21.1一元二次方程

1.理解一元二次方程及其相關(guān)概念，能夠熟練地把一元二次方程化為一般形式.

2.會(huì)應(yīng)用一元二次方程的解的定義解決有關(guān)問(wèn)題.

3.在分析、揭示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，感

受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的工具，增強(qiáng)對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).

一、情境導(dǎo)入

參加一次集會(huì)，如果有x個(gè)人，每?jī)扇酥g都握一次手，共握了21次手，請(qǐng)你列出符

合上述條件的方程，并判斷方程是什么類型？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：一元二次方程的概念

［類型一］一元二次方程的識(shí)別

頤1下列選項(xiàng)中，是關(guān)于x的一元二次方程的是()

A.歲+：=1B.39一2燈一5/=0

C.(%—1)(,x—2)=3D.ax+/?%+c=0

解析：選項(xiàng)A中的方程分母含有未知數(shù)，所以它不是一元二次方程；選項(xiàng)B中的方程含

有2個(gè)未知數(shù)，所以它不是一元二次方程；當(dāng)a=0時(shí)，選項(xiàng)D中的方程不含二次項(xiàng)，所以

它不是一元二次方程，排除A、B、D,故選C.

方法總結(jié)：判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，必須將方程化簡(jiǎn)后再進(jìn)行判斷.一元二

次方程的三個(gè)條件：一是方程兩邊都是整式；二是只含有一個(gè)未知數(shù)；三是未知數(shù)的最高次

數(shù)是2.上述三個(gè)條件必須同時(shí)滿足，缺一不可.

［類型二］利用一元二次方程的概念確定字母系數(shù)

礫關(guān)于x的方程(k+1)1=0是一元二次方程，則k的值為

|A-H=2,)4=3或4=—1,

解析:由題意得?

什1W0,

4=3.

方法總結(jié)：由一元二次方程的概念滿足的條件：未知數(shù)最高次數(shù)為2,構(gòu)造方程，解出

字母取值，并利用二次項(xiàng)系數(shù)不為0排除使二次項(xiàng)系數(shù)為0的字母取值，從而確定字母取

值.

探究點(diǎn)二：一元二次方程的一般形式

?將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系

數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

(1)3f—2=5x；

(2)9?=16；

(3)2*(3*+1)=17；

(4)(3x-5)(x+l)=7x-2.

解析：先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱.

解：(1)方程化為一般形式為31—5萬(wàn)—2=0,二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是一5,常

數(shù)項(xiàng)是一2.

(2)方程化為一般形式為9y-16=0,二次項(xiàng)系數(shù)是9,一次項(xiàng)系數(shù)是0,常數(shù)項(xiàng)是一16.

(3)方程化為一般形式為6/+2x—17=0,二次項(xiàng)系數(shù)是6,一次項(xiàng)系數(shù)是2,常數(shù)項(xiàng)是

-17.

(4)方程化為一般形式為3/—9%—3=0,二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是一9,常數(shù)項(xiàng)

是一3.

方法總結(jié)：求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把方程化為一般形式，特別要

注意確認(rèn)各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一定要包括前面的符號(hào).

探究點(diǎn)三：列一元二次方程

:11.4m

?_______1

2m

ran(2015?深訓(xùn)一橫)在一張矩形的床單四周繡上寬度相等的花邊，剩下部分面積為

1.6R?.已知床單的長(zhǎng)是2m,寬是1.4m,求花邊的寬度.請(qǐng)根據(jù)題意列出方程.

解析：設(shè)花邊的寬度為AHI,則由圖可知剩下部分的長(zhǎng)為(2—2x)m,剩下部分的寬為(1.4

一2x)m.：剩下部分面積為1.6m2,.?.可列方程(2—2力(1.4-2x)=1.6.

方法總結(jié)：列方程最重要的是審題，只有理解題意，才能恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出未知數(shù)，準(zhǔn)確地找

出已知量和未知量之間的等量關(guān)系，正確的列出方程.

探究點(diǎn)四：一元二次方程的解

［類型一］判斷一元二次方程的解

碉方程x-2x=0的解為()

A.汨=1,用=2B.汨=0,也=1

C.Xi=0,加=2D.汨=5，A2=2

解析：把各選項(xiàng)中未知數(shù)的值分別代入方程的左右兩邊，只有選項(xiàng)C中的E=0,X2=2

都能使方程Z-2x=0的左右兩邊相等，所以選C.

