第十一章全等三角形

單元要點(diǎn)分析

教學(xué)內(nèi)容

本黨的主要內(nèi)容是全等三角形.主要學(xué)習(xí)全等三角形的性質(zhì)以及探索判定三角形全等

的方法，并學(xué)會怎樣應(yīng)用全等三角形進(jìn)行證明，本章劃分為三個小節(jié)，第一節(jié)學(xué)習(xí)三角形

全等的概念、性質(zhì)；第二節(jié)學(xué)習(xí)三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特殊判定方法;

第三節(jié)利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，會利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.

教材分析

教材力求創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)、有趣的問題情境，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)活動中抽象出幾何模型和運(yùn)

用所學(xué)內(nèi)容解決實(shí)際問題的過程.在內(nèi)容呈現(xiàn)上，把研究三角形全等條件的重點(diǎn)放在第一

個條件匕通過“邊邊邊”條件探索什么是三角形的判定，如何判定，怎樣進(jìn)行推理論證,

怎樣正確地表達(dá)證明過程.學(xué)生開始學(xué)習(xí)三角形判定定理時的困難在于定理的證明，而這

些推理證明并不要求學(xué)生掌握.為了突出判定方法這條主渠道，教材都作為基本事實(shí)提出

來，在畫圖、實(shí)驗(yàn)中讓學(xué)生知道它們的iE確性就可以了.在“角的平分線的性質(zhì)”一節(jié)中

的兩個互逆定理，只要求學(xué)生了解其條件與結(jié)論之間的關(guān)系，不必介紹互逆命題、互逆定

理等內(nèi)容，這將在“勾股定理”中介紹.

三維目標(biāo)

1.知識與技能

在探索全等三角形的性質(zhì)與判定中，提高認(rèn)知水平，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

2.過程與方法

經(jīng)歷探索三角形全等的判定的，發(fā)展空間觀念和有條理的表達(dá)能力，掌握兩個三角形

全等的判定并應(yīng)用于實(shí)際之中.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)良好的觀察、操作、想象、推理能力，感悟幾何學(xué)的內(nèi)涵.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：使學(xué)生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式.

2.難點(diǎn)：領(lǐng)會證明的分析思路，學(xué)會運(yùn)用綜合法證明的格式.

3.關(guān)鍵：突出三角形全等的判定方法這條主線，淡化對定理的證明.

教學(xué)建議

1.注意使學(xué)生經(jīng)歷探索二角形性質(zhì)及三角形全等的判定的過程.在教學(xué)中鼓勵學(xué)生

觀察、操作、推理，運(yùn)用多種方式探索三角形有關(guān)性質(zhì).

2.注重創(chuàng)設(shè)具有現(xiàn)實(shí)性、趣味性和挑戰(zhàn)性的情境，體現(xiàn)三角形的廣泛應(yīng)用.

3.注意直觀操作與說理的結(jié)合，逐步培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考和表達(dá).

課時劃分

本單元共分成9課時.

11.1全等三角形1課時

11.2三角形全等的性質(zhì)5課時

11.3角的平分線的性質(zhì)2課時

復(fù)習(xí)與交流1課時

11.1全等三角形

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要介紹全等三角形的概念和性質(zhì).

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

領(lǐng)會全等；角形對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的有關(guān)概念.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索全等三角形性質(zhì)的過程，能在全等三角形中正確找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)觀察、操作、分析能力，體會全等三角形的應(yīng)用價值.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：會確定全等三角形的對應(yīng)元素.

2.難點(diǎn)：掌握找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法.

3.關(guān)鍵：找對應(yīng)邊、對應(yīng)角有下面兩種方法：（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對

應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊；（2）對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾

的角是對應(yīng)角.

教具準(zhǔn)備

四張大小一樣的紙片、直尺、剪刀.

教學(xué)方法

采用“直觀——感悟”的教學(xué)方法，讓學(xué)生自己舉出形狀、大小相同的實(shí)例，加深認(rèn)

識.

教學(xué)過程

一、動手操作，導(dǎo)入課題

1.先在其中一張紙上畫出任意一個多邊形，再用剪刀剪下，思考得到的圖形有何特

點(diǎn)？

2.重新在?張紙板匕畫出任意一個三角形，再用剪刀剪下，思考得到的圖形有何特

點(diǎn)？

【學(xué)生活動】動手操作、用腦思考、與同伴討論，得出結(jié)論.

［教師活動】指導(dǎo)學(xué)生用剪刀剪出重疊的兩個多邊形和三角形.

學(xué)生在操作過程中，教師要讓學(xué)生事先在紙上畫出三角形，然后固定重疊的兩張紙，

注意整個過程要細(xì)心.

【互動交流】剪出的多邊形和三角形，可以看出：形狀、大小相同，能夠完全重合.這

樣的兩個圖形叫做全等形，用“絲”表示.

概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

【教師活動】在紙版上任意剪下一個三角形，要求學(xué)生手拿一個三角形，做如下運(yùn)動:

平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，觀察其運(yùn)動前后的三角形會全等嗎？

【學(xué)生活動】動手操作，實(shí)踐感知，得出結(jié)論：兩個三角形全等.

【教師活動】要求學(xué)生用字母表示出每個剪下的三角形，同時互相指出每個三角形的

頂點(diǎn)、三個角、三條邊、每條邊的邊角、每個角的對邊.

