華科附中2023級高二年級下學(xué)期三月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.某校高二年級6個(gè)班分別從7個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的安排方法有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分步乘法即可.【詳解】對于每個(gè)班來說有7種選擇，則根據(jù)分步乘法有種安排方法，故選：D.2.已知曲線上一點(diǎn)，記為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)可得，進(jìn)而求解.【詳解】，，所以，所以.故選：D3.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線方程，進(jìn)而得到，累乘即可得到結(jié)果.【詳解】，，在點(diǎn)處的切線方程為：，令得：，.故選：D.4．南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若和b被m除得余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為．已知，若=，，則b的值可以是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】A【詳解】令，得，因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，即，所以，又，故被4除余3．故選A.5.數(shù)列滿足，且對任意的都有，則下列表述不正確的是（）A. B.數(shù)列的前項(xiàng)和為C.數(shù)列的前項(xiàng)和為 D.數(shù)列的第項(xiàng)為5050【答案】C【解析】【詳解】因?yàn)?，所以，又，?dāng)時(shí)，所以，也滿足，故對任意，.所以數(shù)列的第項(xiàng)為，故A正確，D正確；所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，故B正確，C錯(cuò)誤．故選：C.6.“四平方和定理”最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.“四平方和定理”的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù).設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是（）A.26 B.28 C.29 D.30【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意列出不同情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】滿足的自然數(shù)有四組，分別是：；；；；那么有序數(shù)組有：個(gè).故選：C7.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2ex－2e－x+1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.-2025 B.-4050 C.2025 D.4050【答案】A【詳解】令g(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋2ex－2e－x，則的定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，g′(x)＝x2－4＋2ex＋2e－x≥x2－4＋2eq\r(4ex·e－x)＝x2≥0，∴g(x)在R上是增函數(shù).，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，即，所?故選：A8.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實(shí)數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù))，且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得即求出解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和極值與最值，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】即，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，，由得，此時(shí)單調(diào)遞增，由得或，此時(shí)單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值，又因?yàn)?，，，且時(shí)，，解集中恰有兩個(gè)整數(shù)等價(jià)于在下方的圖象只有2個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得：則，解得，所以時(shí)，的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，需求出解析式，所以對已知條件變形可得即結(jié)合可求出，的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)等價(jià)于在下方的圖象只有2個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，對求導(dǎo)數(shù)形結(jié)合即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，屬于難題.多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值D.函數(shù)在處取得極大值【答案】AD【解析】【分析】利用函數(shù)的函數(shù)的圖象，可判斷函數(shù)的單增區(qū)間與單減區(qū)間，進(jìn)而可得極大值點(diǎn)，從而可得結(jié)論.【詳解】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故A正確；所以函數(shù)在處取得極大值，不是極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.10．定義：設(shè)為三次函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為三次函數(shù)圖象的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任意三次函數(shù)圖象的“拐點(diǎn)”就是其對稱中心。已知三次函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為，且有，則下列說法中正確的是（

）A．B．方程有三個(gè)根C．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則或D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則【答案】ABD【分析】依題意可得的對稱中心為，即可得到，從而求出、的值，再利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，即可畫出函數(shù)圖象，最后根據(jù)圖象一一分析即可.【詳解】對于三次函數(shù)，則，，若，令，則（、為的兩根，為三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)），令，則，所以，依題意的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為，且有，所以的對稱中心為，對于A，由，可得，，所以，即，解得，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，則的圖象如下所示：