方法總結(jié)：判斷一個(gè)未知數(shù)的值是否是一元二次方程的解，可以把未知數(shù)的值代入方程

左右兩邊，能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是一元二次方程的解.

［類型二］利用一元二次方程的解的意義求字母或代數(shù)式的值

M己知1是關(guān)于X的一元二次方程（0一l）*2+x+l=0的一個(gè)根，則/"的值是（）

A.1B.-1

C.0D.無(wú)法確定

解析：根據(jù)方程的根的概念，直接代入方程，左右兩邊相等，但考慮到是一元二次方程，

所以二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0.由此得，（0—1）+1+1=0,解得力=一1,此時(shí)0—1=-2#0,

故選B.

方法總結(jié)：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，在涉及方程根的題目中,

我們一般是把這個(gè)根代入方程左右兩邊轉(zhuǎn)化為求待定系數(shù)的方程來(lái)解決問(wèn)題.

三、板書設(shè)計(jì)

|構(gòu)建一-元一次方程模型人1瑜系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),

I相關(guān)概念卜一元二次方程

??般形式1—八7r解的概念?

教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)建

模的思想方法.

教學(xué)時(shí)間課題21.1一元二次方程課型新授

教學(xué)媒體多媒體

1.理解一元二次方程概念是以未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的.

知識(shí)

教2.掌握一元二次方程的一般形式以及三種特殊形式，能將一個(gè)一元二次方程化為一般形式

技能

3.理解二次根式的根的概念，會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根

學(xué)

1..通過(guò)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程，向?qū)W生滲透知識(shí)來(lái)源于生活.

過(guò)程

2.通過(guò)觀察，思考，交流，獲得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三種特殊形式.

目方法

3.經(jīng)歷觀察，歸納一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，

標(biāo)情感

通過(guò)生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

態(tài)度

教學(xué)重點(diǎn)一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念

通過(guò)提出問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，13再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方

教學(xué)難點(diǎn)

程的概念.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)程序及教學(xué)內(nèi)容師生行為設(shè)計(jì)意圖

卜一、復(fù)習(xí)引入1

導(dǎo)語(yǔ)：小學(xué)五年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)簡(jiǎn)易方程，上初中后學(xué)習(xí)了一元一次方點(diǎn)題，板書課題.聯(lián)系曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)

程，二元一次方程組，可化為一元一次方程的分式方程，運(yùn)用方程的方程知識(shí)銜接

方法可以解決眾多代數(shù)問(wèn)題和幾何求值問(wèn)題，是非常常見(jiàn)的一種數(shù)本章，明確本節(jié)

學(xué)方法。從這節(jié)課開(kāi)始學(xué)習(xí)一元二次方程知識(shí).先來(lái)學(xué)習(xí)一元二次方課內(nèi)容

程的有關(guān)概念；

1二、探究新知1學(xué)生讀題找等量關(guān)系列方

?探究課本問(wèn)題2程.淡化列方程難

分析：學(xué)生觀察所列方程整理后的度，重點(diǎn)突出方

1.參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)是什么意思？特點(diǎn)，把握方程結(jié)構(gòu)，初步程特點(diǎn)

2.全部比賽場(chǎng)數(shù)是多少？若設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽，如何用含x的代感知一元二次方程概念.

數(shù)式表示全部比賽場(chǎng)數(shù)？

整理所列方程后觀察：

1.方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)各是多少？通過(guò)比較，對(duì)一

2.下列方程中和上題的方程有共同特點(diǎn)的方程有哪些？學(xué)生嘗試敘述，然后師生元二次方程的概

4x+3=0；x2+2x-4=0；2x+y-4=0；x2-75x4-350=0；歸納念達(dá)到共識(shí)，從

i而為掌握概念作

—F2x-6=0準(zhǔn)備.

X

?概念歸納：

1.一元二次方程定義：

分析：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個(gè)數(shù)是1,最高次數(shù)是2.師生分析概念和一般形式.

2.一元二次方程的一般形式：

分析：全面理解和掌握

①.為什么規(guī)定4*0?

