第07講6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示

6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

課程標準學習目標

①借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正1.在理解的基礎上，靈活掌握兩個向量加、減運算的坐

交分解及坐標表示。標表示，加強數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)；

②掌握兩個向量加、減運算的坐標表示。2.熟練運用掌握向量的運算性質，提升對平面向量共線

③掌握平面向量數(shù)乘運算的坐標表示。的坐標表示的理解與掌握，提升數(shù)學核心素養(yǎng)；

④理解用坐標表示的平面向量共線的條件。3.會利用坐標法，理解和掌握兩個向量是否共線的判

⑤能根據平面向量的坐標，判斷向量是否共斷.；

線。

知識點01：平面向量的正交分解

（1）把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

（2）在不共線的兩個向量中,垂直是一種特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一種分解.

在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,會給問題的研究帶來方便.

知識點02：平面向量的坐標表示

（1）向量的坐標表示

在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個不共線單位向量i、j作為基底，

對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y使得

axiyj，則把有序數(shù)對(x,y)，叫做向量a的坐標．記作a(x,y)，此式叫做向

量a的坐標表示，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，

注意：①對于a，有且僅有一對實數(shù)(x,y)與之對應

②兩向量相等時，坐標一樣

③i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)

④從原點引出的向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標

【即學即練1】（2023下·高一課時練習）如圖所示，e1,e2為單位正交基，則向量a，b的坐標分別是（）

A．3,4，2,2B．2,3，2,3C．2,3，2,2D．3,4，2,3

【答案】C

【分析】由平面向量基本定理得到，，從而求出兩向量的坐標

a2e13e2b2e12e2.

【詳解】根據平面直角坐標系，可知，，

a2e13e2b2e12e2

r

∴a2,3，b2,2.

故選：C.

（2）點的坐標與向量的坐標的關系

區(qū)別：①表示形式不同向量a(x,y)中間用等號連接，而點A(x,y)中間沒有等號

②意義不同點A(x,y)的坐標(x,y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，a(x,y)的坐標(x,y)既表示向

量的大小，也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點(x,y)或向量

(x,y).

聯(lián)系：當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.

知識點03：平面向量的坐標表示

（1）兩個向量和（差）的坐標表示

兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）.

坐標表示：，則：

a(x1,y1)b(x2,y2)

；

ab(x1x2,y1y2)ab(x1x2,y1y2)

【即學即練2】（2023上·北京海淀·高二校考階段練習）已知平面向量a(1,2)，b(3,1)，則ab（）

A．(4,1)B．(2,3)C．(4,1)D．(4,1)

【答案】C

【分析】根據向量坐標化的加法運算即可得到答案.

【詳解】ab(1,2)(3,1)4,1，

故選：C.

（2）任一向量的坐標

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標

，，則.

A(x1,y1)B(x2,y2)AB(x2x1,y2y1)

（3）向量數(shù)乘的坐標表示

實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.

坐標表示:a(x,y),則a(x,y).

【即學即練3】2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知向量am,2，b4,8，若ab，則實數(shù)m的值

是（）

A．4B．1C．1D．4

【答案】B

【分析】利用向量的坐標運算求解即可.

【詳解】因為向量am,2，b4,8，且ab

所以m,24,8，

m1

m4

所以，解得：，所以m1.

281

4

故選：B.

知識點04：平面向量共線的坐標表示

；

設a(x1,y1),b(x2,y2),其中b0,則ab當且僅當存在唯一實數(shù),使得ab

用坐標表示,可寫為ab(x1,y1)(x2,y2),即：

x1x2

消去得到：x1y2x2y10.

y1y2

這就是說,向量a,b(b0)共線的充要條件是x1y2x2y10.

r

【即學即練4】（2023上·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量a1,2，b3,1，cx,4，若

ac//bc，則x（）

A．3B．-1C．2D．4

【答案】A

【分析】運用共線向量的坐標表達式即得.

【詳解】由acx1,2，bcx3,3，又由ac∥bc，可得：2x3=3x1，解得x3.

故選：A.

題型01平面向量的正交分解及坐標表示

【典例1】（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知i和j是兩個正交單位向量，a2i3j，bikj且ab2，

則k（）

A．2或3B．2或4C．3或5D．3或4

【答案】B

【分析】根據題意得到a(2,3)，b1,k，求得ab1,3k，集合向量模的計算公式，列出方程，即

可求解.

