墊江一中2025年春期高二（下）數(shù)學第一次月考時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出導函數(shù)，令可得．【詳解】由已知，所以．故選：A．2.函數(shù)f（x）＝ex+x在[﹣1，1]上的最大值是（）A.e B.e+1 C.﹣e+1 D.e﹣1【答案】B【解析】【分析】可求導數(shù)，判斷導數(shù)的符號，從而得出在上單調(diào)遞增，從而便可求出的最大值.【詳解】，，在上單調(diào)遞增，時，的最大值為.故選：.【點睛】本題考查基本初等函數(shù)的導數(shù)的求解公式，以及根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，指數(shù)函數(shù)的值域，根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)最值的方法.3.設函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應范圍上的符號，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故時，，故排除A，C；當時，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負，最后是正，因此排除B，故選：D.4.已知函數(shù)，若在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出導函數(shù)，由已知得出恒成立.進而推得恒成立，由列出不等式，解不等式即可得出答案.【詳解】由已知可得，.因為在R上單調(diào)遞增，所以恒成立.因為，所以恒成立，所以，，解得.故選：D.5.函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】設與直線平行且與函數(shù)圖象相切的直線方程為：，利用導數(shù)的幾何意義求得切點，再求出切點到直線的距離，即得答案.【詳解】解：設與直線平行且與函數(shù)圖象相切的直線方程為：，設切點為，又因為，所以，解得，所以切點，又因為點到直線的距離為，所以函數(shù)圖象上的點到直線的距離的最小值是.故選：B.6.從1，2，3，4，5五個數(shù)字中隨機地有放回地依次抽取三個數(shù)字，則數(shù)字2只出現(xiàn)一次的取法總數(shù)有（）A.16 B.48 C.75 D.96【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理列式計算即得.【詳解】有放回三次抽取的數(shù)字中，2只出現(xiàn)一次，按抽取的順序有3種方法，另兩次抽取的數(shù)字各有4種方法，所以不同取法總數(shù)是.故選：B7.已知，則a，b，c大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出的單調(diào)性，進而得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，，因為，所以，即.故選：D8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，判斷出單調(diào)性，再判斷函數(shù)的奇偶性，則不等式不等式可化為即為，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集.【詳解】函數(shù)的導數(shù)為，則x>0時，，f(x)遞增;因為，則f(x)為偶函數(shù)，則不等式可化為又因為x>0時,f(x)遞增，且f(x)為偶函數(shù)，所以，解得：故選:D【點睛】(1)利用單調(diào)性解不等式通常用于：①分段函數(shù)型不等式；②復合函數(shù)型不等式；③抽象函數(shù)型不等式；④解析式較復雜的不等式；(2)解題的一般策略是：利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系，解不等式即可．二、多選題（每小題6分，共3小題18分）9.如圖所示是的導數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)C.是的極大值點D.是的極小值點【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)得出導函數(shù)的符號，進而得出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的極值的定義即可求解.【詳解】根據(jù)圖象知，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯誤，故B正確；當時，取得是極大值，是的極大值點，故C正確；當時，取得極小值，是的極小值點，故D正確.故選：BCD.10.定義：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心．已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（）A. B.函數(shù)既有極大值又有極小值C函數(shù)有三個零點 D.對任意，都有【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)拐點定義二次求導可計算可求出函數(shù)解析式即可判定A，根據(jù)導數(shù)研究其極值可判定B，結(jié)合B項結(jié)論及零點存在性定理可判定C，利用函數(shù)解析式取特殊值可判定D.【詳解】由題意可知，，而，故A正確；此時，，顯然或時，，則在上單調(diào)遞增，時，，即在上單調(diào)遞減，所以在時取得極大值，在時取得極小值，故B正確；易知，結(jié)合B結(jié)論及零點存在性定理可知在存在一個零點，故C錯誤；易知，故D錯誤故選：AB11.已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，且，，則的取值可能為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】AB【解析】【分析】令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出的取值范圍，即可判斷.【詳解】因為，令，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以，即，又，，所以，所以，又，所以，，所以的可能取值為、.故選：AB【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是依題意構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.三、填空題（每小題5分，共3小題15分）12.若函數(shù)在處有極小值，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的導數(shù)可得，解出的值之后，驗證函數(shù)在處取得極小值即可.【詳解】由已知可得，又函數(shù)在處有極小值，所以，解得，所以，當時，，當時，，所以函數(shù)在處取得極小值.故答案為：.13.由數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有__________個.【答案】【解析】【分析】能被整除的三位數(shù)末位數(shù)字是或，分成末位數(shù)字是5和末位數(shù)字是0兩種情況討論.【詳解】能被整除的三位數(shù)說明末尾數(shù)字是或當末尾數(shù)字是時，百位數(shù)字除了有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；當末尾數(shù)字是時，百位數(shù)字有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；則一共有種故答案為：14.設實數(shù)，若對不等式恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性得，分離參數(shù)根據(jù)恒成立求即可.【詳解】由，構(gòu)造函數(shù)，在為增函數(shù)，則即對不等式恒成立，則，構(gòu)造函數(shù)令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即.故答案為：.四、解答題（第15題13分，第16題15分，第17題15分，第18題17分，第19題17分．共5小題77分）15.求下列函數(shù)的導數(shù).（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由常見函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則可得答案.【小問1詳解】【小問2詳解】16已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極大值;（2）當時，求的值域.【答案】（1）極大值（2）【解析】【分析】（1）求導后，分析單調(diào)性可得極值；（2）利用（1）的單調(diào)性求出即可；【小問1詳解】由題意的，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增，如下表：1正0負0正增極大值減極小值增所以極大值為.【小問2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值，又，，所以當時，的值域為.17.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在處切線方程；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出函數(shù)在某點的導數(shù)，該導數(shù)就是曲線在該點處切線的斜率，再結(jié)合該點的函數(shù)值，利用點斜式方程可求得切線方程.（2）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，通過求導分析函數(shù)單調(diào)性來確定最值.【小問1詳解】當時，.首先求的導數(shù)：可得.然后求和值：將代入，得.將代入，得.最后根據(jù)點斜式方程求切線方程：則切線方程為，即.【小問2詳解】當時，恒成立，即恒成立.對不等式進行化簡：可得在上恒成立.設，則.求的導數(shù)：可得.設，求的導數(shù)：.因為，所以，，則.這說明在上單調(diào)遞減.所以，即.則在上單調(diào)遞減.所以.因此，.則實數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)，其中為實數(shù)，（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若方程在上有實數(shù)解，求的取值范圍；【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用導數(shù)可求得單調(diào)性，由此可確定；（2）求導后，在和兩種情況下可確定單調(diào)，不滿足題意；當時，可求得單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可知只需即可滿足題意，由此可求得結(jié)果.【詳解】（1）當時，，則，由得：；當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；.（2）；①當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，方程在上無實數(shù)解，不合題意；②當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，方程在上無實數(shù)解，不合題意；③當時，令得：；當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，若方程在上有實數(shù)解，則只需，即，解得：，；綜上所述：的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)方程有根求解參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是能夠通過分類討論得到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)最值，由此得到不等關(guān)系.19.已知函數(shù).（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）對任意，恒成立，可變形為，因此只要求得的最大值即可，這可由導數(shù)的知識求解；（2）首先利用導數(shù)研究的單調(diào)性，確定零點分布，不妨設，得，然后用分析法轉(zhuǎn)化所要證不等式為，由，這時以退為進，證明，即證，現(xiàn)在可構(gòu)造函數(shù)，.證明，這又可用導數(shù)證明．【詳解】（1）解：由對任意恒成立，得對任意恒成立.令，