2025屆高三數(shù)學(xué)“8+3+3”小題期末專項(xiàng)練（18）拋物線方程及其性質(zhì)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.1．過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)點(diǎn)代入，得，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B2．吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的單位均為米），依題意可得拋物線的方程為．因?yàn)橥贿叺膽宜鬟B接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為米，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)到橋面的距離為米．故選：A.3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若面積是面積的兩倍，則＝（）A．4 B． C．5 D．【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)直線l的斜率為0時，此時與拋物線只有1個交點(diǎn)，不合要求，舍去；設(shè)過F的直線l的方程為，與拋物線聯(lián)立得，，設(shè)，，則，因?yàn)槊娣e是面積的兩倍，所以，則，解得，則，則，解得，故，則.故選：B4．設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因?yàn)檫^作圓的切線，所以切線的方程為，因?yàn)閯狱c(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.5．已知P為拋物線上的一動點(diǎn)，過P作y軸的垂線，垂足為B，點(diǎn)Q是圓上的一動點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為F1,0,圓心,半徑，連接,由拋物線定義可得,故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在之間時取等號，故選：D6．已知直線經(jīng)過拋物線：的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知F1,0，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1聯(lián)立整理得，則，.∴.∵，∴四邊形為平行四邊形.∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，∴，解得.∴.點(diǎn)到直線的距離為，∴平行四邊形的面積為.故選：A.7．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，所以，即拋物線方程為，焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，所以，，拋物線方程為，，所以，切線方程為，又，所以切線方程為，令得，令得，，，，，∴，故選：D.8．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，點(diǎn)在上且位于第一象限，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，即，所以拋物線C的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)則，由，可得，即，整理得，又，所以，解得或，點(diǎn)B位于第一象限，所以，，且，顯然不滿足垂直，所以，所以，所以.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．知拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，則下列說法正確的是（）A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 B．拋物線關(guān)于軸對稱C．拋物線的準(zhǔn)線方程為 D．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8【答案】AC【解析】因?yàn)閽佄锞€與拋物線關(guān)于軸對稱，所以拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程為，故A、C正確；拋物線關(guān)于軸對稱，故B錯誤；拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，故D錯誤.故選：AC10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【解析】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.11．在年巴黎奧運(yùn)會藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國隊(duì)以分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時針旋轉(zhuǎn)、、后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），、為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域的面積不大于【答案】BCD【解析】對于A，由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A錯誤；對于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象的對稱性，可得、，故，即B正確；對于C，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，且方程即為，解得，，此時，切點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由可得，此時方程即為，解得，，此時，切點(diǎn)坐標(biāo)為2,1，兩切點(diǎn)連線的斜率為，即切點(diǎn)的連線與直線垂直，故當(dāng)、時，取最大值，且其最大值為，C對；對于D，根據(jù)對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，對函數(shù)求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，該切線交軸于點(diǎn)，所以，半個花瓣的面積必小于，故原圖中的陰影部分面積必小于，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離為，則.【答案】5【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義可得.故答案為：.13.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，消