②.方程左邊各項(xiàng)之間的運(yùn)算關(guān)系是什么？關(guān)于X的一元二次方程

ax2-bx-c=0（。*0）的各項(xiàng)分別是什么？各項(xiàng)系數(shù)是什么？

3.特殊形式：ax2+bx=0（^70）；ax2+c=0（^0）；

學(xué)生根據(jù)相關(guān)概念作答，復(fù)

ax2=0（〃w0）習(xí)鞏固.識(shí)記、理解相關(guān)

?課本例題概念

分析：類比一元一次方程的去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，進(jìn)行同解學(xué)生類比一元一次方程的解

變形，化為一般形式后再寫出各項(xiàng)系數(shù)，注意方程一般形式中的嘗試敘述通過(guò)類比，遷移

是性質(zhì)符號(hào)負(fù)號(hào)，不是運(yùn)算符號(hào)減號(hào).提高

?一元二次方程的根的概念

1.類比一元一次方程的根的概念獲得一元二次方程的根的概念學(xué)生思考，討論完成，加深對(duì)概念理解和

2.下面哪些數(shù)是方程X2+5X+6=0的根？運(yùn)用，同時(shí)對(duì)一元

二次方程的根的情

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

況初步感知

3.你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？

(1)X2-64=0(2)x2+l=0(3)x2-3x=0(4)x2+2x+\=0

4思.考：一元一次方程一定有一個(gè)根，一元二次方程呢？

5.排球邀請(qǐng)賽問(wèn)題中，所列方程--x=56的根是8和-7,但是答案

只能有一個(gè)，應(yīng)該是哪個(gè)？

歸納：

①一元二次方程的根的情況

②一元二次方程的解要滿足實(shí)際問(wèn)題

|三、課堂訓(xùn)練|

1.課本練習(xí)學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視使學(xué)生鞏固提

2補(bǔ)充：指導(dǎo)，了解學(xué)生掌握情同1,

況，并集中訂正了解學(xué)生掌握情

1).在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是().

況

①3x2+7=。②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-l@3x2-A=0

X

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2).關(guān)于x的方程(a-1)x2+3x=0是?元二次方程，則a范圍

師生歸納總結(jié)，學(xué)生作筆納入知識(shí)系統(tǒng)

2

3).已知方程5x+mx-6=0的一個(gè)根是x=3,則m的值為_(kāi)______記.

,4).關(guān)于x的方，程(2m2+m)xm+43x=6可能是一元二次方程嗎？

|四、小結(jié)歸納

1.一元二次方程的概念及其一般形式，能將一個(gè)一元二次方程化為

一般形式，并正確指出其各項(xiàng)系數(shù).

2.一元二次方程的根的概念，能判斷一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方

程的根.

|五、作業(yè)設(shè)計(jì)|

必做：P4：1.2.4.6.7

選做：.P29：3.5.7

教學(xué)反思

21.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)

i.理解一元二次方程及其相關(guān)概念，能夠熟練地把一元二次方程化為一般形式。

2.會(huì)應(yīng)用一元二次方程的解的定義解決有關(guān)問(wèn)題。

3.在分析、揭示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，感受

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的工具，增強(qiáng)對(duì)一元二次的感性認(rèn)識(shí)。。

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.回重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念

解決問(wèn)題.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：通過(guò)提出問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，團(tuán)再由一元一次方程的概

念遷移到一元二次方程的概念.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：列方程.

問(wèn)題（1）如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離

為8m,那么梯子的底端距墻多少米？

設(shè)梯子底端距墻為xm,那么，

根據(jù)題意，可得方程為.

問(wèn)題（2）如圖，如果4S=<"，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).

ABAC

ACB

如果假設(shè)AB=1,AC=x,那么BC=,根據(jù)題意，得：.

整理得：.

問(wèn)題（3）有一面積為54m2的長(zhǎng)方形，將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m,恰好變成

一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？

如果假設(shè)剪后的正方形邊長(zhǎng)為x,那么原來(lái)長(zhǎng)方形長(zhǎng)是,寬是,根據(jù)題

意,得：.

整理，得：.

老師點(diǎn)評(píng)并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理.

二、探索新知

學(xué)生活動(dòng)1：請(qǐng)口答下面問(wèn)題.