【詳解】因為i和j是正交單位向量，a2i3j(2,3)，bikj1,k，

2

可得ab1,3k，所以ab13k2，解得k2或k4.

故選：B．

rrr

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示，若cab,R，

則.

【答案】4

【分析】首先以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，設每個小正方形的邊長為1，再

利用平面向量坐標運算求解即可.

【詳解】以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形的邊長為1)，

則O0,0,A1,1,B6,2,C5,1，

所以aAO1,1,bOB6,2,cBC1,3.

rrr

因為cab，所以1,31,16,26,2.

2

61

所以1.

23

2

所以4.

故答案為：4

【典例3】（2023·高一課時練習）設i，j是x，y軸正方向上的單位向量，2abi3j，a3b11i9j，

則向量a，b的夾角為．

π

【答案】

4

【分析】分別求出a，b的表達式，利用定義求出a，b的夾角即可.

【詳解】2abi3j①，

a3b11i9j②,

①3②得7a14i,a2i，

2②①得7b21i21j,b3i3j，

2

ab2i·3i3j6i6ij6

22

a2,b3332，

ab62

cosa,b

ab2322

π

a,b

4

【變式1】（2023·全國·高一課堂例題）設i,j為一組標準正交基，已知AB3i2j，BC4ij，

CD8i9j．若AD4a，求a在基i,j下的坐標．

155

【答案】,．

42

【分析】根據向量基本定理和向量坐標化即可得到答案.

【詳解】因為ADABBCCD3i2j4ij8i9j15i10j，

155

又AD4a，所以aij．

42

155

因此a在基i,j下的坐標為,．

42

【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，設i,j為一組標準正交基，用這組標準正交基分別表示向量

a，b，c，d，并求出它們的坐標．

【答案】答案見解析

【分析】根據基底和向量的坐標等知識求得正確答案.

【詳解】由圖可知：

a2i3j，對應坐標為2,3；

b2i3j，對應坐標為2,3；

c2i3j，對應坐標為2,3；

d2i3j，對應坐標為2,3.

【變式3】（2022·山東·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，點P3,1，將向量OP繞點O按逆時針

方向旋轉后得到向量OQ，則點Q的坐標是（）

2

A．2,1B．1,2C．3,1D．1,3

【答案】D

【解析】化P3,1為P2cos,2sin，然后利用兩角和的正弦與余弦公式，求得點Q坐標，即可得解.

66

【詳解】由P3,1，得P2cos,2sin，

66

將向量OP繞點O按逆時針方向旋轉后得到向量OQ，

2

Q2cos,2sin，

6262

13

又cossin，sincos，

62626262

Q1,3.

故選：D.

題型02平面向量的坐標運算

r

【典例1】（2023上·山西·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）若向量a3,2，b2,1，則ab．

【答案】5,3

【分析】根據向量坐標運算法則求ab坐標.

【詳解】ab32,125,3

故答案為：5,3.

【典例2】（2023上·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）若A2,1,B4,2,C1,5，求ABBC

【答案】1,6

【分析】根據平面向量的坐標表示和加法法則計算出答案.

【詳解】AB4,22,12,3,BC1,54,23,3，

ABBC2,33,31,6.

【變式1】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）平行四邊形ABCD中，

AB3,7，AD2,3，則AC的坐標為（）

A．1,5B．5,4C．1,10D．2,7

【答案】C

【分析】根據向量加法的平行四邊形法則知ACABAD，代入坐標即可求得.

【詳解】根據向量加法的平行四邊形法則ACABAD3,72,31,10

故選：C

【變式2】（2023上·北京昌平·高三昌平一中?？计谥校┮阎蛄縜，b滿足ab2,3，ab2,1，

則a2b.

【答案】4,0

【分析】首先計算出a，b，再進行線性運算即可.

【詳解】因為ab2,3，ab2,1，

r

兩式相加得2a0,4，即a=(0,2)，baba2,1

所以a2b4,0，

故答案為：4,0.

題型03由向量線性運算結果求參數(shù)

【典例1】（2023下·四川眉山·高一?？计谥校┮阎蛄縜,b滿足2ab0,3，a2b3,0，

ab1,1，則（）

A．-1B．0C．1D．25

【答案】B

【詳解】設ax1,y1，bx2,y2，又2ab0,3，a2b3,0，

2xx0x2x3

所以12，且12，

2y1y23y12y20

rr

x11x22

解得，，即a1,2，b2,1.所以ab1,22,12,21,1，則

y12y21

211

，解得，故0.

