斜角的概念，感受利用傾斜角刻畫直線方向的合理性，提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。（3）.能利用向量以及三角函數(shù)的相關(guān)知識探索出直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)與傾斜角的關(guān)系，掌握斜率的定義和過兩點(diǎn)的斜率公式，能辨析斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系，體會從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（4）能獨(dú)立推導(dǎo)出斜率與方向向量的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上整體把握直線兩點(diǎn)坐標(biāo)、傾斜角、斜率以及方向向量之間的聯(lián)系，經(jīng)歷對直線方向代數(shù)刻畫的完整過程，初步感受坐標(biāo)法研究幾何問題的思想。教學(xué)重點(diǎn)直線的傾斜角與斜率的概念、過兩點(diǎn)的斜率公式教學(xué)難點(diǎn)解析幾何坐標(biāo)法研究問題路徑的理解四、教學(xué)方法分析本節(jié)采用探究式的教學(xué)方法，先以介紹初高中研究幾何問題的不同路徑為引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)文化；再以課前整理的大單元指引案為載體開啟本節(jié)課的探究，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)平面解析幾何的橋梁。利用學(xué)生實(shí)際操作畫直線的方法調(diào)動學(xué)生的直觀感知能力，從而抽象出傾斜角的概念；采用從特殊到一般的方式探究斜率，設(shè)置有挑戰(zhàn)性的層層遞進(jìn)的問題，鼓勵(lì)學(xué)生勇于發(fā)言提出質(zhì)疑，在不斷的思維碰撞中總結(jié)和完善結(jié)論，提高課堂效率。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教師活動與數(shù)學(xué)問題問題或任務(wù)與學(xué)生學(xué)習(xí)活動設(shè)計(jì)意圖或評價(jià)目標(biāo)環(huán)節(jié)一內(nèi)容1：設(shè)置大單元引領(lǐng)案，準(zhǔn)備課時(shí)學(xué)習(xí)任務(wù)1.學(xué)生閱讀課本了解平面解析幾何的歷史，完成引領(lǐng)案上的第一列問題?！驹O(shè)計(jì)意圖】為學(xué)生構(gòu)建初高中幾何學(xué)習(xí)的橋梁，課前形成疑問，明確本單元研究問題的基本方法，為如何研究平面解析幾何問題做好課前準(zhǔn)備?！驹u價(jià)目標(biāo)】學(xué)生引領(lǐng)案第一列的完成情況為評價(jià)的目標(biāo)。環(huán)節(jié)二內(nèi)容1：課堂引入，整體把握教學(xué)情境解決問題：教師根據(jù)大單元引領(lǐng)案介紹綜合法和坐標(biāo)法。引出坐標(biāo)法研究的第一個(gè)對象。教師板書：課題直線的傾斜角和斜率。學(xué)習(xí)任務(wù)1：感受解析幾何解決幾何問題的基本內(nèi)涵和方法；整體把握本章的研究對象，研究內(nèi)容以及研究方法。學(xué)習(xí)任務(wù)2：明確本節(jié)課的研究對象問題：前面的學(xué)習(xí)中，還有什么方法可以確定一條直線？追問：如何刻畫直線的方向呢?【設(shè)計(jì)意圖】通過對幾何研究方法的梳理，讓學(xué)生對研究幾何圖形的方法有個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)知，同時(shí)也引出本章的主題；以微課形式將數(shù)學(xué)史融入課堂，讓學(xué)生了解解析幾何發(fā)展的歷史背景，感受解析幾何解決幾何問題的基本內(nèi)涵和方法；整體把握本章的研究對象，研究內(nèi)容以及研究方法。通過問題引出我們本課題探究的對象。通過追問引出我們研究的目標(biāo)。環(huán)節(jié)三內(nèi)容1：探究直線的傾斜角教學(xué)情境1.在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)P任意做出多多直線。解決問題1：探究出從形上是如何刻畫直線的方向的。教師板書:繪制過P點(diǎn)的不同直線；形成傾斜角的概念。學(xué)習(xí)任務(wù)1．在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)P任意作出3條直線，觀察對比作出的直線有何不同？下圖為參考：追問1：直線與x軸成4個(gè)角哪個(gè)角能很好的刻畫出直線的方向？