Review復(fù)習(xí)

Preliminaries

TheProgramforSolvingEngineeringProblem

TheOonoeptofnumerical

I?。叫/i.

Numericalanalysisisthestudyofalgorithmsforthe

problemsofcontinuousmathematics

--LloydN.Trefethen

“計算數(shù)學(xué)”就是研究在計算機上解決數(shù)學(xué)問題的理論和數(shù)

值方法。

■數(shù)值計算方法是一門根據(jù)計算機特點，研究

通過計算機求工程問題滿足精度要求的近似

解的學(xué)科。

TheWayofNumericalMethods

■Dispersing(離散化)

只計算定義域上有限個變量的值，而不是所有函數(shù)變量的值

?Approach(逼近)

用簡單函數(shù)y(x)近似替代函數(shù)f(x),但誤差E(x)=f(x)-y(x)要滿足精度要求。

?Deducebydegrees(遞推)

遞推是將一個復(fù)雜的計算過程轉(zhuǎn)化為簡單過程的多次重復(fù)的數(shù)學(xué)方法。

TheAbsoluteError&,RelativeError

■TheAbsoluteError:E'=|p-p'|

絕對誤差

,

■TheRelativeError:Rp=|p-p|/|p|

相對誤差

SignificantDigits（有效數(shù)字）

|p-p1/|p|<10-d/2

Thenumberp5issaidtoapproximateptod

significantdigitsifdisthelargestpositive

integer

LossofSignificance（精度損失）

工、選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法

2、相近兩數(shù)避免相減

3、絕對值相對太小的數(shù)不宜作除數(shù)

4、警惕大數(shù)吃小數(shù)

5、簡化計算方法，盡量減少過程誤差

2TheSolutionofNonlinear

Equationsf(x)=O

Themethods

(1)Findtheareafortheroot

(2)Approach

2.1IterationforSolvingx=g(x)迭代法

先將方程/（M）=0轉(zhuǎn)化為等價方程

然后從某個數(shù)三L出發(fā),通過計算

A+i=g(4)"=0,1,2,…)

迭代序列

構(gòu)造序列I彳匚加巢右了）連續(xù)且這帝通最序上”,則由（2.4）式立即可得

迭代收斂工?=-）

Theorem2.1

]imp=PP是g(x)的固定點

「n

77—>00

例2用迭代法求方程八支）=工3-]—1=0的根.

例2用迭代法求方程八式）=<3一工—1=0的根.

①=工3—i

x=3/十i

迭代公式%廣/*+i了一打"1

1.51.5

1

111.357212.375

121.3308612,3965

131.325881904.01

141.324946.90252x1()9

*

1.32476?

1.32473

壯

171.32472

41.32472

convergence

divergence

(c)

Theorem2.2

定理】若送代函數(shù)g(外滿足條件

(1)在區(qū)間區(qū)"]上存在，且1g'(工)|《L<1(其中L為小于1的正常數(shù))；

(2)對任意工€[%6],都有g(shù)(x)€[a,b].

則

(1)對任取初始近似值.曰。"],迭代法々，產(chǎn)g(q)產(chǎn)生的迭代序列eJ都收斂于方

程H=g(N)在[%上的唯一實根Z*；

Theorem2.3

gr(P)<K<lP.AttractivefixedPoint

P.RepellingfixedPoint

gf(P)>i

X一z+1

在區(qū)間［1,2］上導(dǎo)數(shù)存在，而且對任意工6［1,2］都有

lg(T)l=y(x4-l)-2/51'3為<1pzyI-工o[<io5

1<g⑴⑵<2

xo=1.5,巧=1.35721,L=擊光0.21代入，得人26.28,故迭代7次即可

2.2BracketingMethodsforLocatingaRoot

TheBisectionMethodofBolzano

若?。?,%］的中點xk=作為所求根的近似值1“"o,巧，…，4,…

所謂二分法，是使用對分區(qū)間的方法，保留有根區(qū)間，舍去無根區(qū)間，并

且如此不斷地對分下去，以逐步逼近方程根的方程求解方法

Theorem2.4BisectionTheorem

\々“一外_b-a

xk，、--21

b-a/

產(chǎn)T7

ConvergenceqfjtheFalsePositionMethod

/(，)(，-巴)

