第07講拓展二基本不等式與對勾函數(shù)

一、知識清單

1、基本不等式常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次

數(shù)）、代（1的代入）、解（整體解）.

11

①湊：湊項，例：xxaa2a3xa；

xaxa

2

112x12x11

湊系數(shù)，例：x12x2x12x0x；

22282

x2x24444

②拆：例：x2x242448x2；

x2x2x2x3

2x2

1x0

③除：例：21；

x1x

x

11

④1的代入：例：已知a0,b0,ab1，求的最小值.

ab

1111ba

解析：()(ab)24.

ababab

⑤整體解：例：已知a,b是正數(shù)，且abab3，求ab的最小值.

22

abab12

解析：ab,ab3，即abab30，解得

224

ab6ab2舍去.

2、對勾函數(shù)

b

對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，是形如：f(x)ax（a0,b0）的函數(shù).由圖

x

象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.

b?？紝春痑

f(x)ax（a0,b0）f(x)x（a0）

函數(shù)x數(shù)x

定義域(,0)(0,)定義域(,0)(0,)

值域(,2ab][2ab,)值域(,2][2,)

奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)

ba

f(x)ax在f(x)x在(,a)，

單調(diào)性x單調(diào)性x

bb(a,)上單調(diào)遞增；在

(,)，(,)上單

aa

(a,0)，(0,a)單調(diào)遞減

b

調(diào)遞增；在(,0)，

a

b

(0,)單調(diào)遞減

a

二、題型精講

題型01直接法

1

【典例1】（2023·高一課時練習）函數(shù)y2x(x0)的最小值為（）

x

A．2B．22C．3D．4

【答案】B

11

【詳解】因為x0，所以y2x22x22，

xx

121

當且僅當2x，即x時等號成立，即函數(shù)y2xx0的最小值為22，

x2x

故選：B.

1

【典例2】（2023春·安徽六安·高一校考期中）若x0，則x（）

x

A．有最小值2B．有最大值2

C．有最小值2D．有最大值2

【答案】B

【詳解】因為x0，則x0，

111

所以(x)()2(x)()2，當且僅當x即：x=1時取等號.

xxx

1

所以x2，當且僅當x=1時取等號.

x

故選：B.

4

【典例3】（2023·湖南長沙·高二長郡中學?？紝W業(yè)考試）代數(shù)式x2取得最小值時對應的x值為（）

x2

A．2B．2C．2D．2

【答案】D

【詳解】x2在分母的位置，則x20．

4424

x22x24，當且僅當x，即x22，x2時，取等號,

x2x2x2

故選：D．

4

【變式1】（2023秋·福建·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知x0，則x的最小值為（）

x

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

444

【詳解】因為x0，所以x2x4，當且僅當x時，即x2時，等號成立，

xxx

4

所以x的最小值為2.

x

故選：C.

2

【變式2】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學?？紝W業(yè)考試）函數(shù)y2xx0的最小值為

x

（）

1

A．B．2C．2D．4

22

【答案】D

2

【詳解】∵x0，則2x0,0，

x

222

∴y2x22x4，當且僅當2x，即x1時，等號成立，

xxx

2

故函數(shù)y2xx0的最小值為4.

x

故選：D.

題型02湊配法

1

【典例1】（2023·高一課時練習）若x>4，則yx的最值情況是（）

x4

A．有最大值6B．有最小值6C．有最大值2D．有最小值2

【答案】B

111

【詳解】若x>4，則yxx442x446，

x4x4x4

1

當且僅當x4即x5等號成立，

x4

1

所以若x>4時，yx有最小值為6，無最大值.

x4

故選：B.

19

【典例2】（2023·安徽安慶·安慶一中校考三模）已知非負數(shù)x,y滿足xy1，則的最小值是

x1y2

___________.

【答案】4

【詳解】由xy1，可得

191191y29x1

x1y24,x1y219

x1y24x1y24x1y2

1y29x1

1024，當且僅當y23x1，即x0,y1時取等號.

4x1y2

故答案為：4

1

【典例3】（2023·高一課時練習）當x1時，不等式xa恒成立，則a的取值范圍是__________．

x1

【答案】(,3)

【詳解】由x1可得x10，

111

因為xx112x113，

x1x1x1

1

當且僅當x1，即x2時取等號，

x1

1

因為xa恒成立，所以a3.

x1

故答案為：(,3).

4

【變式1】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_學考試）若x2，則函數(shù)yx的最小值為（）

x2

A．3B．4C．5D．6

【答案】D

44

【詳解】由題意可得：yxx22，

x2x2

∵x2，則x20，

444

故yx222x226，當且僅當x2，即x4時，等號成立.

x2x2x2

故選：D.

14

【變式2】（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習）已知正實數(shù)a,b滿足ab3，則的最小值

1a4b

為__________.

9

【答案】/1.125

8

【詳解】因為ab3，所以

1411414(1a)4b

[(1a)(4b)]()[14]

1a4b81a4b84b1a

14(1a)4b94(1a)4b54

52，當且僅當，即a,b最取到等號.

