第頁，共頁2025屆開封新世紀(jì)學(xué)校高三數(shù)學(xué)月考試卷120分鐘150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合，根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意得，，.故選：A.2.已知由小到大排列的個數(shù)據(jù)、、、，若這個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出這四個數(shù)的極差與中位數(shù)，根據(jù)已知條件求出的值，然后利用百分位數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由小到大排列的個數(shù)據(jù)、、、，則，這四個數(shù)為極差為，中位數(shù)為，因?yàn)檫@個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則，解得，所以，這四個數(shù)由小到大依次為、、、，因?yàn)?，故這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故選：B.3.平面與平面平行的充要條件是（）A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B.，垂直于同一個平面C.，平行于同一條直線 D.內(nèi)有兩條相交直線都與平行【答案】D【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，可得與相交或；對于B，與垂直于同一個平面，可得與相交或；對于C，與平行于同一條直線，可得與相交或；對于D，內(nèi)有兩條相交直線平行于，結(jié)合面面平行的判定定理可得，故選：D．4.已知分別為曲線和直線上的點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷曲線與直線是否存在交點(diǎn)，若存在，則最短距離為0，若不存在，則當(dāng)曲線在切點(diǎn)處的斜率為2時，切點(diǎn)到直線的距離最短.【詳解】令，因，則，故曲線和直線無交點(diǎn)，，則，令，解得，則曲線上的點(diǎn)到直線的距離，則的最小值為.故選：A5.男、女各3名同學(xué)排成前后兩排合影留念，每排3人，若每排同一性別的兩名同學(xué)不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A.36 B.72 C.144 D.288【答案】B【解析】【分析】先求出第一排有2名男生，1名女生，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求出不同的站法種數(shù).同理可得，第一排有1名男生，2名女生，不同的站法種數(shù).然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理，相加即可得出答案.【詳解】若第一排有2名男生，1名女生，則第一排女生只能站中間，第二排男生只能站中間，不同的排法種數(shù)為；同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法種數(shù)為.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)為.故選：B.6.已知函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為，與x軸正半軸最靠近y軸的交點(diǎn)為，軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)與第一個最低點(diǎn)分別為（B位于M與N之間），若的面積為10（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則函數(shù)的最小正周期為（）A.6 B. C.12 D.【答案】C【解析】【分析】先由的面積求出，再通過代入，求出，再由即可求出周期.【詳解】由題意，作圖如下：因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閳D象與y軸的交點(diǎn)為，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)閳D象最靠近y軸的與x軸正半軸的交點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以.故選：C.7.已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓的最值問題和正弦定理即可求解.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，在三角形中，，根據(jù)正弦定理可得，，即，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以是銳角，所以的最大值為.故選：B.8.若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的取值可以為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先分別分析函數(shù)和的最大值，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，的最大值為1，由題意可知，取得最大值1時，也取得最大值1，即當(dāng)時，，，得，，，當(dāng)時，，其他值不滿足等式.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.與的圖象關(guān)于直線對稱B.與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，與的圖象恰有4個交點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換得到，利用正弦函數(shù)圖象的對稱性判斷AB；驗(yàn)證即可判斷C；求出方程的解的個數(shù)即可判斷D.【詳解】由題得，，A：與的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)為，故A正確；B：當(dāng)時，，，所以與的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；C：，當(dāng)時，，令，則，在上恒小于0，所以在上恒大于0，即，即，故C正確；D：令，即，得（無解）或，解得，又，所以，解得（），所以，即函數(shù)圖象共有4個交點(diǎn)，故D正確.故選：ACD10.已知點(diǎn)Q在圓上，，動點(diǎn)滿足：在中，．則（）A.記的軌跡方程為軌跡： B.的最大值為C.最小值是 D.（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為7【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意作出示意圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出，即可建立方程，求得的軌跡方程，判斷A選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)在一象限，化簡，由基本不等式求得的最值，從而得到角的范圍，判斷B選項(xiàng)；由拋物線的性質(zhì)化簡得，由的范圍求得結(jié)果判斷C選項(xiàng)；由圖可知當(dāng)在圓與軸的左交點(diǎn)處時，此時同時取最小，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意可知，設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖：則，，∴，即，∴，A選項(xiàng)正確；∵由對稱性可假設(shè)點(diǎn)在一象限，則，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，∴，B選項(xiàng)錯誤；，∴，C選項(xiàng)正確；當(dāng)在圓與軸的左交點(diǎn)處時，此時同時取最小，，∴的最小值為：7，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知為拋物線：的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，點(diǎn)到的距離的最小值為4，過的直線交于，兩點(diǎn)，的過，的切線交于點(diǎn)，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為5C.若的坐標(biāo)為，則的方程為D.的面積的最小值為64【答案】BCD【解析】【分析】先應(yīng)用拋物線的性質(zhì)計算得出進(jìn)而得出拋物線方程及準(zhǔn)線判斷A，應(yīng)用焦半徑公式計算求解判斷B，求出導(dǎo)函數(shù)得出切線再得出的直線方程判斷C，先聯(lián)立直線及拋物線應(yīng)用弦長公式計算面積判斷D.【詳解】因?yàn)樯系膭狱c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為4，所以，即.所以的方程為，設(shè)，.