/(2)—/(〃〃)

2.3Newton-RaphsonandSecantMethods

（牛頓迭代法和弦割法）

求解非線性方程y（x）=o

是否可以將它轉(zhuǎn)換成線性方程進(jìn)行求解？如何轉(zhuǎn)化？

把函數(shù)f（z）在4處泰勒展開.

，（川+f（工上）（］-4）=0

工人+1一工及-f(工~j(A-0,1,2,.一)

TheGeometricConstructionforNewton-

Raphson

Corollary2.2(Newton'sIterationforfinding

Rootg)(求平方根的牛頓迭代法)

yl~A

A

Pk-x+---

Pk-X

p

2

牛頓迭代法的收斂性判斷

容易看出，當(dāng)r（z）wo時,?方程］一4&

與“工）=0具有相同的根，故牛頓迭代法是一種以,

-（工）—工―/（工）'

為迭代函數(shù)的迭代法，從而定理1與定理2給出的充分條件對它亦適用.

定理3對于方程f（z）=0,若存在區(qū)間（*6）,使

I

（1）在（Q"）內(nèi)存在方程的單根Z*；

⑵，（Z）在（跖6）內(nèi)連續(xù).

則牛頓迭代法在X?附近具有局部收斂性.

定理3證明

yq)=一)尸⑴小)=工-峪

8⑴[r(z)]2w/(X)

,(工)在(*6)內(nèi)連續(xù)

g'⑴在(-6)內(nèi)連續(xù)

對于任意給定的正數(shù)&必存在5,使得g'(x)在％*鄰域(x*—3,x*+3)內(nèi)

g'(x)—g'(x*)<￡，取￡=1，得g'(x)—g'(x*)|<1，即g'(x)<l

lgz(x)I<1

TheConvergenceofNewton-

RaphsonIteration

-定理4對方程若存在區(qū)間［a"］,使?

(l)f(z)在上連續(xù)；

(2)/(a)/(ft)<0;

(3)對任意工Ha,6］都有f(/)W0；

(4)，(工)在［%6］上保號.

則當(dāng)初值利￡［匹6］且f(A)f(No)>O時,牛頓迭代過程(2程)產(chǎn)生的迭代序列的J收斂

于方程/(工)=0在［a,6］上的唯一實根工,.

zo￡[Q,6]及/(^o>0

TheDivision-by-ZeroError

""P*=g(Pi)=Pi-:器'A'&=1,2,…

/'(pi)=0/(PLI)fo

Definition2.4(OrderofaRoot)

定義2.4(根的階)設(shè)/(%)和它的導(dǎo)數(shù)在包含#二p的某區(qū)間內(nèi)有定義且連續(xù)0則稱

f(*)=0在工=p處根的階為M,當(dāng)且僅當(dāng)；

f(p)二0J'(p)=0,…Jf(p)=0,而且/“)(p%0(17)

如果一個根的階M=l,則稱此根為單根;如果一個根的階1,則稱此根為重根。如果

一個根的階M=2,則稱此根為二重根，以此類推。下面的結(jié)論將說明這些概念。

引理2.1如果方程"％)=0在先二p處有根的階M,則存在連續(xù)函數(shù)從￡)，使得了(")可表

示為：

F(N)=(%-p)"*%),&(p)淤0(18)

SpeedofConvergence

(Definition2.5(OrderofConvergence)

定義2.5(收斂階)設(shè)序列Ip"收斂到p,而且當(dāng)&二p-p.時，設(shè)幾三0。如果兩個常量

400和R>0存在，而且：

I&+"A

(19)

