2/29試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學(xué)圓的證明與計(jì)算（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+15種題型+命題預(yù)測）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03核心精講·題型突破考點(diǎn)一圓的相關(guān)計(jì)算問題?題型01利用圓的相關(guān)性質(zhì)求角度?題型02利用圓的相關(guān)性質(zhì)求線段長?題型03利用弧長與扇形面積求解?題型04求不規(guī)則圖形面積?題型05與圓有關(guān)的最值問題考點(diǎn)二圓的相關(guān)證明問題?題型01切線的性質(zhì)與判定綜合?題型02利用圓的性質(zhì)求證線段平行/垂直?題型03利用圓的性質(zhì)判定相似三角形?題型04利用圓的性質(zhì)判定全等三角形?題型05利用圓的性質(zhì)判定特殊的平行四邊形?題型06利用圓的性質(zhì)判定線段相等?題型07利用圓的性質(zhì)求線段比值或證明比例關(guān)系?題型08利用圓的性質(zhì)求證角平分線?題型09利用圓的性質(zhì)求證角度相等或存在2倍關(guān)系?題型10正多邊形與圓2/131

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)命題預(yù)測圓的證明

與計(jì)算圓的證明與計(jì)算是中考數(shù)學(xué)的重要組成部分，其題目類型多樣，綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力提出了較高要求。【考情分析】圓的證明與計(jì)算題型在中考中多以解答題形式出現(xiàn)，通常分為兩問。第一問側(cè)重于幾何證明，常涉及切線的判定、圓心角與圓周角的關(guān)系等；第二問則注重計(jì)算，包括線段長度、面積求解以及角度的三角函數(shù)值等。這類題型不僅考查學(xué)生對圓的基本性質(zhì)的掌握，還考查其綜合運(yùn)用幾何知識的能力?！究键c(diǎn)分析】1）切線的判定與性質(zhì)：判定切線是中考的常見考點(diǎn)，通常需要學(xué)生通過證明直線垂直于過切點(diǎn)的半徑來確認(rèn)切線。此外，切線的性質(zhì)，如切線長定理，也常在題目中出現(xiàn)。2）圓心角與圓周角：理解和運(yùn)用圓心角與圓周角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。學(xué)生需要掌握圓周角定理及其推論，能夠利用這些關(guān)系求解角度和線段長度。3）弦、弧、半徑的關(guān)系：垂徑定理及其相關(guān)推論是求解圓內(nèi)線段長度的重要工具。考試中常要求學(xué)生利用垂徑定理結(jié)合勾股定理進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算。4）圖形的相似與解直角三角形：在涉及圓的計(jì)算題中，圖形的相似和解直角三角形知識經(jīng)常被綜合運(yùn)用。學(xué)生需能夠靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系來求解?！窘忸}策略】1）掌握基礎(chǔ)知識：熟練掌握圓的基本概念和性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)。學(xué)生應(yīng)理解并牢記圓的定義、弦、直徑、弧、圓心角、圓周角等基本概念。2）識別基本圖形：能夠?qū)?fù)雜的圖形分解為基本的幾何圖形，如直角三角形、等腰三角形等，有助于發(fā)現(xiàn)隱藏的線段關(guān)系和解題途徑。3）靈活運(yùn)用定理：垂徑定理、切線定理、圓周角定理等是解決圓的問題的重要工具。學(xué)生應(yīng)能夠根據(jù)題目條件選擇合適的定理進(jìn)行證明和計(jì)算。4）注重邏輯推理：圓的證明題要求學(xué)生具備嚴(yán)密的邏輯推理能力。在解題過程中，要注意每一步推理的合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性，確保證明過程的完整性和正確性。【備考建議】1）系統(tǒng)復(fù)習(xí)：對圓的相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，確?；A(chǔ)知識的扎實(shí)掌握。2）多做練習(xí)：通過大量的習(xí)題練習(xí)，熟悉各種題型和解題方法，提高解題速度和準(zhǔn)確率。3）總結(jié)歸納：對做過的題目進(jìn)行總結(jié)歸納，分析解題過程中的思路和方法，形成自己的解題策略。4）查漏補(bǔ)缺：針對自己的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練，及時(shí)彌補(bǔ)知識漏洞。02知識導(dǎo)圖·思維引航03核心精講·題型突破考點(diǎn)一圓的相關(guān)計(jì)算問題QUOTEQUOTEQUOTE?題型01利用圓的相關(guān)性質(zhì)求角度1．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點(diǎn)P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于⊙O，AD和EF相交于點(diǎn)M，則∠AMF的度數(shù)為（

）A．26° B．27° C．28° D．30°3．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AD延長線上一點(diǎn)，∠AOC=128°，則∠CDE等于（

）A．64° B．60° C．54° D．52°4．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，EF∥x軸，點(diǎn)E在雙曲線y=kx(k為常數(shù)，k>0)上，將正六邊形ABCDEF向上平移3個(gè)單位長度，點(diǎn)DA．43 B．33 C．25．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延長線相交于點(diǎn)(1)求證：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度數(shù)．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02利用圓的相關(guān)性質(zhì)求線段長6．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長為43，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP=5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無法確定7．（2024·西藏·中考真題）如圖，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，則AD的長為（

）A．2 B．22 C．238．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)E作半圓O的切線，交AB于點(diǎn)M，交BC的延長線于點(diǎn)N．若ON=10，cos∠ABC=359．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C．2 D．310．（2024·四川自貢·中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)(1)圖1中三組相等的線段分別是CE=CF，AF=________，BD=________；若AC=3，BC=4，則⊙O半徑長為________；(2)如圖2，延長AC到點(diǎn)M，使AM=AB，過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N．求證：MN是⊙O的切線．QUOTEQUOTEQUOTE?題型03利用弧長與扇形面積求解11．（2024·山西·中考真題）如圖1是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖2是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）．通過測量得到扇形AOB的圓心角為90°，OA=1m，點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，則花窗的面積為m12．（2024·江蘇徐州·中考真題）將圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開后展平，所得扇形的面積為4πcm2，圓心角θ為90°，圓錐的底面圓的半徑為13．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC邊于點(diǎn)E，連接AE，AB=1，∠D=60°，則BE的長l=（結(jié)果保留π）．14．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形ABC；分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以AB的長為半徑作BC，AC，AB．三段弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長為3π，則它的面積是15．（2024·廣東·中考真題）綜合與實(shí)踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖1所示：①一張直徑為10cm②一只漏斗口直徑與母線均為7cm【實(shí)踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．【實(shí)踐探索】(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明．(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留π）QUOTEQUOTEQUOTE?題型04求不規(guī)則圖形面積16．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A與BC相切于點(diǎn)D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設(shè)⊙A上有一動點(diǎn)P，連接CP，BP．當(dāng)CP的長最大時(shí)，求BP的長．17．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD交BA延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CB上一點(diǎn)，且AC=(1)求證：DC∥AE；(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求陰影部分的面積．18．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形OAB的頂角∠AOB=120°，⊙O和底邊AB相切于點(diǎn)C，并與兩腰OA，OB分別相交于D，E兩點(diǎn)，連接CD，CE．