【學(xué)生活動】把兩個三角形按上述要求標(biāo)匕字母，并任意放置，與同桌交流：（1）何

時能完全重在一起？（2）此時它們的頂點(diǎn)、邊、角有何特點(diǎn)？

【交流討論】通過同桌交流，實(shí)驗(yàn)得出下面結(jié)論：

1.任意放置時，并不一定完全重合，只有當(dāng)把相同的角旋轉(zhuǎn)到一起時才能完全重合.

2.這時它們的三個頂點(diǎn)、三條邊和三個內(nèi)角分別重合了.

3.完全重合說明三條邊對應(yīng)相等，三個內(nèi)角對應(yīng)相等，對應(yīng)頂點(diǎn)在相對應(yīng)的位置.

【教師活動】根據(jù)學(xué)生交流的情況，給予補(bǔ)充和語言上的規(guī)范.

1.概念：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫

做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.

2.證兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上，如果本圖

11.1—24ABC和ADBC全等，點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)B,點(diǎn)C和點(diǎn)C是對應(yīng)頂點(diǎn)，記作

△ABC^ADBC.

【問題提出】課本圖11.1—1中，AABC^ADEF,對應(yīng)邊有什么關(guān)系？對應(yīng)角呢？

【學(xué)生活動】經(jīng)過觀察得到下面性質(zhì)：

1.全等三角形對應(yīng)邊相等；

2.全等三角形對應(yīng)角相等.

二、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P4練習(xí).

【探研時空】

1.如圖1所示，△ACFZZXDBE,ZE=ZF,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出線段AB的

長嗎？與同伴交流.（AB=6）

BE

圖1圖2

2.如圖2所示，AABC^AAEC,ZB=30°,/ACB=85°,求出△AEC各內(nèi)角的度數(shù).

(ZAEC=30°，ZEAC=65°，ZECA=85°)

三、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.什么叫做全等三角形？

2.全等三角形具有哪些性質(zhì)？

四、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P4習(xí)題11.1第1,2,3,4題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計(jì).

板書設(shè)計(jì)

把黑板分成左、中、右三部分，左邊板書本節(jié)課概念，中間部分板書“思考”中的問

題，右邊部分板書學(xué)生的練習(xí).

疑難解析

山于兩個三角形的位置關(guān)系不同，在找對應(yīng)邊、對應(yīng)角時.，可以針對兩個三角形不同

的位置關(guān)系，尋找對應(yīng)邊、角的規(guī)律：（1）有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊；（2）有

公共角的，公共角一定是對應(yīng)角；（3）有對頂角的，對頂角一定是對應(yīng)角；兩個全等三角

形中?對最長的邊（或最大的角）是對應(yīng)邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對

應(yīng)邊（或角）.

課時作業(yè)設(shè)計(jì)

一、填空題.

1.如圖3所示，AAOC^ABOD,NA和NB,ZC和/D是對應(yīng)角，那么對應(yīng)邊C0=—,

A0=,AC=,對應(yīng)角NC0A二.

B

C

圖3BA

2.如圖4所示，把a(bǔ)ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)?定角度，得到aADE,那么對應(yīng)邊AB=

AC=,DE=,對應(yīng)角/BAC=,NB=.

3.L2^UAABC^ADEF,AB=5,BCM,AC=3,ZC=90°,則^DEF中，最小的邊長為

最大的角為度.

二、選擇題.

4.如果△ABC會4DEF,ADEF的周長為13,DE=3,EF=4,則AC的長（）.

A.13B.3C.4D.6

5.已知AABC且AA'B'C,ZA=80°,ZB=40°,那么/C'的度數(shù)為（）.

A.80°B.40°C.60°D.120°

三、解答題.

6.如圖所示，△ABC^AA,B,C,,6c=25°,BC=6cm,AC=4cm,你能得出aABC中

哪些角的大小，哪些邊的長度？

7.如圖所示，已知AABC之△DEF,則AB與DE,AC與DF的位置有什么關(guān)系？說說你的

理由.

四、情境思索.

8.如圖所示，一柵欄頂部是山全等的三角形組成的，其中AC=O.2m,BC=2AC,求BD的長.

五、聚焦中考.

9.如圖所示，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)0,則/A0C+ZD0B的

度數(shù)為多少度？

課時作業(yè)設(shè)計(jì)答案：

一、1.DOBOBDZDOB2.ADAEBCZDAEZD3.390°

二、4.D5.C

三、6.ZC=25°B'C=6cmA'C=4cm7.平行（理由略）

四、8.略

五、9.180°

11.2.1三角形全等的判定（SSS）

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探索三角形全等的條件(SSS),及利用全等三角形進(jìn)行證明.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

了解三角形的穩(wěn)定性，會應(yīng)用“邊邊邊”判定兩個三角形全等.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索“邊邊邊”判定全等三角形的過程，解決簡單的問題.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)有條理的思考和表達(dá)能力，形成良好的合作意識.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：掌握“邊邊邊”判定兩個三角形全等的方法.

2.難點(diǎn)：理解證明的基本過程，學(xué)會綜合分析法.

3.關(guān)鍵：掌握圖形特征，尋找適合條件的兩個三角形.

教具準(zhǔn)備

一塊形狀如圖1所示的硬紙片，直尺，圓規(guī).

教學(xué)方法

采用“操作——實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)方法，讓學(xué)生親自動手，形成直觀形象.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑求解，操作感知

【教師活動】(出示教具)

問題提出：一塊三角形的玻璃損壞后，只剩下如圖2所示的殘片，你對圖中的殘片

作哪些測量，就可以割取符合規(guī)格的三角形玻璃，與同伴交流.