L8Ip-pnIFl—B

則序列稱為以收斂階R收斂到p。數(shù)A稱為漸進(jìn)誤差常數(shù)。當(dāng)崖=1,2的情況為特殊情

況：

如果R=1,則稱序列［p」二。的收斂性為線性收斂。(20)

如果A=2,則稱序列歷」二。的收斂性為二次收斂。(21)

如果??很大，序列ip"快速收斂到p;也就是說,關(guān)系式(19)意味著對于一個較大的值n

有近似值I治例如，設(shè)丑=2且則xio-4。

一些序列的收斂率不是整數(shù)，下面例子中割線法中的收斂階是R=(l+0)/2v

1.618033989。

Theorem2.6（ConvergenceRatefor

NewtonRaphsonIteration）

定理2.6（牛頓拉夫申迭代的收斂速度）設(shè)牛頓拉夫申迭代產(chǎn)生的序列收斂到函數(shù)

/（%）的根P。如果p是單根，則是二次收斂.而且：

IER+II-?瓦/，其中又足夠大（23）

如果p是M階多重根，則是線性收斂,而且；

1瓦，"=兇導(dǎo)國1,其中九足夠大（刈

TheSecantMethods

_f/（PA）（PA-PI）

處“=g（P?，P-）=P*-/（pQ.pz）

圖2.16利用割線法時pz的幾何結(jié)構(gòu)

Example2.16(SecantMethodataSimpleRoot)

例2.16(單根上的割線法)從以二-2.6和小二-2.4開始，利用割線法求多項式函數(shù)/(%)

-x3-3x2的根p=-2。

在此例中，迭代公式(27)是:

(p，3Pt+2)(pA

PA+I=g(PkfPk-J=Pk--33一-(28)

pk-Pk-i-Bp*+3pj

可進(jìn)一步化簡為:

Pk2Pk-i.+P2kPh-ci-2

Pm=g(Pk,P"i)=(29)

P*+Pg-*+Pi-i-3

迭代序列如表2.7所示c

表2.7在單根上割線法的收斂性

1同+il

kPkPi+i-Pitk=p-pk

0-2.6000000000.6000000000.914152831

1-2.4000000000.2934010150.4000000000.469497765

2-2.1065989850.0839575730.1065989850.847290012

3-2.0226414120.0211303140.0226414120.693608922

4-2.0015110980.0014885610.0015110980.825841116

5^2,0000225370.0000225150.0000225370.727100987

6-2.000000022G.000000022

7-2.0000000000.000000000

AcceleratedConvergence

定理2.7(牛頓拉夫申迭代的加速收斂)設(shè)牛頓拉夫申算法產(chǎn)生的序列線性收斂到M階根力

=%其中則牛頓拉夫申迭代公式：

）

Wi-i（31）

將產(chǎn)生一收斂序列｛pk\二次收斂到p°

例2.17(二,根情況下的加速收斂)從P。=1.2開始，使用加速牛頓拉夫申迭代求函數(shù)

/(%)=d-34+2的二重根p=

由于M=2,加速公式(31)變成：

Cf(Pk-Dp*-I+_1-4

…2r7T

這樣可得到表2.8中的值。

表2.8二?根情況下的加速收斂

1航

k

P*Pk+l-Pk&=P_P*IE1

01.200000000-0,193939394-0.2000000000.151515150

11.006060606-0.006054519-0.0060606060.165718578

21.000006087-0,000006087-0.000006087

30.0000000000.000000000

ComparisonoftheSpeedofConvergence

表2.9收斂速度的比較

方法特殊情況連續(xù)誤差的關(guān)系

二分法/+i-y1i

二分法&+L力出1

割線法重根號+i1

牛頓拉夫申法重根&-—A1EJ

“單根

割線法1618

Eni?AI￡tl

牛頓拉夫申法單根&+L?1&12

加連牛頓拉夫申法重根E??[?41E土卜

3TheSolutionofLinearSystems

AX=B

主要內(nèi)容

■-高斯消去法

----■三角分解法--------

■追趕法

-平方根法

?雅可比迭代法

?高斯一賽德爾迭代法

?向量與矩陣范數(shù)