(1)求證：四邊形ODCE是菱形；(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．19．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，在AB上取一點(diǎn)E，連接AE，DE．過點(diǎn)A作AG⊥AE，交⊙O于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，連接CG，DG．

(1)求證：△AFD≌(2)若AB=2，∠BAE=30°，求陰影部分的面積．QUOTEQUOTEQUOTE?題型05與圓有關(guān)的最值問題20．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10．E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AD上的一動點(diǎn)，將△DEF沿EF翻折得△D'EF，連接AD'，B21．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線，切點(diǎn)為Q，則22．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一動點(diǎn)．∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為（A．2 B．810521 C．2.4 23．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上運(yùn)動，連結(jié)AE，BD交于點(diǎn)F，且始終滿足AD=22CE，則下列結(jié)論：①AEBD=2；②∠DFE=135°；③△ABF面積的最大值是42

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④24．（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD=1，則AE的最大值為，最小值為1.遇到與圓周角，圓心角有關(guān)角度計(jì)算時(shí)，通過輔助線1）作同弧所對的兩個(gè)圓周角；2）作同弧所對的一個(gè)圓心角，一個(gè)圓周角；3）連接多個(gè)半徑，構(gòu)造等腰三角形.2.圓中出現(xiàn)直徑，我們可以構(gòu)造直徑所對的圓周角，直徑所對的圓周角等于90°，由此可利用在直角三角形中兩銳角互余計(jì)算角的度數(shù)，利用勾股定理計(jì)算邊的長度，也可結(jié)合其他幾何知識進(jìn)行相關(guān)的推理證明.3.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理為證明兩角相等或互補(bǔ)提供了依據(jù).在求角的度數(shù)時(shí)往往綜合運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及其推論等知識建立所求角與已知條件的聯(lián)系.4.運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，常見輔助線的作法是連接圓心和切點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)構(gòu)造出直角三角形，一方面可以求相關(guān)角的大小，另一方面可以利用勾股定理求線段的長度5.涉及弧長、扇形面積與圓錐側(cè)面積的計(jì)算問題的解題方法：1）熟練使用公式求弧長，同時(shí)要學(xué)會靈活應(yīng)變，當(dāng)題目中的一些數(shù)據(jù)沒有直接給出時(shí)，要綜合其他所給條件求得.2）當(dāng)已知半徑R與圓心角的度數(shù)求扇形的面積時(shí)，選用公式；當(dāng)已知弧長l、半徑R求扇形的面積時(shí)，選用公式3）圓錐側(cè)面展開圖中扇形的半徑是圓錐的母線長，扇形的弧長是圓錐的底面圓的周長，在學(xué)習(xí)中要結(jié)合實(shí)際物體觀察和比較，分清要計(jì)算的量是哪個(gè).1．（2025·福建福州·一模）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD=12，PA=8，則cos∠ADB的值為（

A．35 B．45 C．342．（2025·浙江杭州·一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，若AC=23，∠ABC=60°A．3π2+3 B．3π2+33．（2025·河南鄭州·一模）如圖，AB是⊙O內(nèi)接正八邊形的一條邊，經(jīng)過點(diǎn)B的直線l為⊙O的一條切線，則∠1=（

）．A．20° B．22.5° C．25° D．30°4．（2025·陜西西安·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D都在⊙O上，若點(diǎn)A是CD的中點(diǎn)，CD=43，cosD=12，則A．35 B．6 C．435．（2025·陜西西安·一模）如圖，在半圓ACB中，AB=6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則BC的長是（

）A．33 B．32 C．2π 6．（2025·山東濱州·模擬預(yù)測）如圖，△ABC的角平分線CD交其外接圓O于點(diǎn)D，以下說法不正確的是（

）A．若∠ACB=60°，則3B．若∠ACB=90°，則2C．若∠ACB=120°，則CD=CA+CBD．若∠ACB=150°，則67．（2025·江蘇無錫·一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，曲線DA1B1C1D1A2B2?叫做“正方形的漸開線”，其中DA1的圓心為點(diǎn)A，半徑為AD；A1B1的圓心為點(diǎn)B，半徑為BA1；B1C1的圓心為點(diǎn)C，半徑為CB1；C1D8．（2025·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，點(diǎn)E,F分別在邊AB和AD上，且EF=4．當(dāng)△AEF的面積最大時(shí)，△CEF的面積為．9．（2025·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=3，BC=4，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC=90°，連接AD，則AD的最小值為，最大值10．（2024·重慶·一模）如圖，半圓O，點(diǎn)O為圓心，直徑AB長為6，再以點(diǎn)B為圓心，OB為半徑作弧，交弧AB于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是．11．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，在△ABO中，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A?1,3，B?4,3，(1)畫出△ABO關(guān)于y軸對稱的△A1B(2)畫出△ABO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A2所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π12．（2025·山東濱州·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三條邊BC,AC,AB及AB邊上的高CD分別記為a,b,c,?(1)求證：ab=c?；(2)求證：1a(3)若將Rt△ABC變?yōu)殇J角△ABC，其他不變，如圖，設(shè)其外接圓的直徑為d，試探索并寫出a,b,?,d13．（2025·河南鄭州·一模）如圖（1）所示的心形圖案，它由正方形的兩條邊和兩個(gè)半圓組成．如圖（2），將心形圖案放置在平面直角坐標(biāo)系中，OC，OA分別為兩個(gè)半圓的直徑，正方形OABC的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)處，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，直線y=kx交兩個(gè)半圓于點(diǎn)D，(1)若OD=2OE，求k的值；(2)若DO=5，考點(diǎn)二圓的相關(guān)證明問題QUOTEQUOTEQUOTE?題型01切線的性質(zhì)與判定綜合1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AC與半圓O相切于點(diǎn)D，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求證：AB與半圓O相切；(2)連接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC2．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，AB,CD為⊙O的直徑，點(diǎn)E在BD上，連接AE,DE，點(diǎn)G在BD的延長線上，AB=AG,∠EAD+∠EDB=45°．(1)求證：AG與⊙O相切；(2)若BG=45,sin3．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長線交AC于點(diǎn)H，且GH⊥AC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若DE=2，GH=3，求DE的長l．4．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)．連接PC、AC、OC，且PC=PA．

(1)求證：PC為⊙O的切線；(2)延長PC與AB的延長線交于點(diǎn)D，求證：PD?OC=PA?OD；(3)若∠CAB=30°，QUOTEQUOTEQUOTE?題型02利用圓的性質(zhì)求證線段平行/垂直5．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的兩側(cè)，E是OB上一點(diǎn)（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥6．（2024·北京·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.