【學(xué)生活動】觀察，思考，回答教師的問題.方法如下：可以將圖1的玻璃碎片放在

一塊紙板上，然后用直尺和鉛筆或水筆回出一塊完整的三角形.如圖2,剪下模板就可去

割玻璃了.

【理論認(rèn)知】

如果△ABCgZ\A'B'C,那么它們的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.反之，如果aABC

與AA，B'C'滿足三條邊對應(yīng)相等，三個角對應(yīng)相等，即AB=A'B',BC=B,C,CA=CZ

A',NA=NA',ZB=ZB,,NC=NC'.

這六個條件，就能保證△ABCg^A'B'C',從剛才的實(shí)踐我們可以發(fā)現(xiàn)：只要兩

個三角形三條對應(yīng)邊相等，就可以保證這兩塊三角形全等.

信不信？

【作圖驗(yàn)證】（用直尺和圓規(guī)）

先任意畫出一個△ABC,再畫一個AA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,CA'

=CA.把畫出的AA'B'C剪下來，放在△ABC上，它們能完全重合嗎？（即全等嗎）

【學(xué)生活動】空出直尺和圓規(guī)按上面的要求作圖，并驗(yàn)證.（如課本圖11.2-2所示）

畫一個AA'B'C',使A'B'=AB',A'C=AC,B'C'=BC：

1.畫線段取B'C=BC；

2.分別以B'、C'為圓心，線段AB、AC為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A'；

3.連接線段A'B'、A'C'.

【教師活動】巡視、指導(dǎo)，引入課題：“匕述的生活實(shí)例和尺規(guī)作圖的結(jié)果反映了什

么規(guī)律？”

【學(xué)生活動】在思考、實(shí)踐的基礎(chǔ)上可以歸納出下面判定兩個三角形全等的定理.

（I）判定方法：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

（2）判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等.

【評析】通過學(xué)生全過程的畫圖、觀察、比較、交流等，逐步探索出最后的結(jié)論-

邊邊邊，在這個過程中，學(xué)生不僅得到了兩個三角形全等的條件，同時增強(qiáng)了數(shù)學(xué)體驗(yàn).

二、范例點(diǎn)擊，應(yīng)用所學(xué)

【例1】如課本圖11.2—3所示，ZkABC是一個鋼架，AB=AC,AD是連接點(diǎn)A與BC中

點(diǎn)D的支架，求證△ABDgZ\ACD.（教師板書）

【教師活動】分析例1,分析：耍證明△ABDgAACD,可看這兩個三角形的三條邊是

否對應(yīng)相等.A

證明：是BC的中點(diǎn)，

/.BD=CDBDC

在AABD和4ACD中

AB^AC,

<BD=CD,

AD=AD.

.'.△ABD^AACD（SSS）.

【評析】符號?”表示“因?yàn)椤?，“二”表示“所?；從例1可以看出，證明是由

題設(shè)（已知）出發(fā)，經(jīng)過一步步的推理，最后推出結(jié)論（求證）正確的過程.書寫中注意

對應(yīng)頂點(diǎn)要寫在同一個位置上，哪個三角形先寫，哪個三角形的邊就先寫.

三、實(shí)踐應(yīng)用，合作學(xué)習(xí)

【問題思考】

已知AC=FE,BC=DE,點(diǎn)A、D、B、F在直線上，AD=FB（如圖所示），要用“邊邊邊”

證明△ABCgZ\FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外，還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得

到這個條件？

【教師活動】提出問題，巡視、引導(dǎo)學(xué)生，并請學(xué)生說說自己的想法.

【學(xué)生活動】先獨(dú)立思考后，再發(fā)言：''還應(yīng)該有AB=FD,只要AD=FB兩邊都加上DB

即可得到AB=FD.”

【教學(xué)形式】先獨(dú)立思考，再合作交流，師生互動.

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P8練習(xí).

【探研時空】

如圖所示，AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC與EF相等嗎？你能找到一對全等三角形嗎？

說明你的理由.（BC=EF,AABC^ADFE）

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.全等三角形性質(zhì)是什么？

2.正確地判斷出全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，利用全等三角形處理問題的基礎(chǔ),

你是怎樣掌握判斷對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法？

3.“邊邊邊”判定法告訴我們什么呢？（答：只要一個三角形三邊長度確定了，則

這個三角形的形狀大小就完全確定了，這就是三角形的穩(wěn)定性）

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P15習(xí)題11.2第1,2題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計(jì).

板書設(shè)計(jì)

把黑板平均分成三份，左邊部分板書“邊邊邊”判定法，中間部分板書例題，右邊部

分板書練習(xí).

疑難解析

證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)，可以是（2知條件，也

可以是定義、公理、已學(xué)過的重要結(jié)論.

第一課時作業(yè)設(shè)計(jì)

一、證明題.

1.己知：如圖，AD=BC,AB=DC,求證：ZA=ZC.

2.已知：如圖，AB=EF,BC=FD,AD=EC,求證：ZB=ZF.

3.如圖，已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,你能運(yùn)用上面條件證明出幾對三角形全等？

寫出你的證明過程.

二、問題探索.

4.操作并回答：取一長方形紙片，用A、B、C、D表示其四個頂點(diǎn).將其折疊，使點(diǎn)

D與點(diǎn)B重合（如圖）.回答問題:

（1）圖中有沒有全等形？如果有，請指出；

（2）圖中的ABEF與△BFD'雖然有公共邊，但卻不全等，試說明理由；

（3）在圖中畫一條線段，使圖形中出現(xiàn)全等三角形，并寫出所出現(xiàn)的全等三角形（只

畫一條線段，并且是連接圖中已用字母標(biāo)出的某兩個點(diǎn)）.

