第十章二元一次方程組10.3實際問題與二元一次方程組教學設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》七年級下冊第十章“二元一次方程組”的第三節(jié)“實際問題與二元一次方程組”。主要內(nèi)容是通過建立二元一次方程組模型解決實際問題，包括資源分配問題（如養(yǎng)牛場飼料計算）、幾何規(guī)劃問題（如土地劃分方案）、經(jīng)濟核算問題（如運輸成本與銷售額分析）。學生需要掌握從實際問題中提取數(shù)學信息、設(shè)未知數(shù)、列方程組、求解并驗證結(jié)果合理性的完整過程。2.內(nèi)容解析

二元一次方程組是解決含有兩個未知數(shù)實際問題的核心工具。本節(jié)通過典型生活案例，引導學生將復雜問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，培養(yǎng)抽象能力和應(yīng)用意識。例如，在探究1中，通過養(yǎng)牛場的飼料消耗問題，學生需要識別變量間的等量關(guān)系并建立方程組；在探究2中，結(jié)合幾何圖形分析產(chǎn)量分配問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想；在探究3中，通過運輸成本核算問題，綜合運用代數(shù)運算和邏輯推理。這些內(nèi)容為后續(xù)學習分式方程、函數(shù)等知識奠定基礎(chǔ)。二、目標和目標解析1.目標

(1)能夠從實際問題中抽象出二元一次方程組模型，并準確列出方程。

(2)能熟練解方程組，并驗證解的合理性，解釋實際意義。

(3)通過解決綜合性問題，發(fā)展數(shù)學建模、運算能力和邏輯推理能力。2.目標解析

學生通過本節(jié)課的學習，能夠?qū)嶋H問題中的關(guān)鍵信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，建立等量關(guān)系。例如，在解決運輸成本問題時，需分析原料數(shù)量、運費計算和銷售額之間的關(guān)系。通過多次練習，學生能逐步掌握“設(shè)未知數(shù)—列方程—解方程—檢驗”的標準化流程，體會數(shù)學工具在現(xiàn)實中的應(yīng)用價值，為后續(xù)學習不等式、函數(shù)等復雜模型積累經(jīng)驗。三、教學問題診斷分析找不準等量關(guān)系：學生可能無法從文字描述中提取關(guān)鍵信息，例如忽略“總運費=公路運費+鐵路運費”中的隱含條件。復雜信息處理困難：涉及多步驟計算（如探究3中的運輸成本核算）時，學生易混淆變量間的對應(yīng)關(guān)系。驗證解的合理性不足：求解后忽略檢驗結(jié)果是否符合實際（如人數(shù)、長度不能為負數(shù)）。幾何問題代數(shù)化障礙：在探究2的土地劃分問題中，學生可能難以將幾何圖形的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。四、教學過程設(shè)計（一）情景引入問題1

某養(yǎng)牛場原有30頭大牛和15頭小牛，每天約用飼料675kg；一周后新增12頭大牛和5頭小牛，此時每天用飼料940kg。李大叔估計每頭大牛每天需飼料1820kg，小牛需78kg。他的估計準確嗎？問題2

現(xiàn)有一塊長200m、寬100m的長方形土地，需劃分為兩塊小長方形種植甲、乙兩種作物。已知甲、乙的單位面積產(chǎn)量比為1:2，要求總產(chǎn)量比為3:4。如何劃分土地？問題3

某紡織廠從A地購買長絨棉，制成面料運往B地。已知原料進價3.08萬元/噸，面料售價4.25萬元/噸，公路和鐵路運費分別為0.5元/(噸·千米)、0.2元/(噸·千米)，總運費支出為5200元（公路）和16640元（鐵路）。銷售額比原料費與運費的和多多少元？設(shè)計意圖

通過三個實際問題，引導學生感知二元一次方程組在資源管理、生產(chǎn)規(guī)劃和成本核算中的應(yīng)用，激發(fā)探究興趣，對應(yīng)目標（1）（3）。（二）合作探究1探究1（養(yǎng)牛場飼料問題）

