第4章

三

角

形4.1

認識三角形第3課時1.理解三角形的高線、中線、角平分線，并能在具體的三角形中

畫出它們；

(重點)2.通過畫圖、折紙等，探究三角形的三條中線的位置關(guān)系，了解

三角形的重心；

(重點)3.探究三角形的三條角平分線、三條高線所在的直線的位置關(guān)系.(難點)學習目標等邊三角形(三邊都相等的三角形)2.三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和_大于第三邊.三角形任意兩邊之差小于第三邊.V

新課導入復習回顧三條邊都不相等的三角形等腰三角形腰和底不等的等腰三角形1.三角形按邊分類如圖所示，在△ABC

中，點D

是BC

邊上的一個動點，連接AD,

在點D的運動過程中，觀察

點D

或線段AD

有哪些特殊的位置。說說你的想

法并與同伴進行交流。在點D的運動過程中，特殊位置有：點D運動到BC的中點，運動到線段AD

與BC

垂直，或運動到AD平分∠BAC.V新課導入情境引入則BE=EC=BC

或BC=2BE=2EC

或E

為邊BC

中點

.反之，

若BE=EC=1BC

或

BC=2BE=2EC

或E

為邊

BC

中點，則AE

是△ABC

的BC

邊上的中線.在三角形中，

連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫作這個三角形的中線.如圖，

AE是BC邊上的中線.y

新課講授探究一：三角形的中線如圖所示，若AE

是△ABC

的BC

邊上的中線，1.三角形中線的概念2.幾何語言表達：1.如圖，點D

、E

、F分別是邊BC

、AC

、AB上的中點.則AB

邊上的中線是：

CF

_;BC

邊上的中線是：

AD

;AC邊上的中線是：

BE_.Cy

新課講授新課講授操作·交流(1)在紙上畫一個銳角三角形，并畫出它的三條中關(guān)系與同伴進行交流.(2)鈍角三角形和直角三角形的三條中線也有同樣的位置關(guān)系嗎畫一畫，折一折，并與同伴進行交流.O鈍角三角形和直角三角形的三條中線

也交于一點.也可以利用數(shù)

學軟件探索任意

三角形三條中線

的位置關(guān)系.銳角三角形的三條中

線交于一點.(3)如圖，用鉛筆可以支起一張質(zhì)地均勻的三角形卡片，怎樣確定這個點的位置嗎作出三角形卡片的邊上的三條中線，它們的交點的位置就是支點的位置.新課講授三角形的三條中線交于一點，這個點稱為三角形的重心.三角形的中心都在三角形的內(nèi)部，如圖，點0

就是△ABC

的重心.y

新課講授鉛筆支起三角形卡片的點就是三

角形的重心!三角形中線的性質(zhì)：知識歸納2.在△ABC中，AC=5cm,AD

是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長

大2cm,

則BA=

7cm

。y

新課講授提示：將△ABD與△ADC的周長之差轉(zhuǎn)化為邊長的差.2.幾何語言表達：如圖所示，若AD

是△ABC

的角平分線，則∠1=∠2=2∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2.反之，若∠1=∠2=

,∠BAC

或∠BAC=2∠1=2∠2,則AD

是△ABC

的一條

角平分線.在三角形中，

一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，

這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線探究二：三角形的角平分線1.三角形角平分線的概念：注意：三角形的

中線，角平分線

都是一條線段!A1Dy

新課講授B23.如圖，在△ABC中，∠BAC=68°,∠B=36°,AD平分線，則∠ADB的度數(shù)是110°.解析：∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC=68°,∴∠DAC=∠BAD=34°.在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD=180°,∴∠ADB=180°一∠B∠BAD=180°36°34°=110°.y

新課講授B是△ABC的一條角請你探究三角形的三條角平分線是否交于一點.你是怎么做的與同伴進行交流.分別畫出銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形的三條角平分線：y

新課講授思考

·交流在每個三角形中，3條角平分線都在三角形的內(nèi)部.三角形角平分線的性質(zhì)三角形的三條角平分線交于一點.y

新課講授知識歸納新課講授探究三：三角形的高線三角形高線的概念：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的

高線，簡稱三角形的高.如圖，線段AF

是△ABC

的的高.也可敘述如下：①AF是△ABC的BC邊上的高；②AF

⊥BC,

垂足為E

;③點F

在BC上，且∠AFB

=

∠AFC=

90

°要標明垂直

的記號和垂

足的字母.C高是一條垂線段!AFBy

新課講授請你探究三角形的三條高線是否交于一點.你是怎么做的與同伴進行思考

·交流交流

.銳角三角形直角三角形鈍角三角形高在三角形內(nèi)部的數(shù)量311高之間是否相交相交相交不相交高所在的直線是否相交相交相交相交三條高所在直線的交點的位置三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部y

新課講授三角形的三條高所在的直線交于一點.三角形的三條高的特征：三角形高線的性質(zhì)：知識歸納ABC

D方法總結(jié)：

三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對的頂點；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上.練一練4.