84b1a84b1a33

9

故答案為：.

8

題型03分離法

x23x6

【典例1】（2023春·江蘇泰州·高二泰州中學?？茧A段練習）已知y(x0)，則y的最小值是

x1

A．2B．3C．4D．5

【答案】D

2

x23x6x1x144

【詳解】由題意知，fxx11，

x1x1x1

因為x0，所以x10，

44

則x112415，（當且僅當x1，即x1時取“=”）

x1x1

故fx的最小值是5.

故答案為D.

2x2x3

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)yx0的最大值為________.

x

【答案】126/261

【詳解】因為x0，則x0，

2x2x333

所以fx2x1(2x)1

xxx

3

≤22x1126，

x

36

當且僅當2x，即x時等號成立，

x2

所以fx的最大值為126.

故答案為：126.

x2x4

【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知x1，則函數(shù)y的最小值是______．

x1

【答案】3

【詳解】因為x1，

2

x2x4x1(x1)44

yx11

x1x1x1

4

2x113

x1

4

當且僅當x1，即x1時，等號成立.

x1

x2x4

所以函數(shù)y的最小值是3

x1

故答案為:3.

3xx2

【變式1】（2022·江蘇·高一專題練習）當x0時，函數(shù)y的最小值為（）

1x

A．23B．231

C．231D．4

【答案】B

3xx2333

【詳解】因為x0，所以yxx112x11231，當且僅當

1x1x1x1x

3

x1，即x31時，等號成立．

1x

故選：B．

【變式2】（2022秋·河北滄州·高一任丘市第一中學?？计谥校┙獯鹣铝袉栴}：

16

(1)已知x2，求函數(shù)yx的最小值；

x2

x23x

(2)已知x1，求函數(shù)y最小值．

x1

【答案】(1)10；

(2)9.

【詳解】（1）因為x2，所以x20，

161616

所以yxx222x2210，

x2x2x2

16

當且僅當x24，即x6時等號成立，

x2

16

所以函數(shù)yx的最小值為10

x2

2

x23xx15x14

（2）因為x1，x10，yx152459

x1x1x1

4

當且僅當x12，即x3時等號成立.

x1

x23x

所以函數(shù)y的最小值為9.

x1

題型04換元法

x2y2

【典例1】（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎獂y0，則的最小值是（）

xyy2

A．23B．52

C．222D．2

【答案】C

2

x

221

xyyx

【詳解】，設t，則t1.

2xy

xyy1

y

2

x

1

x2y2yt21t212t2122

于是t1，

2x

xyy1t1t1t1t1t1

y

222

令yt1(t1)，則yt122t12222，

t1t1t1

t1

x2y2

當，即，也即時，取到最小值

2t21x(12)y2222.

t1xyy

t1

故選：C

x2y

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若實數(shù)x,y滿足2x2xyy21，則的最大值為

5x22xy2y2

________.

【答案】2

4

【詳解】由2x2xyy21，得(2xy)(xy)1，

1

設2xyt,xy，其中t0.

t

112111

則xt,yt，從而x2yt,5x22xy2y2t2，

33t3t3tt2

1x2yu

記ut，則，

t5x22xy2y2u22

112

不妨設u0，則224,

u2u

uu

22

當且僅當u，即u2時取等號，即最大值為.

u4

2

故答案為：.

4

【典例3】（2023·江蘇·高一專題練習）求下列函數(shù)的最小值

x2x1

（1）y(x0)；

x

x25

（2）y(xR)；

x24

x22x6

（3）y(x1).

x1

5

【答案】（1）3；（2）；（3）10.

2

x2x11

y=x13

【詳解】（1）xx

111

∵x0，∴x2x2（當且僅當x=，即x=1時取“=”）

xxx

x2x1

即y(x0)的最小值為3；

x

1

（2）令tx24t2，則ytt2在2，是單增，

t

15

∴當t=2時，y取最小值y2；

min22

5

即y的最小值為

2

x22x6

（3）令tx1t0，則y(x1)可化為：

x1

99

yt42t410

tt

當且僅當t=3時取“=”

即y的最小值為10

4

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）當x2時，x的最小值為________.

x2

【答案】3

44

【詳解】設x2t，則xt2，

x2t

又由x2得t4，

4

而函數(shù)yt2在4,上是增函數(shù)，

t

4

因此t4時，y取得最小值423，

4

故答案為：3.

4

【變式2】（2023·全國·高三專題練習）（1）求函數(shù)yxx1的最小值及此時x的值；

x1

x25x10

（2）已知函數(shù)y，x2,，求此函數(shù)的最小值及此時x的值.

x2

【答案】（1）函數(shù)y的最小值為5，此時x3；（2）函數(shù)y的最小值為5，此時x0.

【詳解】（1）∵x1，

444

∴yxx112x11415，

x1x1x1

4

當且僅當x1即x3時，等號成立.

x1

故函數(shù)y的最小值為5，此時x3；

（2）令tx2t0，

將xt2代入得：

2

t25t2104

yt1，

tt

∵t0，

44

∴yt12t1415，

tt

4

當且僅當t，

t

4

即x2，

x2

即x0時，等號成立.