對于A，由，得其準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；對于B，由，得，所以，故線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，即的中點(diǎn)到軸的距離為5，故B正確；對于C，由，得，所以，故過的切線斜率為，故切線的方程為，所以，又，故切線的方程為，同理切線的方程為，因?yàn)闉榕c的公共點(diǎn)，故，，所以點(diǎn)，均在直線上，即的方程為，故C正確；對于D，由題意知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，代入，得，所以且，，由得即，取的中點(diǎn)，則，連接，則軸，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)時，取得最小值，且，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則_______.【答案】7【解析】【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，列出關(guān)于和方程組，求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，可得，解得，所以.故答案為：713.已知，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出、的值，再利用兩角差的正切公式計算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故答案為?14.已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】求出得到，得到關(guān)于直線對稱，對求導(dǎo)，判斷當(dāng)時的單調(diào)性，根據(jù)得到恒成立，即可求解.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，，即，所以關(guān)于直線對稱，又，當(dāng)時，，，，所以，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)椴坏仁綄θ我夂愠闪?，所以恒成立，即恒成立，所以，即，解得，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．（1）求證：；（2）若是銳角三角形，且角A的平分線交BC邊于D，且，求邊b的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用正弦定理以及兩角和差的正弦公式化簡得到，再根據(jù)角的范圍即可證明；（2）根據(jù)三角形形狀及交的關(guān)系確定角的范圍，在中利用正弦定理求得關(guān)于角的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理有：，所以，，，，因?yàn)?、，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋杂校?，，或，（舍），所以得證.【小問2詳解】因?yàn)槭卿J角三角形，，所以，所以，解得，因?yàn)闉榈钠椒志€，且，所以，所以，在中，，，由正弦定理有：，即，所以，因?yàn)?，所以，令，則，，令，，根據(jù)函數(shù)解析式，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，所?16.如圖，三棱柱的所有棱長都為2，,是的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，得到，證得，再由，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到，結(jié)合，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）連接，證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量為和向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槿庵乃欣忾L都是2，所以四邊形為菱形，所以，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，在等邊中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】解：連接，因?yàn)槿庵乃欣忾L都為2，且，可得為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以，由（1）知：平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)?，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角的正弦值為.17.高血脂癥是指脂肪代謝或者運(yùn)轉(zhuǎn)異常使人體血液中的血脂含量超過正常范圍，表現(xiàn)為血中膽固醇或甘油三酯過高或高密度脂蛋白過低，現(xiàn)代醫(yī)學(xué)稱“血脂異常”.高血脂癥是常見病、多發(fā)病，更是導(dǎo)致心腦血管疾病的元兇.最新的調(diào)查顯示，中國成人高血脂的患病率為41.1%，大概每五位成人中就有兩位是高血脂患者.改善生活方式和藥物治療是最常用的治療方式，同時適當(dāng)鍛煉可以使血脂水平下降，高血脂發(fā)病率降低，控制高血脂的發(fā)展.（1）某社區(qū)為鼓勵和引導(dǎo)轄區(qū)居民積極參加體育健身活動，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，開展“低碳萬步走，健康在腳下”徒步走活動.下表為開展活動起5個季度社區(qū)高血脂患者的血脂情況統(tǒng)計.季度12345血脂明顯降低（或治愈）人數(shù)/人100150210270320已知血脂明顯降低（或治愈）人數(shù)與季度變量（季度變量依次為）具有線性相關(guān)關(guān)系，試求出與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測第6季度血脂明顯降低（或治愈）者大約有多少人？（2）社區(qū)將參加徒步走活動的隊員分成了甲、乙、丙三組去參加徒步走比賽.若比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽.已知甲組在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙組在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙組在第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和.設(shè)進(jìn)入決賽的組數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，【答案】（1），378人（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）首先計算和，再代入?yún)⒖脊?，求回歸方程，代入，即可求解；（2）確定的取值，再根據(jù)隨機(jī)變量的意義，結(jié)合獨(dú)立事件概率公式，即可求分布列，最后代入期望公式，即可求解.【小問1詳解】，.，，所以，所以，所以，當(dāng)時，，所以第6季度血脂明顯降低（或治愈）者大約有378人.【小問2詳解】由題知的可能取值為0，1，2，3.依題意，甲組、乙組、丙組進(jìn)入決賽的概率分別為，，，所以，，，.所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，若直線過原點(diǎn)且與曲線相切，求的方程；（2）若函數(shù)在上恰有2個零點(diǎn)，.①求的取值范圍；②求證：【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，從而得到切線方程；（2）①問題轉(zhuǎn)化為恰有2個不相等的正實(shí)數(shù)根，，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，數(shù)形結(jié)合得解；②由題可得，，得，利用分析法可將所證明問題轉(zhuǎn)化為，令，令，利用導(dǎo)數(shù)求出最值得證.【小問1詳解】當(dāng)時，，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)椋灾本€的斜率，又，故的方程為，又過原點(diǎn)，所以，所以，所以，故的方程為，即.【小問2詳解】①因?yàn)樵谏锨∮袃蓚€零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程有兩個不相等的正根，即恰有2個不相等的正實(shí)數(shù)根，，令，則與的圖象有兩個不同的交點(diǎn).因，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)從0的右側(cè)無限趨近于0時，趨近于；當(dāng)無限趨近于時，則趨近于，則圖象如圖所示，所以當(dāng)時，直線與的圖象有兩個不同交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.②由①知，，所以，，所以，不妨設(shè)，則，要證，只需證，因?yàn)?，所以，所以，則只需證.令，則只需證當(dāng)時，恒成立，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，恒成立，所以原不等式得證.19.在平面四邊形中，，，將沿AC翻折至，其中P為動點(diǎn).（1）設(shè)，三棱錐的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上．（i）證明：平面平面；（ii）求球O的半徑（2）求二面角的余弦值的最小值.【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）球O的半徑為；（2）.【解析】