（1）上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？

（2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

（3）有等號(hào)嗎？或與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？

老師點(diǎn)評(píng)：(1)都只含一個(gè)未知數(shù)x；(2)它們的最高次數(shù)都是2次的；(3)回都有等

號(hào)，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次

數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，13經(jīng)過(guò)整理，團(tuán)都能化成如下形式ax2+bx+c=0

(a#0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=O(aWO)后，其中ax?是二次項(xiàng)，a是二次

項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

學(xué)生活動(dòng)2提問(wèn)：

(1)問(wèn)題1中一元二次方程的解是多少？

(2)如果拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題1中還有其它解嗎？

老師點(diǎn)評(píng)：(1)問(wèn)題1中x=6是x2-36=0的解，問(wèn)題2中，x=10是x2+2x-12O=O的解.

(3)如果拋開(kāi)實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題(1)中還有x=-6的解

為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個(gè)解的區(qū)別，我們稱：一元二次方程的解

叫做一元二次方程的根.

回過(guò)頭來(lái)看：xZ36=0有兩個(gè)根，一個(gè)是6,另一個(gè)是一6,但-6不滿足題意；同理，問(wèn)

題2中的x=-12的根也滿足題意.因此，由實(shí)際問(wèn)題列出方程并解得的根，并不一定是實(shí)際

問(wèn)題的根，還要考慮這些根是否確實(shí)是實(shí)際問(wèn)題的解.

例1.將方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、

一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(aWO).因此，方程(8-2x)0(05-2x)

=18必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等.

解：去括號(hào)，得：

40-16x-10x+4x2=18

移項(xiàng)，得：4x2-26x+22=0

其中二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為-26,常數(shù)項(xiàng)為22.

例2已知1是關(guān)于x的一元二次方程(m—l)x2+x+l=0的一個(gè)根，則m的值是()

A.1B.—1

C.0D.無(wú)法確定

分析：根據(jù)方程的根的概念，直接代入方程，左右兩邊相等，但考慮到時(shí)一元二次方程，

所以還要其二次項(xiàng)系數(shù)要不能等于0.由此得，(m-l)+l+l=0,解得m=-l,此時(shí)

m=-l.故選B.

方法總結(jié)：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，在涉及方程根的題目的時(shí)

候，我們一般是把這個(gè)根代入方程左右兩邊轉(zhuǎn)化為求待定系數(shù)的方程來(lái)解決問(wèn)題。

例3如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出3X3個(gè)位置相鄰的9個(gè)

數(shù)(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9個(gè)數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的積為

192,則這9個(gè)數(shù)的和為()

A.32B.126

C.135D.144

B四五六

2

上

B

6

A

3

PXO

分析：根據(jù)圖象可以得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16,設(shè)最小數(shù)為

x,則最大數(shù)為x+16,根據(jù)題意，得x(x+16)=192,解得xi=8,X2=-24(不合題意舍

去)，故最小的三個(gè)數(shù)為8,9,10,下面一行的數(shù)字分別比上面三個(gè)數(shù)大7,即為15,

16,17,第3行三個(gè)數(shù)，比上一行三個(gè)數(shù)分別大7,即為22,23,24,這9個(gè)數(shù)的和為：

8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.故選D.

方法總結(jié)：在日歷表中，在同一列上相鄰的兩個(gè)數(shù)，下一列比上一列的一個(gè)數(shù)大7；

在同一行上相鄰的兩個(gè)數(shù)，右邊的比左邊的一個(gè)數(shù)大1,是解決此類問(wèn)題的依據(jù).

三、鞏固練習(xí)

教材習(xí)題22.1練習(xí)1、2

四、應(yīng)用拓展

例4.求證：關(guān)于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+l=0,不論m取何值，該方程都是一

元二次方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+170^O即

可.

證明：m2-8m+17=(m-4)2+1

(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0

不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a#0)回和二次

項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

1.教材習(xí)題22.11、2.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì).

作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題

1.在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是().

①3x2+7=0(2)ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-l@3x2--=0

x

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.方程2x2=3(x-6)化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、回一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為().

A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6

3.px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則().

A.p=lB.p>0C.pWOD.p為任意實(shí)數(shù)

4.已知x=-l是方程ax2+bx+c=O的根(bWO),則+).

Vbb

A.1B.-1C.0D.2

二、填空題

5.方程3x2-3=2x+l的二次項(xiàng)系數(shù)為,一次項(xiàng)系數(shù)為,常數(shù)項(xiàng)為.

6.一元二次方程的一般形式是.