(1)求證：OD∥BC；(2)延長DO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE交OB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作⊙O的切線交DE的延長線于點(diǎn)P.若OFBF=56，7．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在△ABD中，AB=BD，⊙O為△ABD的外接圓，BE為⊙O的切線，AC為⊙O的直徑，連接DC并延長交BE于點(diǎn)E．(1)求證：DE⊥BE；(2)若AB=56，BE=5，求⊙O8．（2024·貴州·中考真題）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長線相交于點(diǎn)D，AC與OF相交于點(diǎn)E，DC=DE．(1)寫出圖中一個(gè)與∠DEC相等的角：______；(2)求證：OD⊥AB；(3)若OA=2OE，DF=2，求PB的長．9．（2024·安徽·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是直徑AB上一點(diǎn)，∠ACD的平分線交AB于點(diǎn)E，交⊙O于另一點(diǎn)F，F(xiàn)A=FE．(1)求證：CD⊥AB；(2)設(shè)FM⊥AB，垂足為M，若OM=OE=1，求AC的長．QUOTEQUOTEQUOTE?題型03利用圓的性質(zhì)判定相似三角形10．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，過點(diǎn)C作⊙O的切線l，過點(diǎn)A作AD⊥l，垂足為D，連接AC、(1)求證：△ABC∽(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半徑．11．（2024·新疆·中考真題）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，AD=(1)求證：△ACD∽△ECB；(2)若AC=3,BC=1，求CE的長．12．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延長線相交于點(diǎn)(1)求證：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度數(shù)．QUOTEQUOTEQUOTE?題型04利用圓的性質(zhì)判定全等三角形13．（2023·山東·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD=CB，BE切⊙O于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CF⊥OE交BE于點(diǎn)F，若EF=2BF．

(1)如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；(2)如圖2，N是AD上一點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)M，使∠MCN=60°，連接MN．請問：三條線段MN，14．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，在AB上取一點(diǎn)E，連接AE，DE．過點(diǎn)A作AG⊥AE，交⊙O于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，連接CG，DG．

(1)求證：△AFD≌(2)若AB=2，∠BAE=30°，求陰影部分的面積．15．（2023·湖南·中考真題）如圖所示，四邊形ABCD是半徑為R的⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，∠ABD=45°，直線l與三條線段CD、CA、DA的延長線分別交于點(diǎn)E、F、G．且滿足∠CFE=45°．

(1)求證：直線l⊥直線CE；(2)若AB=DG；①求證：△ABC≌△GDE；②若R=1，CE=3QUOTEQUOTEQUOTE?題型05利用圓的性質(zhì)判定特殊的平行四邊形16．（2024·山東日照·中考真題）如圖1，AB為⊙O的直徑，AB=12,C是⊙O上異于A,B的任一點(diǎn)，連接AC,BC，過點(diǎn)A作射線AD⊥AC,D為射線AD上一點(diǎn)，連接CD．【特例感知】（1）若BC=6．則AC=_______．（2）若點(diǎn)C,D在直線AB同側(cè)，且∠ADC=∠B，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；【深入探究】若在點(diǎn)C運(yùn)動過程中，始終有tan∠ADC=3，連接（3）如圖2，當(dāng)CD與⊙O相切時(shí)，求OD的長度；（4）求OD長度的取值范圍．17．（2024·廣西·中考真題）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC．點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，連接DE并延長至點(diǎn)F，使DE=EF，連接AF．(1)求證：四邊形ABDF是平行四邊形；(2)求證：AF與⊙O相切；(3)若tan∠BAC=34，BC=1218．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C,D．連接AB，過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H．

(1)求證：四邊形ABOH為矩形．(2)已知⊙A的半徑為4，OB=7，求弦CD19．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形OAB的頂角∠AOB=120°，⊙O和底邊AB相切于點(diǎn)C，并與兩腰OA，OB分別相交于D，E兩點(diǎn)，連接CD，CE．

(1)求證：四邊形ODCE是菱形；(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．20．（2023·湖南益陽·中考真題）如圖，線段AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO交⊙O于點(diǎn)M，其延長線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，∠ABC=120°，D為⊙O上一點(diǎn)且DB的中點(diǎn)為M，連接AD，CD．

(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)四邊形ABCD是否是菱形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由；(3)若AC=6，求CD的長．QUOTEQUOTEQUOTE?題型06利用圓的性質(zhì)判定線段相等21．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是BA延長線上的一點(diǎn)，連接AC，∠PCA=∠B．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若sin∠B=12(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的長．22．（2024·浙江·中考真題）如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延長AD至點(diǎn)E，使AE=AC，延長BA至點(diǎn)F，連結(jié)EF，使(1)若∠AFE=60°，CD為直徑，求∠ABD的度數(shù)．(2)求證：①EF∥BC；②23．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將矩形ABCD(AD>AB)沿對角線BD翻折，C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心、r為半徑畫圓，⊙A與BC'相切于點(diǎn)E，延長DA交⊙A于點(diǎn)F，連接EF交AB

(1)求證：BE=BG．(2)當(dāng)r=1，AB=2時(shí)，求BC的長．

QUOTEQUOTEQUOTE?題型07利用圓的性質(zhì)求線段比值或證明比例關(guān)系24．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線DE⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)連接EO并延長，分別交⊙O于M,N兩點(diǎn)，交AD于點(diǎn)G，若⊙O的半徑為2，∠F=3025．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O，交AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接BE，BF，DF(1)求證：BC?DF=BF?CE；(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF26．（2023·吉林長春·中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，則銳角∠APB的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)PA、PB、PC．求證：PB=PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，通過證明△PBC≌△EBA，可推得下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP=180°．∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE．∵△ABC是等邊三角形．∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS【應(yīng)用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)P在⊙O上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在AC的兩側(cè)，連結(jié)PA、PB、PC．若PB=2227．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，MN為⊙O的直徑，且MN=15，MC與ND為圓內(nèi)的一組平行弦，弦AB交MC于點(diǎn)H．點(diǎn)A在MC上，點(diǎn)B在NC上，∠OND+∠AHM=90°．