問題：設(shè)每頭大牛每天用飼料xkg，小牛用ykg，如何列方程組？

分析：原有牛群飼料消耗：30x新增后飼料消耗：30+12x+15+5y=940（三）鞏固練習1練習：A車間購買3盞甲型燈和5盞乙型燈花費50元，B車間購買12盞甲型燈和4盞乙型燈花費88元，求每盞燈的價格。

解：

設(shè)甲型燈a元，乙型燈b元，

3a練習：學校兩次購買《西游記》和《水滸傳》，第一次2套西+3套水=151元，第二次4套西+2套水=178元，求單價。

解：

2x（四）合作探究2探究2（土地劃分問題）

問題：設(shè)甲作物種植區(qū)域長為xm，乙作物區(qū)域長為ym，如何列方程？

分析：面積關(guān)系：x產(chǎn)量關(guān)系：x?1y?2=34探究3（運輸成本問題）

問題：設(shè)購買x噸長絨棉，制成y噸面料，如何計算運費和銷售額？

分析：公路運費：0.5鐵路運費：0.2×x?路程+y?路程=16640

解：需補充路程數(shù)據(jù)（假設(shè)A到工廠100設(shè)計意圖

通過幾何與代數(shù)結(jié)合的問題，強化數(shù)形轉(zhuǎn)化能力；復雜成本核算問題提升綜合分析能力，對應(yīng)目標（2）（3）。（五）典例分析例1運輸公司用2輛大貨車和3輛小貨車運貨15.5噸，5輛大貨車和6輛小貨車運貨35噸，求3輛大車+5輛小車的運量。

解：

設(shè)大車運a噸/輛，小車b噸/輛，

2a

∴3a設(shè)計意圖

通過典型運輸問題，鞏固方程組解法，強調(diào)實際意義檢驗，對應(yīng)目標（1）（2）。（六）鞏固練習纜車票問題：20人購票花費1180元，往返票80元，單程45元，求各買多少張。

解：設(shè)往返票x張，單程y張，

x騎行問題：甲到乙上坡+平路，上坡30km/h，平路40km/h，下坡50km/h，去程54分鐘，返程42分鐘，求全程。

解：設(shè)上坡skm，平路pkm，

s

全程15+展板宣傳冊問題：展板、宣傳冊、橫幅總制作時間25h，利潤975元，宣傳冊是展板的5倍，求總件數(shù)。

解：設(shè)展板n件，則宣傳冊5n件，橫幅m件，

n

總件數(shù)10設(shè)計意圖

多樣化題型訓練，提升信息提取和方程構(gòu)建能力，對應(yīng)目標（1）（3）。（七）歸納總結(jié)資源分配問題總量=各部分量之和幾何規(guī)劃問題比例關(guān)系、面積關(guān)系.解方程并檢驗經(jīng)濟核算問題成本=進價+運費，利潤=售價-成本.解釋實際意義（八）感受中考(2023·江蘇)某商店賣出A、B商品各2件、3件收入45元；賣出4件A、5件B收入80元，求A單價。

解：

2a(2024·浙江)甲、乙兩人從相距36km的兩地出發(fā)相向而行，甲速4km/h，乙速5km/h，甲帶狗同行，狗速8km/h，狗遇到乙即返回，求狗的總路程。

解：相遇時間t=36/4(2022·廣東)用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身25個或盒底40個，1盒身配2盒底，現(xiàn)有36張鐵皮，如何分配？

解：設(shè)制盒身x張，盒底y張，

x(2023·湖北)某校七年級春游，若租用45座客車若干輛，則有15人無座；若租用60座客車，可少租1輛且全部坐滿，求人數(shù)。

解：設(shè)45座車x輛，

45x（九）小結(jié)梳理知識點實際問題關(guān)聯(lián)數(shù)學思想方程組建模資源分配、