211

故選：B.

【典例2】（2023下·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經》中利用一幅“弦圖”給

出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大

正方形，若E為AF的中點，ECABAD，則（）

9731

A．B．C．D．

5555

【答案】B

【分析】構建以E為坐標原點，EF所在直線為x軸，ED所在直線為y軸，建立如圖直角坐標系，設EF1，

標注相關點的坐標，進而可得EC,AB,AD坐標，結合ECABAD，應用向量線性運算的坐標表示列方

程求出,即可.

【詳解】以E為坐標原點，EF所在直線為x軸，ED所在直線為y軸，建立如圖直角坐標系，設EF1，

又E為AF的中點，

∴E0,0,G1,1,C2,1,A1,0,B1,1,D0,2，則EC2,1,AB2,1,AD1,2，

由ECABAD，得：2,12,11,2，

3

2257

∴，解得，則.

214

5

5

故選：B.

【變式1】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）在正六邊形ABCDEF中，直線ED上的點M滿足AMACmAD，

則m（）

111

A．1B．C．D．

234

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標法列關于m的方程，解之即可求得m的值.

【詳解】在正六邊形ABCDEF中，以A為原點，

分別以AB,AE所在直線為x,y軸建立平面直角坐標系，

33

不妨令AB1，則A(0,0),C(,),D(1,3),M(t,3)，

22

33

AC(,),AD(1,3),AM(t,3),

22

3

tm1

2m

由AMACmAD，可得，解之得2

3

33mt2

2

故選：B

【變式2】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中學校聯(lián)考期末）過P11,2，P25,6的直線與x軸交于點

P，設P1PtPP2，則t

1

【答案】

3

【分析】首先設Px,0，再根據向量相等，轉化為方程組，即可求解.

【詳解】設Px,0，則P1Px1,2，PP25x,6，

x1t5x1

則，得t，x4，

26t3

1

故答案為：

3

題型04向量坐標運算解決幾何問題

【典例1】（2022下·天津南開·高一南開中學?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB3,BC4,E為AD上

一點，BEAC，若BABEAC，則的值為（）

1716

A．B．C．D．1

52525

【答案】D

【詳解】

建立如圖示坐標系，由AB3,BC4,則有：B0,0,C4,0,A0,3,D4,3,

因為E為AD上一點，可設Ex,3,

所以BA=0,3,BE=x,3,AC=4,3.

99

因為BEAC，所以BEAC=0，即4x90，解得：x，所以E,3.

44

由BABEAC得：

16

9=

4=025

4，解得：，所以=1.

9

33=3=

25

故選：D

【典例2】（多選）（2023下·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，BAD60，延長邊CD

至點E，使得DECD.動點P從點A出發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，若APABAE，

則（）

A．滿足1的點P有且只有一個

B．滿足2的點P有兩個

C．存在最小值

D．不存在最大值

【答案】BC

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設菱形ABCD的邊長為1，P(x,y)，則

331313

A(0,0),B(1,0),C,,D,,E,，

222222

13

所以AB1,0,AE,，APx,y，

22

1313

由APABAE，得x,y1,0,,，

2222

1

x

2

所以，所以x3y，

3

y

2

①當點P在AB上時，0x1，且y0，

所以x3yx0,1；

13

②當點P在BC（不含點B）上時，則BPmBC，所以x1,ym,，化簡y3(x1)，

22

所以x3yx3(x1)4x3，

3

因為1x，所以14x33，即1,3；

2

133

③當點P在CD（不含點C）上時，x，且y，

222

1333

所以x3y，即2x3y3，所以2,3；

2222

13

④當點P在AD（不含點A、D）上時，則APnAD，所以x,yn,，化簡y3x，

22

所以x3yx3x4x，

1

因為0x，所以04x2，所以0,2；

2

對于A，由①知，當1時，x1，此時點P與點B重合；

13

由④可知當1時，x，y，此時點P在AD的中點處；

44

其它均不可能，所以這樣的點P有兩個，所以A錯誤，

53

對于B，由②知，當2時，x，y，此時點P在BC的中點；

44

13

由③知，當2時，x，y，此時點P在點D處；

22

其它均不可能，所以這樣的點P有兩個，所以B正確，

對于CD，由①②③④可得：

當xy0，即點P為點A時，取到最小值0；

33

當x,y，即點P為點C時，取到最大值3，所以C正確，D錯誤，

22

故選：BC.