作業(yè)設(shè)計(jì)答案：

一、1.提示：連接BD,證AABD絲ZXCDB.

2.提示：證明△ACBgAEDF.

2對(證明略)

二、4.略

11.2.2三角形全等判定(SAS)

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探索三角形全等的條件(SAS),及利用全等三角形證明.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能領(lǐng)會“邊角邊”判定兩個三角形的方法.

2.過程與方法經(jīng)歷探究三角形全等的判定方法的過程，學(xué)會解決簡單的推理問題.

3.情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)合情推理能力，感悟三角形全等的應(yīng)用價值.

重、難點(diǎn)及關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：會用“邊角邊”證明兩個三角形全等.

2.難點(diǎn)：應(yīng)用結(jié)合法的格式表達(dá)問題.

3.關(guān)鍵：在實(shí)踐、觀察中正確選擇判定三角形全等的方法.

教具準(zhǔn)備投影儀、直尺、圓規(guī).

教學(xué)方法采用“操作——實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)方法，讓學(xué)生有個直觀的感受.

教學(xué)過程

一、回顧交流，操作分析

【動手畫圖】

【投影】作一個角等于已知角.

【學(xué)生活動】動手用直尺、圓規(guī)畫圖.

已知：ZAOB.

求作：NAQB，使/AQiB產(chǎn)NAOB.

【作法】(1)作射線0|A|：(2)以點(diǎn)0為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交0A于點(diǎn)

C,交OB于點(diǎn)D；(3)以點(diǎn)O1為圓心，以O(shè)C長為半徑畫弧，交0|A|于點(diǎn)C］；(4)以

點(diǎn)G為圓心，以CD長為半徑畫弧，交前面的弧于點(diǎn)D］；(5)過點(diǎn)D1作射線O|BI,NAQ|B|

就是所求的角.

【導(dǎo)入課題】

教師敘述：請同學(xué)們連接CD、CQi，回憶作圖過程，分析ACOD和△CQQi中相

等的條件.

【學(xué)生活動】與同伴交流，發(fā)現(xiàn)下面的相等量：

OD=OR,OC=O|Ct,ZCOD=ZC1O1Di，△CODdCQD.

歸納出規(guī)律：

兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成“邊角邊”或“SAS”).

【評析】通過讓學(xué)生回憶基本作圖，在作圖過程中體會相等的條件，在直觀的操作過

程中發(fā)現(xiàn)問題，獲得新知，使學(xué)生的知識承上啟卜，開拓思維，發(fā)展探究新知的能力.

【媒體使用】投影顯示作法.

【教學(xué)形式】操作感知，互動交流，形成共識.

二、范例點(diǎn)擊，應(yīng)用新知

【例2】如課本圖11.2-6所示有一池塘，要測池塘兩側(cè)A、B的距離，可先在平地上

取一個可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)，連接AC并延長到D,使CD=CA,連接BC并延長到E,

使CE=CB,連接DE,那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么？

【教師活動】操作投影儀，顯示例2,分析：如果能夠證明AABC絲就可以得出

AB=DE.在△ABC和△1)￡(：中，CA=CD,CB=CE,如果能得出N1=N2,△ABC和△DEC就全等

了.

證明:在和ZiDEC中

CA=CD

Z1=Z2

CB=CE

/.△ABC^ADEC(SAS)

，AB二DE

想-想：Z1=Z2的依據(jù)是什么？（對頂角相等）AB=DE的依據(jù)是什么？（全等三角

形對應(yīng)邊相等）

【學(xué)生活動】參與教師的講例之中，領(lǐng)悟“邊角邊”證明三角形全等的方法，學(xué)會分

析推理和規(guī)范書寫’

【媒體使用】投影顯示例2.

【教學(xué)形式】教師講例，學(xué)生接受式學(xué)習(xí)但要積極參與.

【評析】證明分別屬于兩個三角形的線段相等或角相等的問題，常常通過證明這兩個

三角形全等來解決.

三、辨析理解，正確掌握

【問題探究】（投影顯示）

我們知道，兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，由“兩邊及其中一邊的對

角對應(yīng)相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎？為什么？

【教師活動】拿出教具進(jìn)行示范，讓學(xué)生直觀地感受到問題的本質(zhì).

操作教具：把一長一短兩根細(xì)木棍的一端用螺釘釵合在一起，使長木棍的另一端與

射線BC的端點(diǎn)B幣；■合，適當(dāng)調(diào)整好長木棍與射線BC所成的角后，固定住長木棍，把短木

棍擺起來（課本圖1L2-7）,出現(xiàn)一個現(xiàn)象：△ABC與aABD滿足兩邊及其中一邊對角相

等的條件?，但AABC與△ABD不全等.這說明，有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個

三角形不一定全等.

【學(xué)生活動】觀察教師操作教具、發(fā)現(xiàn)問題、辨析理解，動手用直尺和圓規(guī)實(shí)驗(yàn)一次,

做法如下：(如圖1所示)

(1)畫/ABT；(2)以A為圓心，以適當(dāng)長為半徑，畫弧，交BT于C、C'：(3)

連線AC,AC',△ABC與△ABC'不全等.

【形成共識】“邊邊角”不能作為判定兩個三角形全等的條件.

【教學(xué)形式】觀察、操作、感知，互動交流.

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P10練習(xí)第1、2題.