?譜半徑定義

■迭代法收斂判斷

§1高斯消去法與選主元技巧

+。1212+…+。"力帆(+a”2+…+aJ=

ailXllnnbx

Q2g+。22孫+…+。2瓜=+…+02m=

b2a22X2b2

j(3.3)

+。門公

&"111212+3+%2.='u&nni^n=hun

是一個三角形方程組，當(dāng)〃聲0(i=1,2,-,〃)時有唯一解，求解過程可以從最后一個方程入

手，采取逆推方式進(jìn)行，即先由第n個方程解得

工『。=(3.4)

代入第個方程，可得

工n-1-(b”-I—%-1.)/—”一】,“一1

如此繼續(xù)下去.假設(shè)已求得外、小7、…、q+】，代入第h個方程即得力的計算式

*=(仇-Sa*Ar)/a收a=n-i,n-2,…，1)(3.5)

___________，?▲”_________

上述求解過程稱為回代過程.

§2三角分解法

A=LU

u*=y

“I】〃12

u22“2”

u=

1

bx〃[2

b

2〃22

4

b〃

平方根法的解法

步驟

(a)按算式(3.30)計算工的第一列元索;

(6)對/=2,3,…，之按算式(3.31)計算L的第j列元素.

2°求解三角形方程組芯="相應(yīng)的遞推算式是

54=bjIU

i-l

乂=(九一(2=2,3,???,〃)

3’求解三角形方程組i?x=y,相應(yīng)的遞推算式是

工n—3n/Inn

工=(?-Elk4)/l式(7=〃-1,…,2,1)

雅可比迭代法

-L

I|311+.彳2=5

■<

+212=5

1；'

029:

k1；101

0L66670.8333???1.00050.9998

4,02.51.66672.00041.9997

高斯一賽德爾迭代法

)?)

IONI-2i2一13=3工［11=0.2工產(chǎn)+01婢+0.3

Y-2xj+10x2一13=15<411)=0.2工卜7)+0.1/產(chǎn)+1.5

-2^2+5工3=1°產(chǎn)"1)=0.2］，1)+0.4制1”卜2

'i'(01fIi］

逑00.310.88040.98430.99780.9997

01.561.94451.99231.99891.9999

1班02.6842.95392.99382.99912.9999

§4向量與矩陣范數(shù)X+Y

llim卜*X*,X"）接近？

]kf8—

*=（工1，22，N3尸II*II=（4+資+a；?）172

定義1若向量的某個實值函數(shù)N(X)=

IIXII滿足

(1)非負(fù)性，即IIXII)0且IIXII=0的充分必要條件

是x=o；

(2)齊次性次p||aXII=|a|IIXll(aeR);

(3)三角不等式,即對X,YGR”，總有

IIx+y||<IIx||+||y||

則稱N(X)=IIMII為北上向上X的蔻數(shù)(或槿).

常用向量范數(shù)

■———---------

X的“1”范數(shù)Nl(X)=|x1|++…+g"*h

“2”范數(shù)Nz(X)=(￡+/+…+J)i/2IIX||2

“8”范數(shù)N3(X)=m^lxJ||X-

例6設(shè)X=(-1,2,-3)丁,求||*||1、||XII2、IX||

矩陣范數(shù)

(i2)

J定義2若矩陣AEW的某個實值函數(shù)N(A)=IIA||滿足

(1):負(fù)性，即IIAll20且IIAII=0的充分必要條件是4=0;

(2)齊次性，即||aA||=|a|||A||(a€R)；

(3)三角不等式，即對A、3WR”x〃總有||A+B||&||A||+|[B||;