7.關(guān)于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是.

8.已知方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根是x=3,則m的值為.

三、綜合提高題

9.a滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程a(x2+x)=&x-(x+1)是一元二次方程?

10.關(guān)于x的方程(2m2+m)xm+I+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？

11.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一個(gè)根，求(a-b)2+4ab的值.

12.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)中的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和等

于一次項(xiàng)系數(shù)，求證：-1必是該方程的一個(gè)根.

13.一塊矩形鐵片，面積為Im2,長(zhǎng)比寬多3m,求鐵片的長(zhǎng)，小明在做這道題時(shí)，是

這樣做的：

設(shè)鐵片的長(zhǎng)為X,列出的方程為x(x-3)=1,整理得：xJ3x-l=0.小明列出方程后，想

知道鐵片的長(zhǎng)到底是多少，下面是他的探索過(guò)程：

第一步：

X1234

x2-3x-l-3-3

所以，<x<

第二步：

X3.13.23.3.

34

x2-3x-l-0.96-0.36

所以，<X<

(1)請(qǐng)你幫小明填完空格，完成他未完成的部分；

(2)通過(guò)以上探索，估計(jì)出矩形鐵片的整數(shù)部分為,十分位為

21.2.1配方法

第1課時(shí)直接開(kāi)平方法

1.學(xué)會(huì)根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

2.運(yùn)用開(kāi)平方法解形如（x+4的方程.

3.體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

一、情境導(dǎo)入

一個(gè)正方形花壇的面積為10,若設(shè)其邊長(zhǎng)為x,根據(jù)正方形的面積可列出怎樣的方程?

用怎樣的方法可以求出所列方程的解呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)：直接開(kāi)平方法

［類型一］用直接開(kāi)平方法解一元二次方程

硒I運(yùn)用開(kāi)平方法解下列方程：

⑴獷=9；

（2）（*+3）~—2=0.

解析：（1）先把方程化為f=a（a，0）的形式；（2）原方程可變形為（x+3>=2,則X+3

是2的平方根，從而可以運(yùn)用開(kāi)平方法求解.

解：（1）由"=9,得/=彳，兩邊直接開(kāi)平方，得x=±j,.?.原方程的解是為=］也

3

2,

⑵移項(xiàng)，得（x+3>=2.兩邊直接開(kāi)平方，得x+3=±［l.?.x+3=鏡或x+3=一

，原方程的解是為=小一3,及=一鏡一3.

方法總結(jié)：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通過(guò)降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為

一元一次方程求解的，這是解一元二次方程的基本思想；一般地，對(duì)于形如f=a（a20）的

方程，根據(jù)平方根的定義，可解得小=/，xz=f-

［類型二］直接開(kāi)平方法的應(yīng)用

（例?（2014?山東潘守中旁）若一元二次方程ax2=6（a6>0）的兩個(gè)根分別是〃+1與2m

-4,則絲.

解析：’.?。小=6,.,.方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，，0+1+2/Z?—4=0,解得

0=1,；.一元二次方程af=6(a6>0)的兩個(gè)根分別是2與-2,:.yj^=2,.,.^=4,故答

案為4.

［類型三］直接開(kāi)平方法與方程的解的綜合應(yīng)用

1例?若一元二次方程(a+2)*2—ax+a?—4=0的一個(gè)根為0,則a=.

解析：：一元二次方程3+2)/—@才+/一4=0的一個(gè)根為0,二a+2W0且才一4=0,

Aa=2.故答案為2.

［類型四］直接開(kāi)平方法的實(shí)際應(yīng)用

網(wǎng)EI有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm,寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積

為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，邊長(zhǎng)應(yīng)為多少厘米？

分析：要求新正方形的邊長(zhǎng)，可先求出原正方形和矩形的面積之和，然后再用開(kāi)平方計(jì)

算.

解：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為xcm,根據(jù)題意得“2=1/+13義8,即丁=225,解得x=±15.

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為正，所以>=-15不合題意，舍去，所以只取x=15.答：新正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為

15cm.

方法總結(jié)：在解決與平方根有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，除了根據(jù)題意解題外，有時(shí)還要結(jié)合實(shí)

際，把平方根中不符合實(shí)際情況的負(fù)值舍去.