【探研時空】

位經(jīng)歷過戰(zhàn)爭的老人講述了這樣一個故事：(如圖2所示)

在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望.為了炸掉這個碉堡，需耍知道碉堡與

我軍陣地的距離.在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一個戰(zhàn)士想出來這樣一

個辦法，他面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部.然

后，他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才的姿態(tài)，這時視線落在了自己所在岸的某?點(diǎn)上.接著，

他用步測的辦法量出自己與那個點(diǎn)的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離.(如圖3所

示)

(1)按這個戰(zhàn)士的方法，找出教室或操場上與你距離相等的兩個點(diǎn)，并通過測量加

以驗(yàn)證.

（2）你能解釋其中的道理嗎？

【思路點(diǎn)撥】情境中使用的方法在實(shí)際應(yīng)用中雖然是種估測，但用到的原理都是三

角形全等（SAS）；教學(xué)中，讓學(xué)生在教室里或操場上親自做一做，實(shí)際體驗(yàn).

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.請你敘述“邊角邊”定理.

2.證明兩個三角形全等的思路是：首先分析條件，觀察已經(jīng)具備了什么條件；然后

以已具備的條件為基礎(chǔ)根據(jù)全等三角形的判定方法，來確定還需要證明哪些邊或角對應(yīng)相

等，再設(shè)法證明這些邊和角相等.

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P15習(xí)題11.2第3、4題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計(jì).

板書設(shè)計(jì)

把黑板分成左、中、右三部分，其中右邊部分板書“邊角邊”判定法，中間部分板書

例題，右邊部分板書練習(xí)題.

疑難解析

現(xiàn)階段中的證明都比較簡單-，常遇到下列幾種情況：（1）利用中點(diǎn)定義證明線段相

等；（2）利用垂直的定義證明角相等；（3）利用平行線的性質(zhì)證明角相等；（4）利用三

角形的內(nèi)角和等于180°證明角相等；（5）利用圖形的和、差證明邊或角相等.

第二課時作業(yè)設(shè)計(jì)

一、填空題.

1.如圖4,若A0=D0,只需補(bǔ)充就可以根據(jù)SAS判定AAOB出△DOC.

2.如圖5,已知AB=BD,則需要添加條件,就可以根據(jù)SSS判定aABC^ADBC.

二、選擇題.A

3.如圖6,AB=CD,AD=BC,則圖中全等的三角形有（）.

A.4對B.3對C.2對D.1對/

4.如圖7,已知△ABC中，BA=BC,BD_LAC于D,若NC=40°,________

CBE

則48￡為（）.（7）

A.40°B.50°C.80°D,140°

三、證明題.

5.如圖8,點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上,EC=FD,AE=BF,AB=CD,你能證明AE〃BF,

CE/7DF嗎？寫出推理過程.

6.如圖9,已知AB=AC,AD=AE,N1=N2,你能證明出NB=NC嗎？與同伴交流.

四、探索題.

7.如圖10,已知N1=N2,BA=BD,無論動點(diǎn)P在BC上如何移動，都能得到PA=PD,你

能說出這是為什么嗎？動手試一試.

五、聚焦中考.

8.如圖11,在正方形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長線上一點(diǎn)，AF=-AB.

2

(1)求證：4ABE烏AADF.

(2)閱讀下面材料：

如圖12,把AABC沿直線BC平行移動線段BC的長度，可以變到4ECD的位置.

如圖13,以BC為軸把△ABC翻折180°,可以變到aDBC的位置;

如圖14,以點(diǎn)A為中心，把△ABC旋軸180°,可以變到AAED的位置.

像這樣，其中一個三角形是由另一個三角形按平行移動，翻折、旋轉(zhuǎn)等方法變成的，

這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫做三角形的全等變換.

(3)回答下列問題：

①在圖11中，可以通過平行移動，翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使4ABE變到4ADF

的位置？

②指出圖11中線段BE與DF之間的關(guān)系.

作業(yè)設(shè)計(jì)答案：

一、1.B0=C02.AC=CD

二、3.A4.C

三、5.提示：證明△AEC^^BFD6.證明△ABEgaACD

四、7.略

五、8.(1)AB=ADAD±AB.,.△BAE=ZDAF=90°

(2)VAE=-AD,AF=-AB,.\AE=AF,AAABE^AADF.

22

(3)①AABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到AADF的位置②BE=DF

11.2.3三角形全等判定(ASA)

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探索三角形全等的判定（ASA,AAS）,及利用全等三角形的證明.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

理解“角邊角”、“角角邊”判定三角形全等的方法.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索“角邊角”、“角角邊”判定三角形全等的過程，能運(yùn)用已學(xué)三角形判定法解

決實(shí)際問題.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)良好的兒何推理意識，發(fā)展思維，感悟全等三角形的應(yīng)用價值.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：應(yīng)用''角邊角"、“角角邊”判定三角形全等.

2.難點(diǎn)：學(xué)會綜合法解決兒何推理問題.

3.關(guān)鍵：把握綜合分析法的思想，尋找問題的切入點(diǎn).

教具準(zhǔn)備

投影儀、幻燈片、直尺、圓規(guī).

教學(xué)方法

采用“問題教學(xué)法”在情境問題中，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

教學(xué)過程

一、回顧交流，鞏固學(xué)習(xí)

【知識回顧】（投影顯示）

情境思考：

1.小菁做了一個如圖1所示的風(fēng)箏，其中/EDH=NFDH,ED=FD,將上述條件注在圖

中，小明不用測量就能知道EIVFH嗎？與同伴交流.