(4)矩陣乘法不等式，即對A、B＞即nx”總有jjAB||&||AFii百ii；

則稱N(A)=||A為]T'n上矩陣A的范數(shù)(或所

與向量范數(shù)一樣，矩陣范數(shù)的種類也很多.由于在許多應(yīng)用問題中，矩陣和向量常常具有一

定關(guān)系，這就要求矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相“協(xié)調(diào)”，即滿足矩陣、向量乘法的相容性

IIAXKUIIllxll

I常見矩陣范數(shù)

或表3-1給出了矩陣A=（a）x”三種常用算子范數(shù)的定義與算式，其中23（是矩陣

ArA的最大特征值.需要了解表中計算公式來源的讀者可參考⑴.

表3-1

費數(shù)名稱記號定義計算公K

llAXhft

“1嚏教maxHvII

1hhX/lliAHmax1|aj

（又名列模）I,7i

“2”極&AX||2

max『『

,hh阱。ilA||j用(AU)

（又名翻）

xr"

%嚏數(shù)IIAXL?f

MILhLmax￡1%1j

（又名行模）KMK

舉例

F4-31

例7設(shè)人=，求HA||8、IIAh及||Ah

?N1

解由||AII8與||AL計算公式立即可得

IIA||co=maxi7,3(=7、||A||]=max|6,4|=6

a4

AI-ATA=0](=0

AI-31人21J

(2-20)(2-10)-100=0

u、(20-10^1

22-30A+100=0二0

2J1-1010JI

4=15+5昆；(2=15差6

ri-2010M

IIA|12=/1515后~5.1167=0

I102-10J|

呻半徑定義

定義3矩陣A6RJ"的所有特征值4?=1,2,…的模的最大值稱為矩陣A的謂半

徑，記作P(A),即

p(A)=max|A；I(3.53)

定理4矩陣A的譜半徑不超過矩陣A的任何一種算子范數(shù)IIAIIr.

證明設(shè)入為A的任一特征值,X為對應(yīng)于人的A的特征向量，即

AX=AX(X#0)

則由范數(shù)的性質(zhì)立即可得

|A|||X||r=IIAX||r=IIAXHr&U||r||XIL

因X是非零向量，故由上式可得

lAKIIA||r

這表明A的任一特征值的模都不超過IIA||八于是p(A)&||A||r.|

迭代法收斂判斷

雅可比迭代法高斯一賽德爾迭代法超松弛迭代法

Q收斂收斂

B<1=>收斂收斂

r

A陣為對角口收斂收斂

占優(yōu)矩陣

A陣為對稱

正定矩陣收斂當(dāng)0<0<2時收斂

A陣為正定矩陣的充分必要條件是A陣的

順序主子式大于零。

基于MATLAB的線性方程組

■矩陣除法

例2用列主元素消去法解方程組

-0.002xi+212+2科=0.4

J與+0.78125X2=1.3816

13.996xi+5.5625J：2+4z3=7.4178

矩陣除法舉例

例2用列主元素消去法解方程組

-0.002xl+2工2+2必=0.4

Jq+0.78125x2=1.3816

,3.996與+5.562522+4/3=7.4178

■a=[-0.00222

10.781250

3.9965.56254]

■b=[0.41-38167.4178]9

■X=a\b

■x=

1.9273

-0.6985

0.9004

矩陣除法舉例

例2用列主元素消去法解方程組

-0.002xl+2工2+2必=0.4

Jq+0.78125x2=1.3816

,3.996與+5.562522+4/3=7.4178

■a=[-0.00222

10.781250

3.9965.56254]

■b=[0.41-38167.4178]9

■X=a\b

■x=

1.9273

-0.6985

0.9004

平方根法

■a=[42-2;22-3;-2-314]

■L=chol(a)