(1)求證：MH?CH=AH?BH．(2)求證：AC=(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直線作劣弧ND的軸對稱圖形，使其交直徑MN于點(diǎn)G．若sin∠CMN=3528．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，DA和⊙O相交于點(diǎn)F，AC平分∠DAB，點(diǎn)C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于點(diǎn)P．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：AC?PC=BC(3)已知BC2=3FP?DCQUOTEQUOTEQUOTE?題型08利用圓的性質(zhì)求證角平分線29．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線l與⊙O相切于點(diǎn)D，AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)A作AE⊥l于點(diǎn)E，延長AB交直線l于點(diǎn)C．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半徑．30．（2023·安徽·中考真題）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線BD是⊙O的直徑．

(1)如圖1，連接OA,CA，若OA⊥BD，求證；CA平分∠BCD；(2)如圖2，E為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，滿足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BCQUOTEQUOTEQUOTE?題型09利用圓的性質(zhì)求證角度相等或存在2倍關(guān)系31．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D，連接CD．(1)求證：∠ABC=2∠ACD；(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半徑．32．（2024·山東德州·中考真題）如圖，圓⊙O1與⊙O2都經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O2在⊙O1上，點(diǎn)C是AO2(1)求證：∠ACB=2∠P(2)若∠P=30°，AB=23①求⊙O②求圖中陰影部分的面積．33．（2024·陜西·中考真題）如圖，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在l上，且位于點(diǎn)A兩側(cè)，連接BC，BD，分別與⊙O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接(1)求證：∠BAF=∠CDB；(2)若⊙O的半徑r=6，AD=9，AC=12，求EF的長．QUOTEQUOTEQUOTE?題型10正多邊形與圓34．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，AE為切線，連接ED，并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)求證：△ADE≌△ABG；(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF35．（2023·湖南婁底·中考真題）鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星．為了增強(qiáng)學(xué)生的國家榮譽(yù)感、民族自豪感等．?dāng)?shù)學(xué)老師組織學(xué)生對五角星進(jìn)行了較深入的研究．延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長線相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線交EF

(1)求證：AE(2)若AF=1，求AE的長．(3)求S正五邊形36．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）某同學(xué)在學(xué)習(xí)了正多邊形和圓之后，對正五邊形的邊及相關(guān)線段進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)多處出現(xiàn)者名的黃金分割比5?12≈0.618．如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，圓心為O，OA與BE交于點(diǎn)H，AC、AD

（1）求證：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接說出△BAN的形狀；（2）求證：BMBN=BN（3）由對稱性知AO⊥BE，由（1）（2）可知MNBM也是一個(gè)黃金分割數(shù)，據(jù)此求sin1.【熱考】判定直線與圓的切線的解題方法：1）給出了直線與圓的公共點(diǎn)和經(jīng)過公共點(diǎn)的半徑時(shí)，可直接根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點(diǎn)，但未給出過這點(diǎn)的半徑時(shí)，可連接公共點(diǎn)和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當(dāng)直線與圓的公共點(diǎn)不明確時(shí)，先過圓心作該直線的垂線，然后根據(jù)“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直,證相等”.2.【名師總結(jié)】在中考數(shù)學(xué)中，與圓有關(guān)的證明題常常是考生面臨的難點(diǎn)之一。這類題目不僅考查學(xué)生對圓的基本性質(zhì)和定理的掌握，還考驗(yàn)其邏輯推理和解題技巧。1）首先，熟悉圓的基本性質(zhì)和定理是解題的基礎(chǔ)。這些包括弧、弦、圓心角定理，圓周角定理，垂徑定理，切線定理以及切線長定理等。例如，圓周角定理指出一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，而切線的性質(zhì)定理則表明圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。掌握這些定理，有助于我們在解題時(shí)快速找到突破口。2）其次，做輔助線是解決圓相關(guān)證明題的重要技巧。見到切線時(shí)，通常連接過切點(diǎn)的半徑，以證明垂直關(guān)系；見到直徑時(shí)，則尋找直徑所對的圓周角，利用其性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)；若題目中有“弦的中點(diǎn)”或“弧的中點(diǎn)”，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)論。例如，證明切線問題時(shí)，通過連接圓心和切點(diǎn)，再利用半徑垂直于切線的性質(zhì)，往往能順利導(dǎo)出所需的直角。3）形成條件反射式的解題思路?？吹筋}目中的某個(gè)條件或圖形，腦海中應(yīng)即刻呈現(xiàn)出可能的輔助線和解題方向。如條件給出圓周角或圓心角的度數(shù)或等量關(guān)系，應(yīng)尋找同弧或等弧所對的其他圓周角或圓心角；見到平行線時(shí)，考慮利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換等。4）最后，多做與圓有關(guān)的證明題，善于總結(jié)規(guī)律和技巧。通過大量的練習(xí)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，熟悉常見的解題模式。例如，圓中常出現(xiàn)的直角三角形相似，包括平行相似、錯(cuò)位相似、射影相似等，掌握這些相似三角形的判定和性質(zhì)，有助于快速解決求邊長比例或長度的問題。總之，中考中與圓有關(guān)的證明題雖然難度較大，但只要掌握了基本性質(zhì)和定理，熟練運(yùn)用輔助線和解題技巧，并結(jié)合綜合法和分析法進(jìn)行思考，就能輕松應(yīng)對，取得理想的成績。1．（2025·浙江金華·一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：DE與⊙O相切；(2)若CD=BF，AE=3，求DF的長．2．（2025·陜西西安·一模）如圖，在⊙O中，直徑BD與弦AC交于點(diǎn)E，且AB=AC．(1)求證：∠BAC=2∠ABD．(2)若AB=5，BC=6，求AE的長．3．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)D，E在以AC為直徑的⊙O上，∠ADC的平分線交⊙O于點(diǎn)B，連接BA，EC，EA，過點(diǎn)E作EH⊥AC，垂足為H，交AD于點(diǎn)F．