⑴

［答案：能，因?yàn)楦鶕?jù)“SAS”，可以得到aEDH絲△FDH,從而EH=FH］

2.如圖2,AB=AD,AC=AE,能添上一個條件證明出AABC且Z\ADE嗎？［答案：BC=DE

（SSS）或NBAC=NDAE（SAS）］.

3.如果兩邊及其中邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角畛?定會全等嗎？試舉例說明.

【教師活動】操作投影儀，提出問題，組織學(xué)生思考和提問.

【學(xué)生活動】通過情境思考，復(fù)習(xí)前面學(xué)過的知識，學(xué)會正確選擇三角形全等的判定

方法，小組交流，踴躍發(fā)言.

【教學(xué)形式】用問題牽引，辨析、鞏固已學(xué)知識，在師生互動交流過程中，激發(fā)求知

欲.

二、實(shí)踐操作，導(dǎo)入課題

【動手動腦】（投影顯示）

問題探究：先任意畫一個aABC,再畫出一個4A'B'C,使A'B'=AB,/A'=ZA,

NB'=NB（即使兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等），把畫出的AA'B'C'剪下，放到AABC

上，它們?nèi)葐幔?/p>

【學(xué)生活動】動手操作，感知問題的規(guī)律,回圖如下：

畫一個AA'B'C,使A'B'=AB,

NA'=NA,NB'=ZB：

1.畫A'B'=AB；

2.在A'B'的同旁畫NDA'B/=NA,

NEBA'=NB,A'D,B'E交于點(diǎn)C'?

探究規(guī)律：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

【知識鋪墊】課本圖11.2—8中，NA'=ZA,/B'=/B,那么NC=NA'C'B'

嗎？為什么?

【學(xué)生回答】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，NC=180°-NA'-ZB',NC=180°-ZA-

ZB,由于/A=NA',NB=ZB',.*.ZC=ZC,.

［教師提問】在&ABC和ADEF中,ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF（課本圖11.2—9）,

△ABC與aDEF全等嗎？

AD

【學(xué)生活動】運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，以及“ASA”很快證出aABC絲Z\EFD,并且歸

納如下:

歸納規(guī)律：兩個角和其中?個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡與成AAS）.

三、范例點(diǎn)擊，應(yīng)用所學(xué)

【例3】如課本圖11.2—10,D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC,求證：AD=AE.

【教師活動】引導(dǎo)學(xué)生，分析例3.關(guān)鍵是尋找到和已知條件有關(guān)的△ACD和△ABE,

再證它們?nèi)?，從而得出AD=AE.

證明：在4ACD與aABE中，

Z=NA（公共角）

<AC=A8

NC=NB

.-.△ACD絲△ABE（ASA）

.\AD=AE

【學(xué)生活動】參與教師分析，領(lǐng)會推理方法.

【媒體使用】投影顯示例3.

【教學(xué)形式】師生互動.

【教師提問】三角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？

【學(xué)生活動】與同伴交流，得到有三角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定會全等，拿出三

角板進(jìn)行說明，如圖3,下面這塊三角形的內(nèi)外邊形成的AABC和aA'B'C'中，ZA=

/A',NB=NB',NC=/C',但是它們不全等.（形狀相同，大小不等）.

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P13練習(xí)第1,2題.

【探研時空】

1.如圖4,小紅不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊，她是否可以只帶其中一塊碎片

到商店去，就能配一塊與原來樣的三角形模具呢？如果可以，帶哪塊去合適？為什么？

【思路點(diǎn)撥】這是一個實(shí)際問題，應(yīng)帶含有兩個角的那一塊，由“角邊角”可知，利

用這塊能配出一個與原來全等的三角形模具.

2.小穎在練習(xí)本上畫個三角形，小蘭和她開個玩笑，將墨跡污染到這塊三角形的圖

形上（如圖5）,急得小穎直叫，要小蘭畫出一個與原來完全?樣的三角形來，小蘭該怎

么辦呢？你能幫她嗎？

【思路點(diǎn)撥】觀察圖形，可知未被墨水污染的有兩條邊及其夾角，根據(jù)“SAS”可以

作一個與原來完全一樣的三角形.

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.證明兩個三角形全等有幾種方法？如何正確選擇和應(yīng)用這些方法？

2.全等三角形性質(zhì)可以用來證明哪些問題？舉例說明.

3.你在本節(jié)課的探究過程中，有什么感想？

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P15習(xí)題11.2第5,6,9,10題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計(jì).

板書設(shè)計(jì)

把黑板分成三部分，左邊部分板書“角邊角”、“角角邊”判定法，中間部分板書例題、

畫圖，右邊部分板書練習(xí).

疑難解析

已知如圖所示Nl=/2,N3=N4,求證：△ADC絲4BCD.

思路點(diǎn)撥：欲證全等的兩個三角形是aADC和aBCD,而△,&【)(：的三條邊和三個角是：

AD、DC、AC；/DAC、/ADC、Z2,ABCD的三條邊和三個角是：BC、CD、Bl)；/CBD、

/BCD、Nl...?/2=N1,二/2與/I是對應(yīng)角.；DC=CD,；.DC與CD是對應(yīng)邊，因此看

出只需證明NADC=NBCD.；N1=N2,N3=/4,N1+N3=N2+N4,根據(jù)“角邊角”公

理，條件已具備.從這個例子可以看舟，在證明三角形全等時，要善于把間接的條件轉(zhuǎn)化

為可以直接判定三角形全等的條件.

第三課時作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題.