L=

21-1

01-2

003

10*xl-x2=9

MATLAB實現(xiàn):-xl+10*x2-2*x3=7

-x2+10*x3=6

Jacobi.m>>a=[10-10;-l10-2;0-210];

functiony=jacobi(a,b,xO)>>b=[9;7;6];

>>jacobi(a,b,[0;0;0])

D=diag(diag(a));

U=-triu(a,1);y=

L=-tril(a,-1);0.9958

B=D\(L+U);0.9579

f=D\b;

0.7916

y=B*xO+f;n=l;

whilenorm(y-xO)>=1.0e-6n=

xO=y;11

y=B*xO+f;n=n+l;ans=

end

0.9958

n0.9579

0.7916

10*xl-x2=9

MATLAB實現(xiàn):-xl+10*x2-2*x3=7

-x2+10*x3=6

Jacobi.m>>a=[10-10;-l10-2;0-210];

functiony=jacobi(a,b,xO)>>b=[9;7;6];

>>jacobi(a,b,[0;0;0])

D=diag(diag(a));

U=-triu(a,1);y=

L=-tril(a,-1);0.9958

B=D\(L+U);0.9579

f=D\b;

0.7916

y=B*xO+f;n=l;

whilenorm(y-xO)>=1.0e-6n=

xO=y;11

y=B*xO+f;n=n+l;ans=

end

0.9958

n0.9579

0.7916

（+,）

X*=BGX⑴+fGa=0,1,2,…）

其中56=（。-1）71/（稱為富斯一賽彼爾迭代矩陣）,九=（。-七）74

seidel.m/10*xl-x2=9

1-xl+10*x2-2*x3=7

functiony=seidel(a,b,xO)i-x2+10*x3=6

D=diag(diag(a));>>a=[10-10;-l10-2;0-210]

U=-triu(a,1);>>b=[9;7;6];

L=-tril(a,-1);>>seidel(a,b,[0;0;0])

G=(D-L)\U;y=

f=(D-L)\b;0.9958

y=G*xO+f;n=l;0.9579

whilenorm(y-xO)>=1.0e-6

0.7916

xO=y;

y=G*xO+f;n=7

n=n+l;ans=

end0.9958

y0.9579

n

0.7916

4Interpolationand

PolynomialApproximation

插值法Interpolation

■插值概念與基礎(chǔ)理論Introduction

■插值多項式的求法

括值槐念易基砒理卷

■概念

森工程實踐和科學(xué)實驗中，帝帝需要乂一組實驗現(xiàn)

測恭據(jù)褐示自變量力導(dǎo)因變量多之間的關(guān)系，一般可。用

一個近何的晶劇關(guān)t式力=，外未衰示，

X①?！??丁

?=/(1)yo?一yrt

衛(wèi)Q工1支n

y=/(q)yoyi

(其中f(i)在區(qū)間［4,6］上連續(xù),刈、々、…、4是［%〃］上〃+1個互異的點)，要求在某函數(shù)類

IWQ)I中求一個函數(shù)5Q),使

并用小

通常,稱區(qū)間［%6］為插值區(qū)間,一點①(=0,1,…小)為插值節(jié)點,稱(4.2)為插值條件,1

插值條件是選擇近似函數(shù)”(工)的標(biāo)準(zhǔn)，滿足此標(biāo)準(zhǔn)的近似函數(shù)"(1)稱為函數(shù)八似在爐點工

(?=o,L…,〃)上的插值函數(shù).稱函數(shù)”/)為被插值函數(shù).

函數(shù)類’5(1)1有多種取法，常用的有代數(shù)多項式、三角函數(shù)和有理函數(shù).本章只討論代數(shù)多

項式情況,相應(yīng)的插值問題稱為多項式插值.

?如何確定插值多項式?