【變式1】（多選）（2022·江蘇·高三專題練習）如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點E，使得DE=CD，

動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周后回到點A，若APABAE，則下列判斷不

正確的是（）

A．滿足λ+μ=2的點P必為BC的中點

B．滿足λ+μ=1的點P有且只有一個

C．滿足λ+μ=3的點P有且只有一個

3

D．λ+μ=的的點P有且只有一個

2

【答案】ABD

【詳解】如圖建系，取AB1，∵AEADDEADAB，

∴APABAE()ABAD()1,00,1,，

動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，

當PAB時，有01且0，∴0≤≤1，∴01，

當PBC時，有1且01，則1，∴12，∴13，

當PCD時，有01且1，則1，∴12，∴23，

當PAD時，有0且01，則，∴0≤≤1，∴02，

綜上，03，

選項A：取1，滿足2，此時APABAEAD，因此點P不一定是BC的中點，故A錯誤；

選項B：當點P取B點或AD的中點時，均滿足1，此時點P不唯一，故B錯誤；

選項C：當點P取C點時，1且1，解得2，為3，故C正確；

3

選項D：當點P取BC的中點或DE的中點時，均滿足，此時點P不唯一，故D錯誤；

2

故選：ABD.

【變式2】（2022下·湖北十堰·高一鄖陽中學校考階段練習）某公園有三個警衛(wèi)室A?B?C，互相之間均有直

道相連，AB2千米，AC23千米，BC4千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室B，同時保

安乙沿BA從警衛(wèi)室B出發(fā)前往警衛(wèi)室A，甲的速度為2千米/小時，乙的速度為1千米/小時.

(1)保安甲從C出發(fā)1.5小時后達點D，若ADxAByAC，求實數(shù)x?y的值；

(2)若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在公園內的最大通話距離不超過2千米，試問有多長時間兩人不能

通話？

31

【答案】(1)x,y

44

6

(2)兩人約有小時不能通話

7

【詳解】（1）因為AB2AC2BC2，所以ABAC，

因此建立如圖所示的平面直角坐標系，

A(0,0),B(2,0),C(0,23)，

2tt

設保安甲從C出發(fā)t小時后達點D，所以有CDCBCDCB，

42

tt

設D(x,y)，由CDCB(x,y23)(2,23)xt,y233t，

11211211

33

即D(t,233t)，當t1.5時，D(,)，

22

33

由ADxAByAC(,)x(2,0)y(0,23)(2x,23y)

22

3

2x

231

x,y；

344

23y

2

（2）設保安乙從B出發(fā)t小時后達點E，所以點E的坐標為(2t,0)，

于是有DE(22t,3t23)，

因為對講機在公園內的最大通話距離超過2千米，兩人不能通話，

所以有DE2，所以(22t)2(3t23)22

6

解之：t2或t，又0t2

7

6

所以兩人約有小時不能通話.

7

題型05線段的定比分點

【典例1】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）已知點O0,0，向量OA2,3，OB6,3，點P是線段

AB的三等分點，則點P的坐標是（）

141014101410

A．,1B．,1C．,1或,1D．,1或,1

333333

【答案】C

【詳解】因為OA2,3，OB6,3，可得ABOBOA4,6，

2814

又因為點P是線段AB的三等分點，則APAB,4或APAB,2，

3333

1410

所以OPOAAP,1或OPOAAP,1，

33

1410

即P點的坐標為,1或,1.

33

故選：C.

【典例2】（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學?？茧A段練習）已知A2,3，B4,3，點P在線

段BA的延長線上，且2BP3AP，則P的坐標是（）

A．8,15B．8,15C．2,15D．2,15

【答案】D

【詳解】點P在線段BA的延長線上，且2BP3AP，

2BP3AP，即2OPOB3OPOA,

所以OP3OA2OB32,324,32,15．

所以點P的坐標為2,15.

故選：D.

3

【變式1】（2022·全國·高三專題練習）已知A2,3，B4,3，點P在線段AB的延長線上，且APPB，

2

則點P的坐標為.

【答案】8,15

3

【詳解】點P在線段AB的延長線上，且|AP||PB|，

2

1

ABBP，

2

OPOB2AB(4,3)2(2,6)(8,15)．

所以點P的坐標為8,15.

故答案為：8,15.