由圖可知與有且僅有個(gè)交點(diǎn)，所以方程有三個(gè)根，故B正確；對于C，又，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，即與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故C錯(cuò)誤；對于D，由，若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則，解得，即，故D正確.故選：ABD11.下列不等式中，正確的是（）A. B. C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對①構(gòu)造函數(shù)，，利用其單調(diào)性即可判斷；對②和④分別利用正切函數(shù)和余弦函數(shù)單調(diào)即可比較大小，對③利用函數(shù)，的單調(diào)性即可.【詳解】【詳解】對A，令，則，當(dāng)e時(shí)，，此時(shí)在（0，e）上單調(diào)遞增，當(dāng)e時(shí)，，此時(shí)在（e，）上單調(diào)遞減，所以，，所以，故A正確；對B，設(shè)，，則，再令，則，，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，則，則成立，故B不正確；對C，由時(shí)，所以，令，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)取等號，所以，即，又，所以，所以，故C正確對D，令，，f'(x)=(，則在上恒成立，則，即，故D正確；第II卷（非選擇題）填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12．有男女共名學(xué)生被分派去三個(gè)公司實(shí)習(xí),每個(gè)公司至少人,且公司要且只要個(gè)女生,共有________種不同的分派方法。(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理,先分派公司的人選,再分派公司的人選,然后方法數(shù)相乘即可.【詳解】解:公司只要個(gè)女生,有種分派方案,則公司分派人數(shù)可以為或者或者共3種分派方案,共種,所以一共有種分派方案.故答案為:.13.已知數(shù)列：1，1+2，1+2+4，1+2+4+8，，依此類推。記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則=_____?！敬鸢浮?n+1-n-214．漢諾塔（TowerofHanoi），是一個(gè)源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個(gè)不同大小的圓盤，要把所有盤子一個(gè)一個(gè)移動(dòng)到柱子B上，并且每次移動(dòng)時(shí)，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，記至少移動(dòng)的次數(shù)為，例如：，則H（3）=，H（n）=?！驹斀狻坑深}意知若有1個(gè)圓盤，則需移動(dòng)一次：若有2個(gè)圓盤，則移動(dòng)情況為：，需移動(dòng)3次；若有3個(gè)圓盤，則移動(dòng)情況如下：，共7次，故；由此可知若有n個(gè)圓盤，設(shè)至少移動(dòng)次，則,所以，而，故為等比數(shù)列，故即.解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（本小題滿分13分）在的展開式中，第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列.(1)證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?！敬鸢浮?1)證明見解析(2)第二項(xiàng)和第三項(xiàng)【分析】①根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，根據(jù)成等差數(shù)列列出方程，進(jìn)而解出，然后求出展開式中通項(xiàng)，假設(shè)有常數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而得到矛盾.②假設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，根據(jù)和，解出的范圍，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）證明：由二項(xiàng)式定理可知：第2,3,4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為依次成等差數(shù)列，，，（舍）或.二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)，令，所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)得證.（2）由（1）知二項(xiàng)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則且，化簡得，又或2，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第二項(xiàng)和第三項(xiàng)16.（本小題滿分15分）若函數(shù).（1）若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y=-4x+m，求實(shí)數(shù)a，m的值；（2）已知，（e為自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)），若f(x)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值?！驹斀狻浚?），又，所以．（2）.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，于是，解得.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想，如何合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)是難點(diǎn)，屬于中檔題.17.（本小題滿分15分）東湖高新區(qū)為提高市民的健康水平，擬在半徑為20米的半圓形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)健身廣場，該健身廣場（如圖所示的陰影部分）分休閑健身和兒童活動(dòng)兩個(gè)功能區(qū)，圖中矩形區(qū)域是休閑健身區(qū)，以為底邊的等腰三角形區(qū)域是兒童活動(dòng)區(qū)，，，三點(diǎn)在圓弧上，中點(diǎn)恰好在圓心．設(shè)，健身廣場的面積為．

(1)求出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)角取何值時(shí)，健身廣場的面積最大？其最大面積是多少？【答案】(1)(2)；【分析】（1）借助三角函數(shù)將矩形的長與寬，三角形的底與高表示出來，利用面積公式求解面積再相加即可.（2）借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值，進(jìn)而得到的最大值即可.【詳解】（1）由已知得，等腰底邊上的高為，而，，，得到.（2）設(shè)，則，令，由，可得，令，可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時(shí)，有，故，即時(shí)，健康廣場的面積最大，最大值為.18．（本小題滿分17分）設(shè)是等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足2Sn+3=3bn，且，，.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若對于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮?1)，(2)(3).【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；（2）可以采取分組求和的方式，即將奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和分開求解，再利用錯(cuò)位相減法以及裂項(xiàng)相消法分別求和；（3）對于求參數(shù)的范圍，一般可以采用分離參數(shù)的方法，對于求后面式子的最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析求解．【詳解】（1），．（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，記，則有，，得：，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，記，，．（3）由與恒成立，可得恒成立，恒成立，即求的最大值，設(shè)，，單調(diào)遞增，又，，．（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，討論方程的根的個(gè)數(shù).（3）函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?）；（2）.（3）滿足條件的兩點(diǎn)不存在【解析】【分析】（1）由題意可知對任意的恒成立，由參變量分離法得出，求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）構(gòu)造函數(shù)，分和，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷出函數(shù)的零