(1)求證：AE(2)若sin∠ABD=255，40．（2025·陜西西安·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC、BC，過點(diǎn)C的直線與⊙O相切，與BA延長線交于點(diǎn)D，點(diǎn)F為CB上一點(diǎn)，且CF=CA，連接BF并延長交射線DC于點(diǎn)(1)求證：DE⊥BE；(2)若DC=53EC，DA=441．（2024·江蘇泰州·一模）已知，△ABC是半徑為5的⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，射線AD分別交BC、⊙O于點(diǎn)E、F．(1)如圖1，連接BF，求證：△AEC∽△ABF；(2)如圖2，∠BAC=90°；①若AB=8，求AF的長；②若∠ABC=30°，求AFDF如圖3，∠BAC=60°，射線BD、CD分別交⊙O于點(diǎn)G、H，點(diǎn)A在直線BC上方的圓弧上運(yùn)動，無論點(diǎn)A如何移動，線段DF、DG、DH中有一個(gè)為定值，請判斷是哪一個(gè)線段，并求出此定值．圓的證明與計(jì)算解析（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+15種題型+命題預(yù)測）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03核心精講·題型突破考點(diǎn)一圓的相關(guān)計(jì)算問題?題型01利用圓的相關(guān)性質(zhì)求角度?題型02利用圓的相關(guān)性質(zhì)求線段長?題型03利用弧長與扇形面積求解?題型04求不規(guī)則圖形面積?題型05與圓有關(guān)的最值問題考點(diǎn)二圓的相關(guān)證明問題\l-_Toc191908175?題型01切線的性質(zhì)與判定綜合?題型02利用圓的性質(zhì)求證線段平行/垂直?題型03利用圓的性質(zhì)判定相似三角形?題型04利用圓的性質(zhì)判定全等三角形?題型05利用圓的性質(zhì)判定特殊的平行四邊形?題型06利用圓的性質(zhì)判定線段相等?題型07利用圓的性質(zhì)求線段比值或證明比例關(guān)系?題型08利用圓的性質(zhì)求證角平分線?題型09利用圓的性質(zhì)求證角度相等或存在2倍關(guān)系?題型10正多邊形與圓

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)命題預(yù)測圓的證明

與計(jì)算圓的證明與計(jì)算是中考數(shù)學(xué)的重要組成部分，其題目類型多樣，綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力提出了較高要求?！究记榉治觥繄A的證明與計(jì)算題型在中考中多以解答題形式出現(xiàn)，通常分為兩問。第一問側(cè)重于幾何證明，常涉及切線的判定、圓心角與圓周角的關(guān)系等；第二問則注重計(jì)算，包括線段長度、面積求解以及角度的三角函數(shù)值等。這類題型不僅考查學(xué)生對圓的基本性質(zhì)的掌握，還考查其綜合運(yùn)用幾何知識的能力?！究键c(diǎn)分析】1）切線的判定與性質(zhì)：判定切線是中考的常見考點(diǎn)，通常需要學(xué)生通過證明直線垂直于過切點(diǎn)的半徑來確認(rèn)切線。此外，切線的性質(zhì)，如切線長定理，也常在題目中出現(xiàn)。2）圓心角與圓周角：理解和運(yùn)用圓心角與圓周角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。學(xué)生需要掌握圓周角定理及其推論，能夠利用這些關(guān)系求解角度和線段長度。3）弦、弧、半徑的關(guān)系：垂徑定理及其相關(guān)推論是求解圓內(nèi)線段長度的重要工具?？荚囍谐Ｒ髮W(xué)生利用垂徑定理結(jié)合勾股定理進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算。4）圖形的相似與解直角三角形：在涉及圓的計(jì)算題中，圖形的相似和解直角三角形知識經(jīng)常被綜合運(yùn)用。學(xué)生需能夠靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系來求解?！窘忸}策略】1）掌握基礎(chǔ)知識：熟練掌握圓的基本概念和性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)。學(xué)生應(yīng)理解并牢記圓的定義、弦、直徑、弧、圓心角、圓周角等基本概念。2）識別基本圖形：能夠?qū)?fù)雜的圖形分解為基本的幾何圖形，如直角三角形、等腰三角形等，有助于發(fā)現(xiàn)隱藏的線段關(guān)系和解題途徑。3）靈活運(yùn)用定理：垂徑定理、切線定理、圓周角定理等是解決圓的問題的重要工具。學(xué)生應(yīng)能夠根據(jù)題目條件選擇合適的定理進(jìn)行證明和計(jì)算。4）注重邏輯推理：圓的證明題要求學(xué)生具備嚴(yán)密的邏輯推理能力。在解題過程中，要注意每一步推理的合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性，確保證明過程的完整性和正確性?！緜淇冀ㄗh】1）系統(tǒng)復(fù)習(xí)：對圓的相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行全面系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，確?；A(chǔ)知識的扎實(shí)掌握。2）多做練習(xí)：通過大量的習(xí)題練習(xí)，熟悉各種題型和解題方法，提高解題速度和準(zhǔn)確率。3）總結(jié)歸納：對做過的題目進(jìn)行總結(jié)歸納，分析解題過程中的思路和方法，形成自己的解題策略。4）查漏補(bǔ)缺：針對自己的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練，及時(shí)彌補(bǔ)知識漏洞。02知識導(dǎo)圖·思維引航03核心精講·題型突破考點(diǎn)一圓的相關(guān)計(jì)算問題QUOTEQUOTEQUOTE?題型01利用圓的相關(guān)性質(zhì)求角度1．（2024·海南·中考真題）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且，點(diǎn)P在上，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)．連接，，證明和都是等邊三角形，求得，利用三角形內(nèi)角和定理求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，，∵是半圓O的直徑，，∴，∴和都是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正四邊形和正五邊形內(nèi)接于，和相交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，由圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，，即得，即可由圓周角定理得，進(jìn)而由三角形內(nèi)角和定理得，再由直角三角形兩銳角互余得到，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，∵正四邊形和正五邊形內(nèi)接于，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．3．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，為延長線上一點(diǎn)，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍可求得的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，可推出，即可得到答案．【詳解】解：是圓周角，與圓心角對相同的弧，且，，又四邊形是的內(nèi)接四邊形，，又，，故選：A．4．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正六邊形的中心，軸，點(diǎn)在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個(gè)單位長度，點(diǎn)恰好落在雙曲線上，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，過點(diǎn)E作軸于H，連接，可證明是等邊三角形，則，，進(jìn)而得到，設(shè)，則，則，，即可得到點(diǎn)在雙曲線上，再由點(diǎn)E也在雙曲線上，得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作軸于H，連接，∵原點(diǎn)為正六邊形的中心，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∵將正六邊形向上平移個(gè)單位長度，點(diǎn)恰好落在雙曲線上，∴點(diǎn)在雙曲線上，又∵點(diǎn)E也在雙曲線上，∴，解得或（舍去），∴，故選：A．5．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長線相交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等弧所對的圓周角相等可得出，再由等邊對等角得出，等量代換可得出，又，即可得出．（2）連接，由直徑所對的圓周角等于得出，設(shè)，即，由相似三角形的性質(zhì)可得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出，即可得出的值，進(jìn)一步即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵∴，∵，∴，∴，又∵∴，（2）連接，如下圖：∵為直徑，∴，設(shè)，∴，由（1）知：∴，∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴，即，解得：QUOTEQUOTEQUOTE?題型02利用圓的相關(guān)性質(zhì)求線段長6．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，弦的長為，點(diǎn)在上，，．所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)，若，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在上 B．點(diǎn)在內(nèi) C．點(diǎn)在外 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由垂徑定理可得，由圓周角定理可得，再結(jié)合特殊角的正弦值，求出的半徑，即可得到答案．【詳解】解：如圖，令與的交點(diǎn)為，為半徑，為弦，且，，，在中，，，，，，即的半徑為4，，點(diǎn)在外，故選：C．7．（2024·西藏·中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)B，D在上，，，則的長為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】本題考查圓周角定理及勾股定理，根據(jù)同弧所對圓周角相等及直徑所對圓周角是直角得到，，根據(jù)得到，最后根據(jù)勾股定理求解即可得到答案【詳解】解：∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．8．（2024·山東青島·中考真題）如圖，中，，以為直徑的半圓O分別交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)E作半圓O的切線，交于點(diǎn)M，交的延長線于點(diǎn)N．若，，則半徑的長為．【答案】6【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于證明，根據(jù)等邊對等角推出，則可證明得到，再由切線的性質(zhì)得到，則解求出的長即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴在中，，∴，∴半徑的長為6，故答案為：．9．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形內(nèi)接于，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；連接，，作于G，證明是等邊三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，，作于G，

∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即它的內(nèi)切圓半徑為，故選：D．10．（2024·四川自貢·中考真題）在中，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．(1)圖1中三組相等的線段分別是，________，________；若，，則半徑長為________；(2)如圖2，延長到點(diǎn)M，使，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N．求證：是的切線．【答案】(1)；；1(2)見解析【分析】（1）根據(jù)切線長定理得到，，，代入求解即可得到答案；（2）證明，推出，，，求得，，根據(jù)，列式求得，根據(jù)切線的判定定理，即可得到是的切線．【詳解】（1）解：連接，設(shè)半徑為，∵是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴，，；在四邊形中，，四邊形為矩形，又因?yàn)椋倪呅螢檎叫危畡t，則，，在中，由勾股定理得，∴，即，解得，故答案為：；；1；（2）證明：連接，，，作于點(diǎn)，設(shè)半徑為，∵，∴，∵，，∴，∴，，，∵是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴，∴，同理，∴，∴，∵，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，切線長定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓及勾股定理，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型03利用弧長與扇形面積求解11．（2024·山西·中考真題）如圖1是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖是其幾何示意圖（陰影部分為花窗）．通過測量得到扇形的圓心角為，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則花窗的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟知扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．用扇形的面積減去的面積即可解決問題．【詳解】解：由題知，（），∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴（），∴（），∴花窗的面積為故答案為：．12．（2024·江蘇徐州·中考真題）將圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開后展平，所得扇形的面積為，圓心角θ為，圓錐的底面圓的半徑為．【答案】【分析】本題考查的是圓錐的計(jì)算、扇形面積公式，熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)扇形面積公式求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求出弧長，最后根據(jù)圓的周長公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由題意得：，解得：（負(fù)值舍去），則，解得：，∴圓錐的底面圓的半徑為：，故答案為：．13．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)E，連接，，，則的長（結(jié)果保留）．【答案】/【分析】本題考查弧長的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是判定是等邊三角形，得到．由平行四邊形的性質(zhì)推出，判定是等邊三角形，得到，由弧長公式即可求出的長．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，由題意得：，是等邊三角形，，，．故答案為：．14．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等邊三角形；分別以點(diǎn)，，為圓心，以的長為半徑作，，．三段弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長為，則它的面積是．【答案】【分析】本題考查了弧長的計(jì)算，扇形面積的計(jì)算，三角函數(shù)的應(yīng)用，曲邊三角形是由三段弧組成，如果周長為，則其中的一段弧長就是，所以根據(jù)弧長公式可得，即正三角形的邊長為．那么曲邊三角形的面積=三角形的面積+三個(gè)弓形的面積，從而可得答案．【詳解】解：曲邊三角形的周長為，為等邊三角形，曲邊三角形的面積為：故答案為：．15．（2024·廣東·中考真題）綜合與實(shí)踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖1所示：①一張直徑為的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為的圓錐形過濾漏斗．【實(shí)踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．【實(shí)踐探索】(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明．(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留）【答案】(1)能，見解析(2)【分析】本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：（1）利用圓錐的底面周長＝側(cè)面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；（2）利用圓錐的底面周長＝側(cè)面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可．【詳解】（1）解：能，理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為，根據(jù)題意，得，解得，∴將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時(shí)濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁；（2）解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為，高為，根據(jù)題意，得，解得，∴，∴圓錐的體積為．QUOTEQUOTEQUOTE?題型04求不規(guī)則圖形面積16．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，中，，，，與相切于點(diǎn)D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設(shè)上有一動點(diǎn)P，連接，．當(dāng)?shù)拈L最大時(shí)，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）連接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切線的性質(zhì)得出，利用等面積法求出，然后利用求解即可；（2）延長交于P，連接，則最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解∶連接，

∵，，，∴，∴，∵與相切于D，∴，∵，∴，∴；（2）解∶延長交于P，連接，此時(shí)最大，

由（1）知：，，∴．17．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，過點(diǎn)C作的切線交延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若垂直平分，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖1，連接．則，即．由為直徑，可得，即．則．由，可得．由，可得．則．進(jìn)而可證．（2）如圖2，連接．由垂直平分，可得．則為等邊三角形．，．由，可得．由，可得．．證明為等邊三角形．則，．．則．．．．，再根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，連接．

圖1∵為的切線，∴，即．又∵為直徑，∴，即．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．（2）解：如圖2，連接．

圖2∵垂直平分，∴．又∵，∴為等邊三角形．∴，．∵，∴．∵，∴．又∵，∴．∵，∴為等邊三角形．∴，．∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，平行線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正弦，扇形面積等知識．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點(diǎn)，并與兩腰，分別相交于，兩點(diǎn)，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）連接交于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長，從而求出的長，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，

和底邊相切于點(diǎn)，，，，，，，和都是等邊三角形，，，，四邊形是菱形；（2）解：連接交于點(diǎn)，

四邊形是菱形，，，，在中，，，，圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，圖中陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于，在上取一點(diǎn)E，連接，．過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，連接，．

(1)求證：；(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖，連接，證明，再證明，，可得，結(jié)合，從而可得結(jié)論；（2）如圖，連接，，過作于，設(shè)，在上取Q，使，證明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，則，

