內(nèi)心和外心典例精練【例1】已知O，I分別是△ABC的外心和內(nèi)心，若∠BOC=140°,【例2】(2022武漢)如圖,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C,AE,BE分別平分∠BAC和∠ABC,AE的延長線交⊙O于點D,連接BD.(1)判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若AB=10,BE=210針對訓練1.如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是()A.點O是△ABC的內(nèi)心B.點O是△ABC的外心C.△ABC是正三角形D.△ABC是等腰三角形2.設邊長為a的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為h、r、R，則下列結(jié)論不正確的是()A.h=R+rB.R=2rC.r=34a3.(2023武昌)已知,在△ABC中,.AC=4,BC=32,4.(2024江漢)如圖,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=20,BC=21,CA=13,則下列說法不正確的是()A.∠EDF=∠AB.∠EOF=∠B+∠CC.BD=14D.OE=5.(2024硚口)如圖,AB是⊙O的直徑,C在⊙O上,I為△ABC的內(nèi)心,若∠BIO=2∠AIO,則tan∠OBI的值是()A.22B.12C.16.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,點E是△ABC的內(nèi)心,延長AE交⊙O于D,DE=5,BC=8,則⊙O的半徑為.7.(2023湖北)如圖,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB,BC分別相切于點D,E,連接DE,AO的延長線交DE于點F,則∠AFD=.8.已知△ACB內(nèi)接于圓O,點I是△ACB的內(nèi)心,AI交圓O于點D,連接DB,DC.(1)如圖1,當∠BAC=120°時,求證:△BCD為等邊三角形;(2)如圖2,當∠BAC=90°時,AB=6,AC=8,求DI的長.內(nèi)心和外心參考答案典例精練【例1】已知O,I分別是△ABC的外心和內(nèi)心,若∠BOC=140°,則∠BIC的大小是125°或145°·【例2】(2022武漢)如圖,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C,AE,BE分別平分∠BAC和∠ABC,AE的延長線交⊙O于點D,連接BD.(1)判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若AB=10,BE=210解：(1)△BDE為等腰直角三角形.∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠EBC,∴∠BED=∠DBE.∴BD=ED.∵AB為直徑,∴∠ADB=90°.∴△BDE是等腰直角三角形.(2)連接OC,CD,OD,設OD交BC于點F,則∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,∴BD=DC.∵OB=OC,∴OD垂直平分BC.∵△BDE是等腰直角三角形,BE=2∵AB=10,∴OB=OD=5.設OF=t,則DF=5?t.BF∴BF=4.∴BC=8.針對訓練1.如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是(A)A.點O是△ABC的內(nèi)心B.點O是△ABC的外心C.△ABC是正三角形D.△ABC是等腰三角形2.設邊長為a的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為h、r、R，則下列結(jié)論不正確的是(C)A.h=R+rB.R=2rC.r=34a3.(2023武昌)已知,在△ABC中,AC=4,BC=32，以AB為直徑的圓經(jīng)過△ABC的外心，則AB的長為58或104.(2024江漢)如圖,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F,且AB=20,BC=21,CA=13,則下列說法不正確的是(A)A.∠EDF=∠AB.∠EOF=∠B+∠CC.BD=14D.OE=5.(2024硚口)如圖,AB是⊙O的直徑,C在⊙O上,I為△ABC的內(nèi)心,若∠BIO=2∠AIO,則tan∠OBI的值是(B)A.22B.12C.16.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,點E是△ABC的內(nèi)心,延長AE交⊙O于D,DE=5,BC=8,則⊙O的半徑為2567.(2023湖北)如圖,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB,BC分別相切于點D,E,連接DE,AO的延長線交DE于點F,則∠AFD=35°.8.已知△ACB內(nèi)接于圓O,點I是△ACB的內(nèi)心,AI交圓O于點D,連接DB,DC.(1)如圖1,當∠BAC=120°時,求證:△BCD為等邊三角形;(2)如圖2,當∠BAC=90°時,AB=6,AC=8,求DI的長.解:(1)證明:∵點I是△ACB的內(nèi)心,∠BAC=120°,∴∠BAD=∠CAD=60°.∴∠BCD=∠CBD=∠BDC=60°.∴△BCD為等邊三角形.(2)連接BI,則∠ABI=∠CBI.∵∠CBD