1.在AABC和AA'B'C'中，(1)AB=A'B'；(2)BC=B'C:(3)AC=A'C':(4)

ZA=ZA;；(5)ZB=ZB(；(6)ZC=ZC;,貝U卜歹ij哪組條件不能保證AABC絲AA

BzC'的條件是().

A.具備條件(1)(2)(3)B.具備條件(1)(2)(4)

C.具備條件(3)(4)(5)D.具備條件(2)(3)(6)

2.如圖7所示，AABC^ADBC,/D=30°，ZDBC=55°,則NABD=().

A.55°

二、填空題.

3.如圖8,已知NB=ND,DC=BC,還需給出什么條件,即得出△ABCz^DCE,根據(jù)是什么?

條件，根據(jù).條件，根據(jù).

條件，根據(jù).

4.如圖9,若AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，則/B=.

三、證明題.

5.如圖10,已知AC=EC,Z1=Z2=Z3,求證：AB=DE.

6.如圖11,已知AABC中，AD1BC,DE=DC,AE=BD-DC,BE的延長線交AC于F.

求證BF1AC.

BDC

7.如圖12,已知：AB=CD,AD=BC,求證：ZB=ZD.

A

四、聚焦中考.

8.如圖13,在4AFD和ABEC中，點(diǎn)△E,F,C在同一直線上,有下面四個論斷:

(1)AD=CB,(2)AE=CF,(3)ZB=ZD,(4)AD〃BC,請用其中三個作為條件，余下一

個作為結(jié)論，編道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程.

作業(yè)設(shè)計(jì)答案：

一、1.B2.D

二、3.ZA=ZEAASDE=ABSASNBCA=NDCE或NBCD=/ACEASA4.ZC

三、5.提示：利用三角形內(nèi)角和定理證明NACB=/DCE,再證明4ABC^ADCE(AAS)

6.提示：證BD=AD,用SAS證AADC絲Z\BDE,再證NBFC=90°

7.提示：連接AC,證明aACD出Z\ABC(SSS).

四、8.開放答案(略)

11.2.4三角形全等的判定(綜合探究)

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是三角形全等的判定的綜合運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

理解三角形全等的判定，并會運(yùn)用它們解決實(shí)際問題.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索三角形全等的四種判定方法的過程，能進(jìn)行合情推理.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)良好的幾何思維，體會幾何學(xué)的應(yīng)用價值.

重、難點(diǎn)與關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：運(yùn)用四個判定三角形全等的方法.

2.難點(diǎn)：正確選擇判定二角形全等的方法，充分應(yīng)用“綜合法”進(jìn)行表達(dá).

3.關(guān)鍵：把握問題的因果關(guān)系，從中尋找思路.

教具準(zhǔn)備

投影儀、幻燈片、直尺、圓規(guī).

教學(xué)方法

采用“講.練”結(jié)合的教學(xué)法，讓學(xué)生充分體會到幾何的分析思想.

教學(xué)過程

一、分層練習(xí)，回顧反思

【課堂演練】

1.已知△ABCgZxA'B'C',且NA=48°,ZB=33°,A'B'=5cm,求/C'的度

數(shù)與AB的長.

【教師活動】操作投影儀，組織學(xué)生練習(xí)，請一位學(xué)生上臺演示.

【學(xué)生活動】先獨(dú)立完成演練1,然后再與同伴交流，踴躍上臺演示.

解：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°

/.ZC=180°-(ZA+ZB)=99°

,.,△ABC^AA(B'C',ZC=ZCf,

：.ZC=99",

...AB=A'B'=5cm.

【評析】表示兩個全等三角形時，要把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上，這時解題就

很方便.

2.已知：如圖1,在AB、AC上各取一點(diǎn)E、D,使AE=,AD,連

接BD、CE相交于點(diǎn)0,連接AO,N1=N2.

求證：ZB-ZC.

【思路點(diǎn)撥】要證兩個角相等，我們通常用的辦法有：（1）兩直線平行，同位角或內(nèi)

錯角相等；（2）全等三角形對應(yīng)角相等；（3）等腰三角形兩底角相等（待學(xué)）.

根據(jù)本題的圖形，應(yīng)考慮去證明三角形全等，由已知條件，可知AD=AE,Nl=/2,

A0是公共邊，叫aADO絲△AEO,則可得到OD=OE,ZAE0=ZAD0,ZE0A=ZD0A,而要證

ZB=ZC可以進(jìn)一步考查AOBE公△OCD,而由上可知OE=OD,ZB0E=ZC0D（對頂角），Z

BEO=NCDO（等角的補(bǔ)角相等），則可證得aOBF絲△OCD,事實(shí)上，得到/AEO=NAOD之后，

又有/BOE=/COD,由外角的關(guān)系，可得出/B=/C,這樣更進(jìn)一步簡化了思路.

【教師活動】操作投影儀，巡視、啟發(fā)引導(dǎo)，關(guān)注“學(xué)困生”，請學(xué)生上臺演示，然

后評點(diǎn).

【學(xué)生活動】小組合作交流，共同探討，然后解答.

【媒體使用】投影顯示演練題2.

【教學(xué)形式】分組合作，互相交流.

【教師點(diǎn)評】在分析一道題目的條件時,，盡量把條件分析透，如上題當(dāng)證明AADOZ

△AEO之后，可以得到OD=OE,ZAE0=ZAD0,ZE0A=ZD0A,這些結(jié)論雖然在進(jìn)?步證明

中并不一定都用到，但在分析時對圖形中的等量及大小關(guān)系有了正確認(rèn)識，有利于進(jìn)?步

思考.