三、板書設(shè)計(jì)

教蹈題

教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)利用開(kāi)平方法解一元二次方程的本質(zhì)是求一個(gè)數(shù)的平方根的過(guò)程.同時(shí)體

會(huì)到解一元二次方程過(guò)程就是一個(gè)“降次”的過(guò)程.

21.2.1配方法

第1課時(shí)直接開(kāi)平方法

教學(xué)內(nèi)容

運(yùn)用直接開(kāi)平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一

元一次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題.

提出問(wèn)題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax?+c=O,根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，

然后知識(shí)遷移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：運(yùn)用開(kāi)平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程；領(lǐng)會(huì)降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)

思想.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如x2=n,知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解

形如(x+m)2=n(n20)的方程.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題

問(wèn)題L填空

(1)X2-8X+=(x-)2；(2)9X2+12X+=(3x+)2；(3)x2+px+=

(x+)2.

問(wèn)題2.如圖，在AABC中，/B=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始，沿AB邊向點(diǎn)B以：Lcm/s回的

速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm,BC=12cm,

回P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2?

老師點(diǎn)評(píng)：

問(wèn)題1：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(E)2K.

22

問(wèn)題2：設(shè)x秒后aPBCi的面積等于8cm2

則PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x?2x=8

2

X2=8

根據(jù)平方根的意義，得乂=±2拒

即xi=2,X2=-2V2

可以驗(yàn)證，20和-2近都是方程2x=8的兩根，但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值.

2

所以2亞秒后△PBQ的面積等于8cnr.

二、探索新知

上面我們已經(jīng)講了X2=8,根據(jù)平方根的意義，直接開(kāi)平方得x=±2C，如果x換元為

2t+l,即(2t+l)2=8,能否也用直接開(kāi)平方的方法求解呢？

(學(xué)生分組討論)

老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴腦,那么2t+l=±20

即2t+l=2V2,2t+l=-2V2

方程的兩根為tk及-L,t2=-&，

22

例1：解方程：X2+4X+4=1

分析：很清楚，x?+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=1.

解：由已知，得：(x+2)2=1

直接開(kāi)平方，得：x+2=±l

即x+2=l,x+2=-l

所以，方程的兩根X1=-1,X2=-3

例2.市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m,求每年人均住

房面積增長(zhǎng)率.

分析：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為X.回一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+E10x=10

(1+x)；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為X,

則：10(1+x)2=14.4

(1+x)2=1.44

直接開(kāi)平方，得l+x=±1.2

即l+x=1.2,l+x=-1.2

所以，方程的兩根是Xi=0.2=20%,X2=22

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的，因此，X2=-2.2應(yīng)舍去.

所以，每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20%.

(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問(wèn)：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？

共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.自我們把這種思想

稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”.

三、鞏固練習(xí)

教材P36練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例3.某公司一月份營(yíng)業(yè)額為1萬(wàn)元，第一季度總營(yíng)業(yè)額為3.31萬(wàn)元，求該公司二、三

月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率是多少？

分析:設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為X,回那么二月份的營(yíng)業(yè)額就應(yīng)該是(1+x),

三月份的營(yíng)業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)的，應(yīng)是(1+X)2.

解：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為X.

那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31

把(1+x)當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得：

13

(1+X+-)2=2.56,即(x+-)2=2.56

22

333

XH—=±1.6,即X4—=1.6,XH—=-1.6

222

方程的根為xi=10%,X2=-3.1

因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率為正數(shù)，

所以該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為10%.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

由應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如x2=p(p20),那么x=±J萬(wàn)轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形

如(mx+n)2=p(p20),那么mx+n=±J^,達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.

六、布置作業(yè)

1.教材P45復(fù)習(xí)鞏固1、2.

2.選用作業(yè)設(shè)計(jì)：

一、選擇題

1.若x?-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分別是().

A.p=4,q=2B.p=4?q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2

2.方程3x?+9=0的根為().

A.3B.-3C.±3D.無(wú)實(shí)數(shù)根

2

3.用配方法解方程xJ—x+l=0正確的解法是().

3

1Q

B.(x--)2=---原方程無(wú)解

39

(《),52y/52-75

C."=—,X]=—+-------,X2=---------------

9333

1

D.(x--)2=1,=-,

X|X2=--

333

二、填空題

1.若8x2-16=0,則x的值是.