學(xué)習(xí)任務(wù)2．學(xué)生走到講臺畫出傾斜角為鈍角的直線的方向。追問2：如何能把這幾條直線方向的刻畫形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)呢？【設(shè)計(jì)意圖】問題1讓學(xué)生直觀感受過定點(diǎn)P任意作出直線的不同。追問1的設(shè)置使學(xué)生能容易找到x軸的正方向。學(xué)生在追問1下刻畫的方向會有多個(gè)，所以設(shè)置追問2，使得傾斜角是銳角的直線和傾斜角鈍角的直線在方向刻畫上形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。在此基礎(chǔ)之上借助學(xué)自主歸納總結(jié)補(bǔ)充教師完善，學(xué)生能更加清晰地感受隨著傾斜程度的不同直線向上的方向與x軸正方向的夾角也隨之不同，從而抽象出傾斜角的概念。

環(huán)節(jié)四內(nèi)容2：探究傾斜角的范圍。教學(xué)情境2.：學(xué)生直觀感受黑板上直線的傾斜角圖形和概念解決問題2：獲取直線的傾斜角的范圍教師活動：抽象出傾斜角定義后，教師追問學(xué)生定義是否適用所有直線，從而引出特殊直線傾斜角的規(guī)定。教師板書：畫出特殊直線明確寫出傾斜角的范圍。學(xué)習(xí)任務(wù)1．傾斜角的定義適用于所有直線嗎？追問1：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角如何定義比較合適？追問2：傾斜角的范圍是多少？結(jié)論：【設(shè)計(jì)意圖】研究數(shù)學(xué)對象時(shí)，往往要通過探索特例或進(jìn)行推廣，從而對問題有更深入的知識。給出傾斜角定義后，給出特殊直線傾斜角的規(guī)定，為問追問2中傾斜角的范圍研究做鋪墊，提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性?！驹u價(jià)目標(biāo)】通過傾斜角定義能給出特殊直線傾斜角的規(guī)定、能得出傾斜角的范圍、最后師生能共同歸納傾斜角從形的角度對直線的方向進(jìn)行了刻畫。小結(jié)：

環(huán)節(jié)五內(nèi)容3：探究直線的斜率教學(xué)情境3.坐標(biāo)法的思想做指引解決問題3：傾斜角代數(shù)化教師活動：教師參與到學(xué)生的探究中去，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)正切函數(shù)的定義，向量的自由性。鼓勵(lì)學(xué)生積極展示和大膽質(zhì)疑。教師板書：斜率的概念。學(xué)習(xí)任務(wù)1：一條直線可以由兩點(diǎn)唯一確定，也可以由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)傾斜角α確定,直線的傾斜角一定與兩點(diǎn)的坐標(biāo)存在內(nèi)在聯(lián)系，到底是怎樣的聯(lián)系呢？探究：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α（1）已知直線l經(jīng)過O0,0,P3,1,α與（2）如果直線l經(jīng)過P1?1,1，P22,0，α（3）一般地，如果經(jīng)過兩點(diǎn)P1x1,y1，P2學(xué)生活動：小組合作探究，小組講解討論的結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】探究中的三個(gè)問題，從特殊到一般，展示了數(shù)學(xué)中研究一般問題常用的思想方法，問題1給出的是過原點(diǎn)的特殊直線，對學(xué)生難度較小，為后續(xù)問題提供了利用正切函數(shù)定義探究該類問題的經(jīng)驗(yàn)。有了問題1的基礎(chǔ)，學(xué)生便有了將問題2轉(zhuǎn)化為問題1的思想，在這個(gè)過程中體會轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想。在前兩個(gè)問題研究基礎(chǔ)上，學(xué)生可類比給出一般的推導(dǎo)從而完成問題3，通過問題3，學(xué)生合作交流質(zhì)疑補(bǔ)充，在思維碰撞的過程中逐步完善傾斜角正切值與兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，在這一過程中感受和總結(jié)出公式的適應(yīng)范圍以及與兩點(diǎn)的順序無關(guān)等結(jié)論。從特殊到一般的研究方法符合學(xué)生初步體會坐標(biāo)法的學(xué)情，將幾何問題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。內(nèi)容4：傾斜角與斜率的關(guān)系。