∴，∵正方形，∴，，∴，∴，∵，∴．（2）如圖，連接，，過作于，設(shè)，在上取Q，使，

∵O為正方形中心，∴，，而，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，而，∴，∴，∴，，而正方形的邊長，∴，解得：，∴，∵，，，∴，∴，而，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，圓周角定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型05與圓有關(guān)的最值問題20．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在中，，，．E為邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊上的一動點(diǎn)，將沿翻折得，連接，，則面積的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，由折疊性質(zhì)得到，進(jìn)而得到點(diǎn)在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時(shí)到邊的距離最短，最小值為的長，即此時(shí)面積的最小，過C作于N，根據(jù)平行線間的距離處處相等得到，故只需利用銳角三角函數(shù)求得即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，，則，∵E為邊的中點(diǎn)，∴，∵沿翻折得，∴，∴點(diǎn)在以E為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動，如圖，過E作交延長線于M，交圓E于，此時(shí)到邊的距離最短，最小值為的長，即面積的最小，過C作于N，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴面積的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知識，綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)的運(yùn)動路線是解答的關(guān)鍵．21．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為【答案】【分析】記直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接；由直線解析式可求得點(diǎn)A、K的坐標(biāo)，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當(dāng)最小時(shí)，最小，點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結(jié)果．【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接，當(dāng)，，當(dāng)，即，解得：，即；而，∴，∴均是等腰直角三角形，∴，∴，∵與相切，∴，∴，∵，∴當(dāng)最小時(shí)即最小，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)最小值為，在中，由勾股定理得：，∴，∴最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，矩形中，．點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動點(diǎn)．，則的最小值為（

）．A．2 B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，證明，得出，點(diǎn)在點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，利用勾股定理求出從而計(jì)算出答案．【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，∵四邊形為矩形，，，，，，，，∴點(diǎn)在點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上．，，∵的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，應(yīng)用直角三角形性質(zhì)解決問題．23．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)，分別在，邊上運(yùn)動，連結(jié)，交于點(diǎn)，且始終滿足，則下列結(jié)論：①；②；③面積的最大值是；④的最小值是．其中正確的是（

）

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷②；在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，根據(jù)定弦定角得出在的上運(yùn)動，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)時(shí)，面積的最大，根據(jù)三角形的面積公式求解，即可判斷③，當(dāng)在上時(shí)，最小，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是等腰直角三角形，，，∴，∵，∴∴又∵∴，∴，故①正確；∵，∴，∴即在中，即∵是等腰直角三角形，∴平分∴∴∴，∴，故②正確，如圖所示，

在的左側(cè)，以為斜邊作等腰直角三角形，以為半徑作，且∴，∵∴∴在的上運(yùn)動，∴，連接交于點(diǎn)，則，∴當(dāng)時(shí)，結(jié)合垂徑定理，最小，∵是半徑不變∴此時(shí)最大則面積的最大，∴，故③正確；如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，最小，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，

∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴的最小值是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，求圓外一點(diǎn)到圓上的距離最值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．24．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，，，線段繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作的垂線，交射線于點(diǎn)E．若，則的最大值為，最小值為.【答案】//【分析】根據(jù)題意得出點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上，點(diǎn)E在以為直徑的圓上，根據(jù)，得出當(dāng)最大時(shí)，最大，最小時(shí)，最小，根據(jù)當(dāng)與相切于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在內(nèi)部時(shí)，最小，最大，當(dāng)與相切于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在外部時(shí)，最大，最小，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，，∴，∵線段繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，，∴點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上，∵，∴，∴點(diǎn)E在以為直徑的圓上，在中，，∵為定值，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，最小時(shí)，最小，∴當(dāng)與相切于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在內(nèi)部時(shí)，最小，最大，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最大值為；當(dāng)與相切于點(diǎn)D，且點(diǎn)D在外部時(shí)，最大，最小，連接，，如圖所示：則，∴，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值為；故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，找出取最大值和最小值時(shí)，點(diǎn)D的位置．1.遇到與圓周角，圓心角有關(guān)角度計(jì)算時(shí)，通過輔助線1）作同弧所對的兩個(gè)圓周角；2）作同弧所對的一個(gè)圓心角，一個(gè)圓周角；3）連接多個(gè)半徑，構(gòu)造等腰三角形.2.圓中出現(xiàn)直徑，我們可以構(gòu)造直徑所對的圓周角，直徑所對的圓周角等于90°，由此可利用在直角三角形中兩銳角互余計(jì)算角的度數(shù)，利用勾股定理計(jì)算邊的長度，也可結(jié)合其他幾何知識進(jìn)行相關(guān)的推理證明.3.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理為證明兩角相等或互補(bǔ)提供了依據(jù).在求角的度數(shù)時(shí)往往綜合運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及其推論等知識建立所求角與已知條件的聯(lián)系.4.運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，常見輔助線的作法是連接圓心和切點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)構(gòu)造出直角三角形，一方面可以求相關(guān)角的大小，另一方面可以利用勾股定理求線段的長度5.涉及弧長、扇形面積與圓錐側(cè)面積的計(jì)算問題的解題方法：1）熟練使用公式求弧長，同時(shí)要學(xué)會靈活應(yīng)變，當(dāng)題目中的一些數(shù)據(jù)沒有直接給出時(shí)，要綜合其他所給條件求得.2）當(dāng)已知半徑R與圓心角的度數(shù)求扇形的面積時(shí)，選用公式；當(dāng)已知弧長l、半徑R求扇形的面積時(shí)，選用公式3）圓錐側(cè)面展開圖中扇形的半徑是圓錐的母線長，扇形的弧長是圓錐的底面圓的周長，在學(xué)習(xí)中要結(jié)合實(shí)際物體觀察和比較，分清要計(jì)算的量是哪個(gè).1．（2025·福建福州·一模）如圖，、分別與相切于點(diǎn)，連接并延長與交于點(diǎn)，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線長定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，掌握三角函數(shù)值的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)切線長定理得到，，，則，即，在中由勾股定理得到，由，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵、分別與相切于點(diǎn)，連接并延長與交于點(diǎn)，∴，，平分，∴，且，∴，∴，，∵所對的圓周角是，所對圓心角是，∴，即，∵，∴在中，，∴，故選：A．2．（2025·浙江杭州·一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，若，，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了扇形的面積，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得，根據(jù)圖中陰影部分的面積為列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：連接，，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，由勾股定理得，即，解得，∴，∴圖中陰影部分的面積為，故選：C．3．（2025·河南鄭州·一模）如圖，是內(nèi)接正八邊形的一條邊，經(jīng)過點(diǎn)B的直線l為的一條切線，則（

