布洛赫（Bloch）定理

求晶體中的電子態(tài)，要解定態(tài)薛定諤方程

2

(k,r)＋

E－V(r)

(k,r)＝0其中勢能函數(shù)V(r)具有晶格周期性，即V(r)＝V（r＋Rn）＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）一．布洛赫定理晶體中的電子波函數(shù)是按照晶格周期性進(jìn)行的調(diào)幅平面波.即（以一維為例）

（k,x）＝u（k，x）eikx其中

u（k，x）＝u（k,x+na）晶體中的電子波又稱為Bloch波。討論：1．電子出現(xiàn)的幾率具有正晶格的周期性。

∣

（k,x）∣2＝∣u（k，x）∣2∣

（k,x＋na）∣2=∣u（k,x+na）∣2∵u（k，x）=u（k,x+na）∴∣

（k,x）∣2=∣

（k,x＋na）∣22.布洛赫定理的另一種表示。

證明:∵

（k,x）＝u（k，x）eikx

u（k，x）＝u（k,x+na）

得：u（k，x）＝

（k,x）e-ikx

(A)u（k,x+na）=

（k,x+na）e-ik(x+na)=e-ikx[e-ikna

（k,x+na）](B)比較（A）（B）二式，左右分別相等

∴

（k,x+na）＝

（k,x）eikna

以上證明各步均可逆，故Bloch定理的兩種表示等價(jià)。3．函數(shù)

（k,x）本身并不具有正晶格的周期性。

（k,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na)

=u（k，x+na）eikx×eikna=u（k，x）eikx×eikna

=

（k,x）eikna而一般情況下∵k不是倒格矢eikna≠1∴

（k,x＋na）≠

（k,x）二．Bloch定理的證明1．由于勢能函數(shù)V(x)具有晶格周期性，適當(dāng)選取勢能零點(diǎn)，它可以作如下的付里葉級數(shù)展開：說明：

∴(1)2.將待求的波函數(shù)ψ（r）向動量本征態(tài)――平面波eik?x展開(2)求和是對所有滿足波恩－卡曼邊界條件的波矢k’進(jìn)行的。將（1）式和（2）式代入薛定諤方程得:(3)將此式兩邊左乘e－ik.x,然后對整個(gè)晶體積分。并利用平面波的正交歸一性得到（4）式

利用δ函數(shù)的性質(zhì)，得（4）式

該方程實(shí)際上是動量表象中的薛定諤方程，稱作中心方程。

K態(tài)與其相差不是一個(gè)倒格矢的態(tài)之間無耦合方程（4）說明，與K態(tài)系數(shù)C(K)的值有關(guān)的態(tài)是與K態(tài)相差任意倒格矢Gn

的態(tài)的系數(shù)C(K－Gn)…….與K相差不是一個(gè)倒格矢的態(tài)不進(jìn)入方程（4），該結(jié)論也應(yīng)適用于波函數(shù)

(k,x)。因此波函數(shù)應(yīng)當(dāng)可寫成與Bloch定理比較

（k,x）＝u（k，x）eikx

需證明

=u(K,x+na)∵Gh·Rn＝2

m，一維情況Rn=na,Ghna=2mexp(-iGhna)=1于是布洛赫定理得證。三．布洛赫定理的一些重要推論（1）K態(tài)和K＋Gh態(tài)是相同的狀態(tài)，這就是說：（A）

（K＋Gh,r）＝

（K，r）（B）E（K＋Gh）＝E(K)下面分別證明之?！?/p>

（k,x）求和遍取所有允許的倒格矢令G‘n

－Gn=Gn’’,則

（∵求和也是遍取所有允許的倒格矢）即相差任意倒格矢的狀態(tài)等價(jià)。由薛定諤方程

(k,r)=E(k)

(k,r)∴E（k）=E(k+Gn)

可見，在波矢空間，布洛赫電子態(tài)具有倒格子周期性，為了使波矢K和狀態(tài)一一對應(yīng)，通常限制k在第一B.Z.內(nèi)變化。第一B.Z.內(nèi)的波矢又叫簡約波矢。與等價(jià)（2）E（k）＝E（－k）即能帶具有k=0的中心反演對稱性。（3）E（k）具有與正晶格相同的對稱性。四．能態(tài)密度由布洛赫波所應(yīng)滿足的周期性邊界條件：波矢k在空間分布是均勻，允許的波矢為

每個(gè)k點(diǎn)在k空間平均占有的體積為k空間內(nèi)，k點(diǎn)的密度為Vc/（2π）3。能態(tài)密度：對給定體積的晶體，單位能量間隔的電子狀態(tài)數(shù)。在k空間，對某一能帶n,每一個(gè)k點(diǎn)對應(yīng)此能帶一個(gè)能量En,反過來，對于一個(gè)給定的能量En,可以對應(yīng)波矢空間一系列的k點(diǎn)，這些能量相等的k點(diǎn)形成一個(gè)曲面，稱之為等能面。考慮E→E＋dE二個(gè)等能面之間的電子狀態(tài)數(shù)。在k空間等能面E和E＋dE之間，第n個(gè)能帶所對應(yīng)的波矢k數(shù)目為將k空間的體元dτk表示成dτk＝dSE·dk⊥由于dE＝∣▽kEn(k)∣·dk⊥故有則E→E+dE之間，第n個(gè)能帶所對應(yīng)的狀態(tài)數(shù)應(yīng)為（考慮自旋應(yīng)×2）：其中D(En)即是第n個(gè)能帶對E→E＋dE能量區(qū)間所貢獻(xiàn)的狀態(tài)密度。如果能帶之間沒有交疊，則D（En）就是總的狀態(tài)密度；如果有交疊，應(yīng)對所有交疊帶求和，即一般應(yīng)寫成:因此，只要由實(shí)驗(yàn)測出關(guān)系En(k)~k（或稱能帶結(jié)構(gòu)）就可求得狀態(tài)密度D（En）。反過來，若由實(shí)驗(yàn)測得D（En），也可推測出能帶結(jié)構(gòu)En(k