追問1：傾斜角與斜率是否為一一對應(yīng)？追問2：當(dāng)直線的傾斜角由0°增大到180°時(shí)，斜率如何變化？【設(shè)計(jì)意圖】通過思考中的問題加深學(xué)生對直線斜率的理解，體會傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系，理解斜率可以用來刻畫傾斜角的合理性，增強(qiáng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。環(huán)節(jié)六內(nèi)容5：初步應(yīng)用鞏固新知。教師活動：巡視學(xué)生完成情況學(xué)習(xí)任務(wù)：例1如圖，已知A3,2，B?4,1，C0,?1，求直線AB,BC,學(xué)生任務(wù)：自主完成，主動展演?！驹O(shè)計(jì)意圖】本題一方面考察了斜率公式的掌握，另一方面考察了斜率與傾斜角的聯(lián)系，也是一個(gè)從形到數(shù)再到形的過程，讓學(xué)生知道不僅要會用代數(shù)語言表示幾何特征，還要會把代數(shù)運(yùn)算得出的結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論，體現(xiàn)了坐標(biāo)法中把幾何問題代數(shù)化，再通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何性質(zhì)的思想。課堂小結(jié)數(shù)學(xué)問題：形成結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)任務(wù)：本節(jié)課我們是按照什么路徑對直線的方向進(jìn)行刻畫的。【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的研究框架進(jìn)行梳理，在這個(gè)梳理的過程中，一方面讓學(xué)生重現(xiàn)研究過程，初步體會坐標(biāo)法的研究思路，另一方面結(jié)合具體研究內(nèi)容滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、轉(zhuǎn)化化歸等等?！驹u價(jià)】師生活動：學(xué)生自主發(fā)言，教師適時(shí)引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生在內(nèi)容梳理的過程中思考涉及到的數(shù)學(xué)思想方法等六、目標(biāo)檢測與作業(yè)設(shè)計(jì)鞏固作業(yè)第一部分，是對本節(jié)所學(xué)內(nèi)容的進(jìn)一步應(yīng)用第二部分對課前梳理表格的完善是整個(gè)單元過程都滲透的持續(xù)性作業(yè)，通過本節(jié)坐標(biāo)法對確定直線的方法探究，學(xué)生通過表格的對比，可以初步體會坐標(biāo)法的思想以及與綜合法的不同。探究作業(yè)對本節(jié)重難點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行再加深。學(xué)生體會利用代數(shù)運(yùn)算研究幾何對象性質(zhì)的思想；另一方面也為下節(jié)課的內(nèi)容研究做鋪墊。拓展作業(yè)：了解數(shù)學(xué)文化，了解數(shù)學(xué)史，對平面解析幾何的學(xué)習(xí)提供養(yǎng)分。鞏固作業(yè)：鞏固作業(yè)：(1）課后練習(xí)1,2,3,4,5(2）完善大單元引領(lǐng)單的表格，總結(jié)本節(jié)課利用坐標(biāo)法對直線幾何要素的探究。選做題：課本習(xí)題2.1第8題探究作業(yè)：(1)探究斜率k與一次函數(shù)y=kx+b中k的關(guān)系。(2)直線的方向向量也可以刻畫直線的方向，探究方向向量與斜率的關(guān)系，如何用斜率k表示直線的一個(gè)方向向量。(3)探究如何利用斜率k判斷兩直線位置關(guān)系。拓展作業(yè)利用、電腦、圖書館等收集、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的歷史資料七、板書設(shè)計(jì)

直線的傾斜角與斜率1.傾斜角α：當(dāng)直線與x軸相交，x軸的正方向，直線l向上的方向02.斜率tanα=當(dāng)傾斜角α=90°3.斜率的符號與傾斜角的關(guān)系當(dāng)0°≤α<90當(dāng)0°<α<八、反思

本節(jié)的主要內(nèi)容是直線的傾斜角和斜率的概念以及它們之間的關(guān)系，過兩點(diǎn)的斜率公式。直線的傾斜角和斜率分別從形和數(shù)刻畫了直線的方向，相對于x軸的傾斜程度。一點(diǎn)和傾斜角或一點(diǎn)和斜率確定了平面直角坐標(biāo)系中直線的位置．過兩點(diǎn)的直線斜