13/141．1空間幾何體的結(jié)構(gòu)1．1．1多面體與旋轉(zhuǎn)體概念、棱柱(張偉)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng) 通過(guò)這節(jié)課學(xué)習(xí)，了解多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、了解棱柱的定義．能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)建立幾何模型研究空間圖形，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想．（二）學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．了解多面體的頂點(diǎn)，棱，表面，對(duì)角面的定義． 2．結(jié)合定義，會(huì)判斷一個(gè)幾何體是否為棱柱． 3．知道直棱柱，正棱柱，平行六面體的定義．（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn) 1．準(zhǔn)確理解棱柱的定義． 2．棱柱的分類． 3．棱柱的表示方法．（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn) 1．判斷某個(gè)幾何體是否為棱柱． 2．正確區(qū)分棱柱的體對(duì)角線和面對(duì)角線，棱柱的側(cè)面和底面，棱柱的高和側(cè)棱． 3．對(duì)旋轉(zhuǎn)體的直觀理解．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì) 1．預(yù)習(xí)任務(wù) （1）讀一讀：閱讀教材第2，3頁(yè)，觀察課本P2圖1．1-1的物體，這些圖片中的物體具有什么樣的幾何結(jié)構(gòu)特征？你能對(duì)它們進(jìn)行分類嗎？填空：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面（簡(jiǎn)稱底），其余各面叫做棱柱的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱，側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)．按底面的多邊形的邊數(shù)分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等． 2．預(yù)習(xí)自測(cè)（1）下列幾何體是棱柱的有（）A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè) 【答案】D．【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征【解題過(guò)程】由棱柱的定義可知，棱柱中，有兩個(gè)面互相平行，則可以排除②⑤，又棱柱中，有兩個(gè)互相平行的底面，其余各面都是四邊形，則可以排除④⑥．【思路點(diǎn)撥】由棱柱定義來(lái)判斷 （2）三棱柱共有（）個(gè)頂點(diǎn) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C．【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征【解題過(guò)程】n棱柱的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為2n個(gè)，故選C．【思路點(diǎn)撥】熟悉棱柱的定義． （3）四棱柱有（）個(gè)表面 A．5 B．6C．7 D．8 【答案】B．【知識(shí)點(diǎn)】四棱柱的定義【解題過(guò)程】四棱柱有上下兩個(gè)底面和四個(gè)側(cè)面，故選B．【思路點(diǎn)撥】棱柱有多少個(gè)表面，可以先找兩個(gè)底面，再數(shù)其側(cè)面?zhèn)€數(shù)即可．(二)課堂設(shè)計(jì) 1．知識(shí)回顧 2．問(wèn)題探究 探究一歸納提煉出多面體與旋轉(zhuǎn)體，棱柱的定義★ ●活動(dòng)①歸納提煉概念請(qǐng)同學(xué)們觀察課本P2圖1．1-1的物體，學(xué)生觀察思考，發(fā)現(xiàn)上圖中的物體大體可分為兩大類．其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)具有相同的特點(diǎn):組成幾何體的每個(gè)面都是平面圖形,并且都是平面多邊形；(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)具有相同的特點(diǎn):組成它們的面不全是平面圖形．想一想,我們應(yīng)該給上述兩大類幾何體取個(gè)什么名稱才好呢？學(xué)生各抒己見(jiàn)，然后老師歸納總結(jié)．第一類：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．按圍成多面體的面數(shù)，多面體分為：四面體、五面體、六面體、……我們后面即將學(xué)習(xí)的棱柱、棱錐、棱臺(tái)均是多面體．思考：一個(gè)多面體最少有個(gè)面答案：4第二類：由一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球均是旋轉(zhuǎn)體． 【設(shè)計(jì)意圖】從生活實(shí)例到數(shù)學(xué)問(wèn)題，從特殊到一般，體會(huì)概念的提煉、抽象過(guò)程． ●活動(dòng)②深入挖掘概念與其他多面體相比，圖片中的多面體（5）、（7）、（9）具有什么樣的共同特征？讓學(xué)生積極思考，積極發(fā)言，為引出棱柱的概念做準(zhǔn)備．教師總結(jié)：共同特點(diǎn)：有兩個(gè)面平行，其余的面都是平行四邊形．像這樣的幾何體我們稱為棱柱．師生共同完成棱柱的定義：兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體稱為棱柱．在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱;側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)．表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱．分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)多面體內(nèi)涵與外延的理解，引出本節(jié)課重點(diǎn)：棱柱的定義． 探究二通過(guò)點(diǎn)、面、線等要素對(duì)棱柱進(jìn)行直觀分析 ●活動(dòng)①認(rèn)識(shí)棱柱的頂點(diǎn)，底面，側(cè)面，側(cè)棱，對(duì)角線等結(jié)合棱柱的定義，請(qǐng)學(xué)生看下圖后回答問(wèn)題． 讓學(xué)生分別指出這些幾何圖形是幾棱柱，它們有幾個(gè)頂點(diǎn)，有幾個(gè)表面，它有幾條側(cè)棱，有幾個(gè)對(duì)角面，有幾條體對(duì)角線，有幾條面對(duì)角線． 教師闡述棱柱的表示方法：用表示底面的各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如上圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)直觀圖形，加深對(duì)棱柱概念的理解． ●活動(dòng)②對(duì)概念的反面理解思考：有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱？教師變更棱柱的定義，讓學(xué)生判斷正誤，進(jìn)一步加深對(duì)棱柱定義的理解答：不一定是棱柱．可舉反例．如下圖幾何體有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形，但它不是棱柱．【設(shè)計(jì)意圖】從反面加深對(duì)棱柱的認(rèn)識(shí)． 探究三棱柱的其他探討★ ●活動(dòng)①棱柱的另一種分類方式按照側(cè)棱是否和底面垂直，棱柱可分為斜棱柱和直棱柱．側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的每個(gè)側(cè)面都是矩形．側(cè)棱和底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱．請(qǐng)學(xué)生思考回答，下圖中有幾個(gè)直棱柱？答案：有兩個(gè)直棱柱．老師補(bǔ)充兩個(gè)概念，為以后的教學(xué)做鋪墊．平行六面體:底面是平行四邊形的四棱柱．正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱． 【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)直棱柱和正棱柱有直觀印象，為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊． ●活動(dòng)②鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋 例1以下那種幾何體屬于多面體？（） A．球 B．圓柱 C．圓錐 D．四面體 【知識(shí)點(diǎn)】多面體與旋轉(zhuǎn)體的定義． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】選項(xiàng)A，B，C均為旋轉(zhuǎn)體，故答案為D． 【思路點(diǎn)撥】直接套用定義． 【答案】D．例2下列說(shuō)法中正確的是（）A．棱柱的兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱中所有的棱長(zhǎng)都相等C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形D．棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的定義． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】棱柱的側(cè)面也可能互相平行，比如正方體，故A錯(cuò)誤．棱柱的棱長(zhǎng)未必全部相等，比如一般的長(zhǎng)方體，故B錯(cuò)誤．棱柱的底面可以是任意多邊形，故C錯(cuò)誤．棱柱的上下底面一定互相平行，故D正確． 【思路點(diǎn)撥】正確理解棱柱的定義． 【答案】D． 同類訓(xùn)練在棱柱中（）A．只有兩個(gè)面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四邊形D．兩底面平行，且各側(cè)棱也互相平行 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的定義． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】四棱柱的相對(duì)表面可以互相平行，故A錯(cuò)誤．棱柱的側(cè)棱和底面的邊可以相交，故B錯(cuò)誤．棱柱的底面可以是三角形，故C錯(cuò)誤．由棱柱的定義可知D正確． 【思路點(diǎn)撥】正確理解棱柱的定義． 【答案】D． 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固棱柱的概念． ●活動(dòng)③強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例3如下圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，過(guò)BC和AD分別作一個(gè)平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，則長(zhǎng)方體被分成的三個(gè)幾何體中，棱柱的個(gè)數(shù)是______． 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的直觀認(rèn)識(shí)． 【數(shù)學(xué)思想】空間想象． 【解題過(guò)程】由棱柱的定義可得有3個(gè)．分別為：三棱柱，三棱柱，四棱柱 【思路點(diǎn)撥】逐一分析． 【答案】3個(gè)．3．課堂總結(jié) 知識(shí)梳理（1）由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．按圍成多面體的面數(shù)，多面體分為：四面體、五面體、六面體、……（2）由一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．（3）兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體稱為棱柱．在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)．（4）按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱……（5）按照側(cè)棱是否和底面垂直，棱柱可分為斜棱柱和直棱柱．（6）底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體．（7）底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱． 重難點(diǎn)歸納：棱柱定義的三個(gè)核心要素（1）兩個(gè)平面互相平行．（2）其余各面都是四邊形．（3）每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（） A．多面體至少有四個(gè)面 B．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形 C．長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱 D．三棱柱的側(cè)面為三角形 【知識(shí)點(diǎn)】多面體和棱柱的概念． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】多面體中四面體的面最少，有四個(gè)，故A正確．由棱柱定義知道B，C正確．棱柱的側(cè)面均為平行四邊形，故D錯(cuò)誤． 【思路點(diǎn)撥】準(zhǔn)確理解棱柱定義． 【答案】D． 2．已知集合A={正方體}，B={長(zhǎng)方體}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F(xiàn)={直平行六面體}，則（） A． B． C． D．它們之間不都存在包含關(guān)系 【知識(shí)點(diǎn)】特殊棱柱的關(guān)系． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】根據(jù)它們的定義分析即可． 