故函數(shù)y的最小值為5，此時x0.

題型05常數(shù)代換“1”的代換

23

【典例1】（2023·高一單元測試）設x0,y0，且2x3y1，則的最小值為__________．

xy

【答案】25

【詳解】因為x0,y0，2x3y1，

23236y6x6y6x

所以2x3y1321325.

xyxyxyxy

6y6x1

當且僅當，且2x3y1，即xy時，等號成立.

xy5

23

所以，的最小值為25.

xy

故答案為：25.

28

【典例2】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）若0a4，則的值可以是__________．

a4a

9

【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）

2

【詳解】因為a4a4，

28128124a8a

所以a4a10．

a4a4a4a4a4a

24a8a

因為0a4，所以0,0，

a4a

24a8a24a8a4

所以8，當且僅當，即a時，等號成立，

a4aa4a3

2819

則810.

a4a42

【典例3】（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)m?n，滿足2m3nmn0，則2m3n的最小值為

__________.

【答案】24

23

【詳解】由正數(shù)m，n滿足2m3nmn0，可得1，

nm

234m9n4m9n

所以2m3n2m3n1221224，

nmnmnm

4m9n23

當且僅當，1，即m6,n4時取等號，

nmnm

所以2m3n的最小值為24.

故答案為：24.

21

【典例4】（2023·全國·高三專題練習）已知xy4，且xy0，則的最小值為______．

xyy

【答案】2

【詳解】因為xy4，所以xy2y4，又xy0，所以xy0

212114yxy14yxy1

則xy2y22422，

xyyxyy4xyy4xyy4

4yxy

當且僅當且xy4，即x3,y1時，等號成立，

xyy

21

所以的最小值為2.

xyy

故答案為：2.

2y2

【變式1】（2023春·浙江·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）正實數(shù)x，y滿足2x3y1，則的最小值是（）

xy

A．3B．7C．1047D．107

【答案】C

2y263y2612x2722

【詳解】由2x3y1得3y12x，所以，

xy3xy3xy3xy3

7227227y4x

由于2x3y10，

3xy33xy3xy

7y4x7y4x37377

由于x,y為正數(shù)，所以102104710，當且僅當2x7yy,x

xyxy24

時等號成立，

故選：C

11

【變式2】（2023·山東日照·三模）設x1,y0且x2y1，則的最小值為_________．

x1y

【答案】322

2

【詳解】因為x1,y0，

2yx1

所以x10，0,0，

x1y

因為x2y1，所以x12y2，

1111112yx11

所以(x12y)3(322)，

x1y2x1y2x1y2

2yx1

當且僅當，即x223，y22時取得最小值．

x1y

322

故答案為：.

2

9

故答案為：5（答案不唯一，只要不小于即可）

2

11

【變式3】（2023春·廣東汕頭·高一金山中學校考期中）已知正實數(shù)a,b滿足4ab18，則的最小

ab

值為__________.

1

【答案】/0.5

2

【詳解】因為正實數(shù)a,b滿足4ab18，

2ab

所以1，

918

11112ab

所以

abab918

2b2a1

918a9b18

5b2a1

2，

1818a9b2

b2a

當且僅當，即a3,b6時取等號，

18a9b

111

所以的最小值為，

ab2

故答案為：1

2

43

【變式4】（2023春·吉林長春·高二校考期中）已知正數(shù)a、b滿足3a4b1，則的最小值為_______.

ab

【答案】48

434316b9a

【詳解】因為正數(shù)a、b滿足3a4b1，則3a4b24

ababab

16b9a

24248，

ab

1

16b9aa

6

當且僅當ab時，即當時，等號成立，

1

3a4b1b

8

43

因此，的最小值為48.

ab

故答案為：48.

題型06消元法

【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若正實數(shù)x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（）

A．6B．5C．4D．3

【答案】D

【詳解】因為x＋2y＋xy＝7，

7x

所以y，

x2

7x99

所以xyxx1x23．

x2x2x2

因為x0，則x20

99

所以x232x23633，

x2x2

9

當且僅當x2，即x＝1，y＝2時，等號成立，

x2

所以x＋y的最小值為3．

故選：D

11

【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)a，b滿足a2，則2ab的最小值是（）

ba

59

A．B．3C．D．221

22

【答案】A

111

【詳解】解：因為a2，所以a2>0，所以b，

bb2

11bb

所以2ab22b22b1+，

ab2b12b1

t+1

令2b1t，則b，且1t3，

2

t+1

1132

所以1211115，當且僅當2t，即t，b,a時，取等號，

2ab2t+2t++22t+2t243

at2t22t22

15

所以2ab的最小值是.

a2

故選：A.

【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知x0，y0，滿足x22xy10，則3x2y的最小值是（）

A．2B．3C．23D．22

【答案】D

1x2

【詳解】由x22xy10，得y，而x0,y0，則有0x1，

2x