…久找

y=/（q）yoyi…冊

Pn（工）—Q（），i,

+々2式++3；=yo

<20+仁g+。2與+…+”沖”

、Qo++a2x\++3：=%

其系數(shù)行列式

1JnNO

1

D=

1

是〃+1階范德蒙德(Vandermonde)行列式.由線性代數(shù)知

D=n(xi-xj)

因節(jié)點互異,故D￥0,方程組有唯一解.于是有

定理1當(dāng)插值節(jié)點互異時,滿足插值條件(4.4)的〃次插值多項式九(1)存在且唯一.

?插他余項

X*0JTj?一Xn

y=f(x)yoyi…yn

/>“(工)=Q0—

凡（工）=/（x）Pn（H）

定理2若人工)在區(qū)間[明刈上有直到〃+1階導(dǎo)數(shù)，以(工)為f(“)在〃+1個節(jié)點“C

[a,ft](z=0,1,t,,,九)上的n次插值多項式,則對任何zW[a,b]有

小+1“卜)

i⑺(4.6)

其中叫,+i(N)=n(hy),￥￡(*》)且依賴于z.

?■0

證明?由插值條件(4.4)知,所有插值節(jié)點x,(t=0,l；…，〃)都是余項R,(z)的零點，故

可設(shè)

&(-=以2)0+1(])(4.7)

其中以力)為待定函數(shù).對于上異于x,的任意一點工，為求相應(yīng)的Mz),作輔助函數(shù)

尸(￡)=了(，)-九(』-氏(])%+1(￡)對t求導(dǎo),k(X)看成常數(shù)

H+1

由FC)在[跖6]上具有n+1階導(dǎo)數(shù)69〃+)+i(x)=[(x-x0Xx-Xj).........(x-xj]

F?+D(￡)=/"+D(t)-Mz)?(n+D!(4.8)

且

F(x)=F(x0)=F(xi)=-=F(x?)=0

即F（z）在［a,6］上至少有刀+2個互異的零點N、］。、工i、…、占.由羅爾（Rolle）定理.F（z）的兩

個零點之間/（，）至少有一個零點，故尸'（￡）在（*6）內(nèi)至少有〃+1個互異零點.對尸'（￡）再應(yīng)

用羅爾定理，推得尸（￡）在（。，6）內(nèi)至少有n個互異零點.以此類推，可知F（"+i>Q）在（*6）內(nèi)

至少有一個零點V，即

F（"i）（,）=0

于是由（4.8）式得

17（，）-?。荩?（〃+1）!

故

/一)⑷

A(z)

(〃+1)!

代入（4.7）即得（4.6）.

對于z=K（￡=0,1,…，〃），（4.6）式顯然成立.|

4.3LagrangeApproximation

L.（N）=30,0（工）++…+”<]）=SWA（N）

*-0

[1i=k

〃（%）=<（f=0,1,2,???,〃）

10

乙（1）=4*（1一工0）（工一“1）???（1-4-1）（1一4+1）?,?（力一工押）

AA=，-?--一-1-一一-一-?.1

（A一工0）（4一工1）…（4-工…）（4—4+1）…（4-』）

當(dāng)n=l時y

rzX工一4，B一NO

1X"Zo-r"X|-XQ

”7)=yo+y\一

稱線性插值

當(dāng)n=2時

_/、（/一工]）（工一工2）

（父一父0）（1一12）

+y\

（N]-一.丁2）

（1一4）（1一11）

+yi

（工2一憶0）（央一工1）

拋物線插值

例1給定函數(shù)表如下:

x…0.10.2030.40.5…

er…1,10521.22141.34991.49181.6487…

1

試用線性插值與拋物插值求筮85的近似值,并估計截斷誤差.

w—0.2

L](h)=L2214+1.3499x

LV/?0.3-0.2

e°285^L](0.285)

=L2214X鬻尚+1.3499x號—2

=1.3306

Rl(Z)=/'P(N-No)(R-/i)

Ri（N）=：e'（N-々0）（7一ZI）

將7=0.285,陽）=0.2,勺=0.3等代入即得