【思路點(diǎn)撥】仔細(xì)區(qū)分各種特殊棱柱． 【答案】B． 3．一個(gè)多邊形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距離可以形成（）．A．棱錐B．棱柱C．平面D．長(zhǎng)方體 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱定義． 【數(shù)學(xué)思想】運(yùn)動(dòng)變化的思想 【解題過(guò)程】首先排除A，C注意到題目說(shuō)“不平行于矩形所在平面”，排除D．選擇B 【思路點(diǎn)撥】正確理解題目講述的運(yùn)動(dòng)過(guò)程． 【答案】B．4．右圖中的幾何體是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（）A．B．C．D． 【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體的定義． 【數(shù)學(xué)思想】運(yùn)動(dòng)變化的思想 【解題過(guò)程】三角形旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生圓錐，直角梯形旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生圓柱，選擇A． 【思路點(diǎn)撥】熟悉簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的幾何體． 【答案】A．5．正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有（）條A．20 B．15C．12 D．10 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱對(duì)角線的定義． 【數(shù)學(xué)思想】枚舉． 【解題過(guò)程】正五棱柱任意不相鄰的兩條側(cè)棱可確定一個(gè)平面，每個(gè)平面可得到正五棱柱的兩條對(duì)角線，五個(gè)平面共可得到10條對(duì)角線，故選D． 【思路點(diǎn)撥】正確理解對(duì)角線的含義． 【答案】D．6．如下圖所示，一個(gè)圓環(huán)繞著同一個(gè)平面內(nèi)過(guò)圓心的直線旋轉(zhuǎn)180°，想象并說(shuō)出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征． 【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體的定義． 【數(shù)學(xué)思想】運(yùn)動(dòng)變化的思想 【解題過(guò)程】圓在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生球，圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生一個(gè)大球和一個(gè)小球，故本題形成的幾何體為一個(gè)中間空心的球體． 【思路點(diǎn)撥】想象出圓轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生球的過(guò)程． 【答案】一個(gè)大球內(nèi)部挖去一個(gè)同球心且半徑較小的球．能力型師生共研7．如下圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，BC的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF將其折成一個(gè)多面體，則此多面體共有條棱． 【知識(shí)點(diǎn)】多面體展開(kāi)圖． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】此多面體由四個(gè)面構(gòu)成，故為四面體，它有六條棱． 【思路點(diǎn)撥】想象出該多面體的形狀． 【答案】6．8．在下圖所示的三棱柱ABC－中，請(qǐng)連接三條線，把它分成三部分，使每一部分都是一個(gè)四面體． 【知識(shí)點(diǎn)】四面體的概念．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】如下圖，連接A1B，BC1，A1C，則三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三個(gè)三棱錐，分別是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1． 【思路點(diǎn)撥】不斷嘗試構(gòu)造符合題意的分割方式． 【答案】如圖．探究型多維突破 9．紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)，外面朝上展平，得到下面的平面圖形，則標(biāo)“△”的面的方位是（）A．南B．北C．西D．下 【知識(shí)點(diǎn)】柱體展開(kāi)圖． 【數(shù)學(xué)思想】運(yùn)動(dòng)變化．【解題過(guò)程】將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為△，最左面為東，最里面為上，將正方體旋轉(zhuǎn)后讓東面指向東，讓“上”面向上可知“△”的方位為北．故選B． 【思路點(diǎn)撥】發(fā)揮空間想象能力將正方體還原． 【答案】B． 10．已知一個(gè)長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是、、，這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是________ 【知識(shí)點(diǎn)】長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)度公式． 【數(shù)學(xué)思想】方程思想． 【解題過(guò)程】設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，由已知可得：；；，解得對(duì)角線． 【思路點(diǎn)撥】設(shè)未知數(shù)，用它們表示已知條件． 【答案】．自助餐 1．棱柱至少有（）個(gè)表面．A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱定義． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】三棱柱表面最少，有五個(gè)表面． 【思路點(diǎn)撥】考察極端情形． 【答案】C． 2．給出下列命題，其中正確的個(gè)數(shù)為（）．（1）直線繞定直線旋轉(zhuǎn)形成柱面；（2）曲線平移一定形成曲面；（3）直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐；（4）半圓繞定直線旋轉(zhuǎn)形成球．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體定義． 【數(shù)學(xué)思想】 【解題過(guò)程】（1）可能形成錐面；（2）可能形成平面；（3）繞斜邊旋轉(zhuǎn)形成兩個(gè)圓錐；（4）半圓未必繞直徑旋轉(zhuǎn)；故全部錯(cuò)誤． 【思路點(diǎn)撥】盡量尋找反例． 【答案】A．3．正方體有個(gè)