2.如果方程2(x-3)2=72,那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是

3.如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足J3a+4+b2-12b+36=0,那么ab的值是

三、綜合提高題

1.解關(guān)于x的方程(x+m)2=n.

2.某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻(墻長(zhǎng)25m),團(tuán)另三邊用木欄圍

成，木欄長(zhǎng)40m.

(1)雞場(chǎng)的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)到200m嗎？

(2)雞場(chǎng)的面積能達(dá)到210m2嗎？

3.在一次手工制作中，某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長(zhǎng)4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個(gè)

矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，回并說(shuō)明你制作的理由嗎？

答案：

一、1.B2.D3.B

二、1.±V22.9或-33.-8

三、1.當(dāng)n20時(shí)，x+m=±y/n,xi=Vw-m,X2=-V?-m.當(dāng)n<0時(shí)，無(wú)解

2.(1)都能達(dá)到.設(shè)寬為x,則長(zhǎng)為40-2x,

依題意，得：x(40-2x)=180

整理，回得：2

0X-2OX+9O=O,XI=10+V10,x2=10-V10；

同理長(zhǎng)為

x(40-2x)=200,X|=x2=10,40-20=20.

(2)不能達(dá)到.同理x(40-2x)=210,X2-20X+105=0,

b2-4ac=400-410=-10<0?無(wú)解,即不能達(dá)到.

3.因要制矩形方框，面積盡可能大，

所以，應(yīng)是正方形，即每邊長(zhǎng)為1米的正方形.

第2課時(shí)配方法

1.了解配方的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟.

2.探索直接開(kāi)平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，能夠熟練地運(yùn)用配方法解決有關(guān)問(wèn)

題.

一、情境導(dǎo)入

7）

李老師讓學(xué)生解一元二次方程x?-6x—5=0,同學(xué)們都束手無(wú)策，學(xué)習(xí)委員蔡亮考慮了

一下，在方程兩邊同時(shí)加上14,再把方程左邊用完全平方公式分解因式……，你能按照他

的想法求出這個(gè)方程的解嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：配方法

【類型一】配方

頤1用配方法解一元二次方程4x=5時(shí)，此方程可變形為（）

A.（x+2）z=lB.（矛-2）2=1

C.（X+2）2=9D.（x—2/=9

解析：由于方程左邊關(guān)于x的代數(shù)式的二次項(xiàng)系數(shù)為1,故在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系

數(shù)一半的平方，然后將方程左邊寫成完全平方式的形式，右邊化簡(jiǎn)即可.因?yàn)閂-4x=5,

所以/—4x+4=5+4,所以（x—2）2=9.故選D.

方法總結(jié)：用配方法將一元二次方程變形的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，

使方程的左邊只留下二次項(xiàng)和一次項(xiàng)；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一

次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

［類型二］利用配方法解一元二次方程

礫用配方法解方程：/-4入+1=0.

解析：二次項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，只要先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后左、右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)

系數(shù)一半的平方，把方程配成（x+血2=的形式再用直接開(kāi)平方法求解.

解：移項(xiàng)，得4x=-1.配方，得4x+（—2/=—1+（—.即（x—2/=3.解這

個(gè)方程，得/一2=±/..?.小=2+4,xz=2一小.

方法總結(jié)：用配方法解一元二次方程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)一元二次方程變形，轉(zhuǎn)化成開(kāi)平方

所需的形式.

【類型三】用配方解決求值問(wèn)題

___v—2v

〔例El已知：/+4x+y2—6y+13=0,求:；+j的值.

解：原方程可化為(x+2)2+(y—3產(chǎn)=0,???(x+2)2=0且(y—3)2=0,.?“=一2且尸

H-n.-2—68

3,.■?原式=jT=—TT-

［類型四］用配方解決證明問(wèn)題

M(1)用配方法證明2f—4x+7的值恒大于零；

(2)由第(1)題的啟發(fā)，請(qǐng)你再寫出三個(gè)恒大于零的二次三項(xiàng)式.

證明：(1)—4x+7=2(十-2x)+7=2(丁一2x+1—1)+7=2(jr—I)2—2+7—2(x—

l):+5.?.,2(x-l)，0,.,.2(X-1)2+525,即2f-4x+725,故2f—4x+7的值恒大于

零.

(2)f-2x+3；—2x+5；3/+6x+8等.