證明在△AEO與△ADO中，

AE=AD,Z2=Z1,AO=AO,

.?.△AEO^AADO(SAS),AZAE0=ZAD0.

又?.?NAE0=NE0B+NB,ZA0D=ZD0C+ZC.

又：/EOB=NDOC(對應(yīng)角)，AZB=ZC.

3.如圖2,已知/BAC=NDAE,ZABD=ZACE,BD=CE.求證：AD=AE.

【思路點(diǎn)撥】欲證相等的兩條線段AD,AE分別在AABD和4ACE中，由于BD=CE,

ZABD=ZACE,因此要證明AABD且ZXACE,則需證明NBAD=ZCAE,這由已知條件/BAC=

/DAE容易得到.

【教師活動】操作投影儀：引導(dǎo)學(xué)生思考問題.

【學(xué)生活動】分析、尋找證題思路，獨(dú)立完成演練題3.

證明：VZBAC=ZDAE

ZBAC-ZI)AC=ZDAE-ZDACB|JZBAD=ZCAE圖2

在AABD和AACE中，

VBD=CE,ZABD=ZACE,ZBAD=ZCAE,

A△ABDACE(AAS),

；.AD=AE.

【媒體使用】投影顯示演練題3.

【教學(xué)形式】講練結(jié)合.

二、隨堂練習(xí)，繼續(xù)鞏固

1.如圖3,點(diǎn)E在AB匕AC=AD,ZCAB=ZDAB,4ACE與AADE全等嗎？^ACB與4

ADB呢？請說明理由.

[答案：ZSACEgZ\ADE,AACB^AADB,根據(jù)“SAS”.]

2.如圖4,儀器ABCD可以用來平分一個角，其中AB=AD,BC=DC,將儀器上的點(diǎn)A與

E

/PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD,使它們落在角的兩邊上，沿AC畫一條射線AE,AE

就是NPRQ的平分線，你能說明其中道理嗎？

小明的思考過程如下：

AB=AD

<BC=DC-AABC^AADC-ZQRE=ZPRE

AC^AC

你能說出每一步的理由嗎？圖4

3.如圖5,斜拉橋的拉桿AB,BC的兩端分別是A,C,它們到0的距離相等，將條

件標(biāo)注在圖中，你能說明兩條拉桿的長度相等嗎？

答案：相等，因?yàn)椤鰽BOgZ\CBO(SAS),從而AB=CB.圖5

三、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P16習(xí)題11.2第11,12題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計(jì).

板書設(shè)計(jì)

把黑板分成兩份，左邊板書概念、例題，右邊板書練習(xí).

疑難解析

已知如圖6,ZBEC=ZBDC,BE=CD,求證：Z1=Z2.

思路點(diǎn)撥：欲證/1=/2,可考慮證明aAOE且z^AOD或AAOB烏△AOC,由條件不難發(fā)

現(xiàn)前者有NADO=/AEO,AO=AO,后者有NC=NB,AO=AO,二者具備的條件一樣，很難判

斷證哪一個更好，因此，必須進(jìn)一步分析條件，不難發(fā)現(xiàn)△BOE名△COD,從而得OB=OC,

OE=OD,但這兩個條件加進(jìn)去之后，又不難發(fā)現(xiàn)兩組特征的全等三角形所滿足的條件都是

SSA,而它不能判定兩個三角形全等，因此還須進(jìn)一步掌握條件，由BD=CE,不難發(fā)現(xiàn)AABD

9△ACE,這樣便有AD=AE,AB=AC.于是兩組特征的全等三角形均可由SSS證明.通過

此題證法可體會：利用全等三角形證明角相等時，特別要注意分析條件，尋找圖形條件具

備的全等三角形.

第四課時作業(yè)設(shè)計(jì)

一、填空題：

1.已知：如圖7,AD=BC,AD〃BC,則AAOD絲,線段AC平分線段

2.已知不等邊三角形ABC,畫一個和它全等的三角形aA'B'C',在畫出與NABC相

等的NA'B'C'后，點(diǎn)A'和C'的位置有種可能.

3.在△AOB與△AOC中，己知/OAB=/OAC,如果能利用“邊角邊”判定兩個三角形全等,

那么必定還有一個已知條件，它是=.

4.如圖8,在△ABC中，分別延長兩中線BD、CE到F、G,使DF=BD,EG=CE,連接

HTY3AF、AG,若NBAC=60°,則/BAG+/CAF=.

二、證明題.

5.已知:如圖9,點(diǎn)E、F在DC上,DF=EC,AD=BC,ZD=ZC,求證:AAED^ABFC,AE=BF.

6.已知：如圖10,0是AB的中點(diǎn)，OC=OD,ZA0D=ZB0C,求證AC=BD.

AOB

7.已知：如圖11,E是AC的中點(diǎn)，CF〃AB,求證：CF=AD.

A

D

8.己知：如圖12,AB=CD,AD=BC,AC、BD相交于0,A0=0C,EF過0點(diǎn)，求證：0E=0F.

三、聚焦中考.

9.如圖13,AB=AD,BC=CD,AC、BD相交于E,由這些條件可以得出若干結(jié)論，請你寫出

其中三個正確結(jié)論.(不添加字母和輔助線，不要求證明)

作業(yè)設(shè)計(jì)答案：

一、1.ABOCBD2.兩3.ABAC4.120°

二、5.提示：證明aADE絲ZXBCF.

6.提示:證明△A0CAZ\B0D.

7.提示：證明△ADE0Z\CEF