【變式2】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知A2,3，B4,3，點P在線段AB的延長線上，且

AP2PB，則點P的坐標為（）

1010

A．0,9B．6,9C．,1D．6,9或,1

33

【答案】B

【詳解】由題意得，點B為AP中點，設點Px,y，則

x2

4

2x6

，解得，

y3y9

3

2

所以點P的坐標為6,9.

故選:B．

題型06由向量的坐標求模

rr

【典例1】（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中?？茧A段練習）已知向量a1,2，b2,1，則ab

（）.

A．2B．32

C．52D．102

【答案】B

rr

【詳解】向量a1,2，b2,1，則ab(3,3)，

所以|ab|323232.

故選：B

【典例2】（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預測）已知向量ax,2，bx,1，且2ab26，則實

數(shù)x．

【答案】±1

22

【詳解】由題意，得2abx,5，所以2abx526，解得x1．

故答案為：±1.

【典例3】（2022上·上海黃浦·高三格致中學?？计谥校┰诘妊菪蜛BCD中，ABDC，AB2，BCCD1，

P是腰AD上的動點，則2PBPC的最小值為.

【答案】33

2

【詳解】以A為原點，射線AB為x軸正半軸建立直角坐標系，如圖所示，

1

因為AB2，BCCD1，過點D作DEAB交AB于點E，所以AE，

2

AE1

所以cosEAD，即EAD60，

AD2

331

所以B(2,0)，C(,)，設P(a,3a)，其中0≤a≤，

222

33

PB(2a,3a)，PC(a,3a)，

22

53

2PBPC(a,3a)，

22

2

2

5321227，

2PBPCa3a4a2a74(a)

2244

1

當a時，2PBPC取最小值33．

42

故答案為：33．

2

r

【變式1】（2022下·山東東營·高一統(tǒng)考期中）已知向量a(2,3)，b(3,2)，則|2ab|（）

A．2B．2C．17D．52

【答案】C

r

【詳解】∵a(2,3)，b(3,2)，∴2ab(1,4)，

∴|2ab|124217.

故選：C.

【變式2】（2023上·陜西榆林·高三?？茧A段練習）已知平面向量a2,0,b1,3，則

a2b.

【答案】23

【詳解】因為a2,0，b1,3，

所以a2b2,021,30,23，

所以a2b23.

故答案為：23.

【變式3】（2022上·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,ABBC，

AD1,BC2,P是線段AB上的動點，則PC4PD的最小值為.

【答案】6

【詳解】如圖，以B點為坐標原點，建立平面直角坐標系，設ABa,BPx(0?x?a），

因為AD1,BC2，所以P0,x,C2,0,D1,a，

所以PC2,x,PD1,ax,4PD4,4a4x，

2

所以PC4PD6,4a5x，所以PC4PD364a5x?6，

4

所以當4a5x0，即xa時，PC4PD的最小值為6.

5

故答案為：6

題型07由向量坐標線性運算解決最值和范圍問題

【典例1】（2019·全國·高三校聯(lián)考階段練習）在直角梯形ABCD中ABAD0,∠B30，AB23,BC2，

點E為BC邊上一點，且AExAByAD，則xy的取值范圍是（）

11301

A．-，B．0,C．0,D．,23

2222

【答案】B

【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標系，過C作CFAB，垂足為F，

因為B30,BC2，

CFBF

所以有sinB,cosBCF2sin301,BF2cos303，

BCBC

A(0,0),B(23,0),C(3,1),D(0,1)，設E(a,b)，BEmBC(m[0,1])，

a233ma233m

因此有(a23,b)m(3,1)

bmbm

因為AExAByAD，

3a

a23xx

所以有(a,b)x(23,0)y(0,1)(23x,y)6，

by

yb

a233m

而，

bm

3111

所以xy(233m)m(1m)m(m1)2，

6222

1

當m1時，xy有最大值，當m0，xy有最小值0，

2

1

所以xy的取值范圍是0,

2

故選：B

【典例2】（2022下·河南安陽·高一安陽縣第一高級中學?？茧A段練習）若O為坐標原點，

4

OA(n,m),OB(,p),F4,0，AFm1,BFp1，，則mp的最小值是（）

n

A．1B．2C．3D．6

【答案】C

4

【詳解】由題意知，AF(4n,m),BF(4,p)，

n

(4n)2m2m22m1

又AFm1,BFp1可得，2

422

4pp2p1

n

2164

整理得2mpn8n30，

n2n

4