）．A．20° B．22.5° C．25° D．30°【答案】B【分析】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握圓的切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖：連接，則，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，由切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖：連接，則，∵是內(nèi)接正八邊形的一條邊，∴，∵，∴，∵過點(diǎn)B的直線l為的一條切線，∴，∴．故選B．4．（2025·陜西西安·二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D都在上，若點(diǎn)A是的中點(diǎn)，，，則的長為（

）A． B．6 C． D．8【答案】D【分析】本題考查了垂徑定理、解直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接、，根據(jù)垂徑定理得，可得出，再根據(jù)同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍得出，易得出，然后根據(jù)正弦的定義即可得出，最后根據(jù)直徑是半徑的2倍，即可得出答案．【詳解】解：連接、，點(diǎn)A是的中點(diǎn)，，設(shè)垂足為點(diǎn)，，，和所對的弧都是，，，且，，，，在中，,，，，，是的直徑，，故選D．5．（2025·陜西西安·一模）如圖，在半圓中，，將半圓沿弦所在的直線折疊，若弧恰好過圓心，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓的折疊問題，涉及垂徑定理，勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)O作，由折疊可得，運(yùn)用勾股定理可求，再由垂徑定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)O作，如圖所示，由折疊性質(zhì)可知，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∵，經(jīng)過圓心，∴，故選：A．6．（2025·山東濱州·模擬預(yù)測）如圖，的角平分線交其外接圓于點(diǎn)，以下說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】本題考查了弧與圓周角、弦之間的關(guān)系，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，連接，延長至，使得，連接，證明，根據(jù)各選項(xiàng)可得出等腰三角形，進(jìn)而勾股定理解直角三角形，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，延長至，使得，連接，∵的角平分線交其外接圓于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵∴，又∵∴∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴∴，即，故A正確；如圖所示，，同理可得∴，∴，故B正確；如圖所示，，同理可得∴，∴，故C正確；如圖所示，，同理可得∴，如圖所示，作的外接圓，連接，延長交于點(diǎn)，∵∴∵∴是等邊三角形，∵∴∴∴在中，∴即∴，故D不正確故選：D．7．（2025·江蘇無錫·一模）如圖，四邊形是正方形，曲線叫做“正方形的漸開線”，其中的圓心為點(diǎn)，半徑為；的圓心為點(diǎn)，半徑為；的圓心為點(diǎn)，半徑為；的圓心為點(diǎn)，半徑為；…，、、、，…的圓心依次按、、、循環(huán)，當(dāng)時(shí)，則的長是．【答案】【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算，曲線是由一段段的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑加1，求出，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【詳解】解：由圖可知，曲線是由一段段的弧組成的，，，，，，……以此類推，半徑每次比前一段弧半徑加1，，，，，故答案為：．8．（2025·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)分別在邊和上，且．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的面積為．【答案】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、隱形圓求最值問題等知識，利用圓的相關(guān)知識得到的面積最大是解答的關(guān)鍵．作的外接圓，設(shè)圓心為O，過O作于H，過A作于P，由，當(dāng)A、O、H共線時(shí)取等號，此時(shí)最大，點(diǎn)P、H重合，，則的面積最大；設(shè)、相交于，由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)分別求得，再由垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)證得點(diǎn)A、O、P、、C共線，進(jìn)而求得，則，然后利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵，，∴作的外接圓，設(shè)圓心為O，過O作于H，過A作于P，如圖，則，∴，當(dāng)A、O、H共線時(shí)取等號，此時(shí)最大，點(diǎn)P、H重合，，∵，∴最大時(shí)，的面積最大；如圖1，設(shè)、相交于，∵四邊形是菱形，，∴，，，∴，又∵，，∴，，∴點(diǎn)A、O、P、、C共線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．9．（2025·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，等腰三角形中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為，最大值．【答案】//【分析】根據(jù)題意，得，，得點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以為直徑的，且的半徑為2，連接，并延長交于點(diǎn)E，F(xiàn)，利用的等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)解答即可．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，，∴點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以為直徑的，且的半徑為2，連接，并延長交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∵，∴，，∴，∴，，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)E重合時(shí)，由最小值，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合時(shí)，由最大值，故答案為：，．10．（2024·重慶·一模）如圖，半圓，點(diǎn)為圓心，直徑長為6，再以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，交弧于點(diǎn)，則陰影部分的面積是．【答案】【分析】此題考查求不規(guī)則圖圖形的面積，扇形的面積公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確理解圖形作出輔助線及正確掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，推出是等邊三角形，得到，利用三角函數(shù)求出的長，根據(jù)公式求出，然后根據(jù)計(jì)算即可得到答案.【詳解】連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在半圓中，以為圓心，為半徑畫弧，交弧于點(diǎn)，直徑長為6，，是等邊三角形，，，，，，，∴，故答案為：．11．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，在中，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)畫出繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）．【答案】(1)見解析，(2)見解析；(3)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫出即可，關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）求出，根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求，∴由圖可得；（2）解：如圖所示：即為所求，∴由圖可得；（3）解：由（2）的給出圖可得：點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑為圓弧，，∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為．12．（2025·山東濱州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，三條邊及邊上的高分別記為．(1)求證：；(2)求證：；(3)若將變?yōu)殇J角，其他不變，如圖，設(shè)其外接圓的直徑為，試探索并寫出這4個(gè)量的一個(gè)等量關(guān)系，然后給出證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，能夠根據(jù)所求內(nèi)容找到相關(guān)的量是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)勾股定理得，式子變形可得，又有，即可證明；（3）過點(diǎn)作直徑交圓于點(diǎn)，連接，即可證明，推出，即．【詳解】（1）證明：，，，，，，．（2）證明：在中，，根據(jù)勾股定理得，，，，又（已證），，．（3）解：，證明如下：過點(diǎn)作直徑交圓于點(diǎn)，連接，為圓的直徑，，，，，即：．13．（2025·河南鄭州·一模）如圖（1）所示的心形圖案，它由正方形的兩條邊和兩個(gè)半圓組成．如圖（2），將心形圖案放置在平面直角坐標(biāo)系中，分別為兩個(gè)半圓的直徑，正方形的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)處，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，直線交兩個(gè)半圓于點(diǎn)D，E．(1)若，求k的值；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖：連接，則，再根據(jù)正方形的性質(zhì)證明可得，即，然后說明即可解答；（2）由（1）可知，則，即，然后根據(jù)勾股定理、三角形的面積公式、圓的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖：連接，則，∴，