［類型五］配方法與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用

碉證明關(guān)于x的方程面一8/17)/+2曲■+1=0不論〃為何值時(shí)，都是一元二次方

程.

解析：要證明“不論皿為何值時(shí)，方程都是一元二次方程”，只需證明二次項(xiàng)系數(shù)方一

8m+17的值不等于0.

證明：?.?二次項(xiàng)系數(shù)序一8必+17=1一8/16+1=5—4)2+1,又；(W-4)220,(加

—4)2+1>0,即勿2-8用+17>0.，不論勿為何值時(shí)，原方程都是一元二次方程.

三、板書設(shè)計(jì)

教簪底恩

教學(xué)過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)配方法解方程就是將方程左邊配成完全平方式的過(guò)程.因此需熟練掌握完

全平方式的形式.

21.2.1配方法

內(nèi)容：配方法解一元二次方程

課型：新授

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)用開(kāi)平方法解形如(x十m)2=n(nN0)的方程.

2.理解一元二次方程的解法一一配方法.

教學(xué)重點(diǎn)：利用配方法解一元二次方程

教學(xué)難點(diǎn)：把一元二次方程通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為(x十m)2-n(n>0)的形式.

學(xué)前準(zhǔn)備

1用直接開(kāi)平方法解方程

2—8=0(X+6)2-9=0

2完全平方公式是什么？

3填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(x+6)2

(2)X2—12x+=(X—)2

(3)X2+8X+=(x+)2

3

(4)x2+—x+=(x+)

4

(5)x2+px+=(x+)

觀察并思考填的數(shù)與一次項(xiàng)的系數(shù)有怎樣的關(guān)系？

二、探究活動(dòng)

問(wèn)題：下列方程能否用直接開(kāi)平方法解？

X2+8X-9=0X2—10x十25=7；

是否先把它變成(x+m)Jn(n^O)的形式再用直接開(kāi)平方法求解？

問(wèn)題：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m,并且面積為16m2,場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬應(yīng)各是多少？

解：設(shè)場(chǎng)地寬為X米，則長(zhǎng)為(x+6)米，根據(jù)題意得：()

整理得()

怎樣解方程X2+6X-16=0自學(xué)教材32頁(yè)

1什么叫配方法？

例1：用配方法解下列方程

X2—8x+l=02X2+1=3X

總結(jié)用配方法解方程的一般步驟.

(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1,即方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù).

(2)移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng).

(3)要在方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.(注：一次項(xiàng)系數(shù)是帶符號(hào)的)

(4)方程變形為(x+m)z=n的形式.

(5)如果右邊是非負(fù)實(shí)數(shù)，就用直接開(kāi)平方法解這個(gè)一元二次方程；如果右邊是一個(gè)

負(fù)數(shù)，則方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.

三.自我測(cè)試

1配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：

(1)X2+12X+=(x+6)2

(2)x2—12x+=(x—)2

(3)X2+8X+=(x+)2

2解下列方程

3x2+3x—3=03x2—9x+2=02x2+6=7x

3.將二次三項(xiàng)式x「4x+l配方后得().A.(x_2)'+3B.(x-2)--3C.(x+2)

2+3D.(x+2)2-3

4.己知xJ8x+15=0,左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是().A.X2-8X+

(-4)2=31B.x-8x+(-4)2=1C.X2+8X+42=1D.X2-4X+4=-11

5.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(0)的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于().

A.1B.-1C.1或9D.-1或9

6.下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是()A.x2+l=0B.(2x+l)2=0

C.(2x+l)2+3=0D.(—x-a)2=a

2

7.方程x'+4x-5=0的解是.

?X?―x_2

8.代數(shù)式一-——的值為0,則x的值為

x2-l

9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值，若設(shè)x+y=z,則原方程可變?yōu)?所以

求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為—

10已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4,第三邊是方程X2-4X+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

11.如果x'-4x+y'+6y+Jz+2+13=0,求(xy)'的值.

12.新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元

時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，商場(chǎng)要想

使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？

四學(xué)習(xí)體會(huì)

本節(jié)課你有什么收獲?還有什么疑問(wèn)？

五應(yīng)用與拓展

1.已知：x"+4x+y2-6y+13=0,求與-<的值.

廠+?

2.如圖，在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=8m,CB=6m,點(diǎn)P、Q同時(shí)由A,B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿

AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是lm/s,