作△ABC的

邊AB上的高，下列作法中，正確的是(

D)BDCBD

A

Cy

新課講授BABA、

DDACC(1)若△ABD

與△ADC

的周長之差為3,AB=8,

求AC的長；解：(1)因為AD

為BC邊上的中線，所以BD=CD.所以△ABD

與△ADC

的周長之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.因為△ABD

與△ADC

的周長之差為3,AB=8,所以8-AC=3,

解得AC=5.V

典例分析(2)若S△ABc=8,

求S

△ABE

·(2)因為AD

是△ABC

的中線，

所以S

●因為BE

是△ABD的中線，所

以S△ABE=2△ABD=2.例1:如圖所示，在△ABC

中，AD,BE

分別是△ABC,△ABD

的中線.且∠C=4∠BAD,求∠ADC的度數(shù).解：因為∠B=90°,所以∠BAC+∠C=90°.因為AD是△ABC的角平分線，所以∠BAC=2∠BAD.因為∠C=4∠BAD,所以2∠BAD+4∠BAD=90°.所以∠BAD=∠CAD=15°.所以∠C=60°,則∠ADC=180°∠CAD∠C=180°15°60°=105°.典例分析例2:如圖所示，在△ABC

中，∠B=90°,AD

是△ABC

的角平分線，例3:如圖所示，在銳角三角形ABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，CD,BE交于點P,∠A=50°,求∠BPC的度數(shù).解：因為CD,BE分別是AB,AC邊上的高，所以∠ADC=∠BEC=90°.因為∠A=50°,所以∠ACD=40°,則在△PEC中，∠CPE=90°40°=50°.所以∠BPC=180°∠CPE=180°50°=130°.典例分析1.如圖所示，D,E分別是△ABC

的

邊AC,BC

的中點，則下列說法不正確的是(

A

)A.DE

是△ABC

的中線

B.BD

是△ABC的中線C.AD=DC,BE=EC

D.DE

是△BCD

的中線2.如圖所示，在△ABC

中

，D,E,F

是BC

邊上的三點，且∠1=∠2=∠3=∠4,則AE是哪個三角形的角平分線(

D)A.

△ABEB.

△ADFC.

△ABC

D.

△ABC,△ADFy

學以致用B3.如圖所示，AD

是△ABC

的中線，已知△ABD

的周長為25

cm,AB比AC長6

cm,則△ACD的周長為(

A

)A.19cm

B.22cmC.25cm

D.31cm4.如圖所示，在△ABC

中，∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE//AB交AC于點E,則∠ADE

的度數(shù)是(

C

)A.45°

B.54°C.40°D.50°y

學以致用5.若一個三角形的三條高的交點恰好是三角形的頂點，則這個三角形是(

B

)A.銳角三角形

B.直角三角形C.鈍角三角形

D.

等邊三角形6.如圖所示，AD⊥BC

于點D,那么圖中以AD為高的三角形有(

D

)A.3個

B.4個C.5個

D.6個y

學以致用7.如圖所示，在△ABC中，CE

是△ABC的中線，BD是△ABC的角平分線，若AB=3

cm,∠A=70°,∠ACB=60°,則∠ABD=25°,AE=1.5cm.8.如圖所示，AD,BE,CF

是△ABC的三條中線，它們交于點0.若△ABD

的面積是6,則△ACF

的面積是

6

.y

學以致用C于點D,AE

平分∠BAC.

若∠1=30°,A雛CED10.如圖所示，在△ABC

中

，AD⊥BC∠2=20°,則∠B=50

°.B∠y

學以致用9.如圖所示，

∠CBD=∠E=∠F=90°,

則線段AE

是△ABC

中BC

邊上的高.E

F

BA

DC11.如圖所示，已知△ABC的周長為21cm,AB=6cm,BC邊上的中線AD=5cm,△ABD的周長為15cm,求AC的長.解：因為AB=6cm,AD=5cm,△ABD的周長為15cm,所以BD=1565=4(cm).因為AD是BC邊上的中線，所以BC=8cm.因為△ABC的周長為21cm,所以AC=2168=7(cm).y

學以致用B

C12.如圖所示，D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點，AD=2BD,BE=CE.設△ADC的面積為S?,△ACE的面積為S?.若S△ABc=6,求S?S?的值.y

學以致用C解：因為AD=2BD,所因為BE=CE,所以S?=43=1.13.如圖所示，在△ABC

中，∠A=62°,∠B=74°,CD在AC上，且DE//BC,

求∠EDC

的度數(shù).解：在△ABC中，因為∠A=62°,∠B=74°,所以∠ACB=44°.又因為CD是∠ACB的平分線，所以∠ACD=∠BCD=22°.因為

DE//BC,

所以∠

EDC=∠BCD=22°.y

學以致用BL是∠ACB

的平分線，點E14.如圖所示，在△ABC

中，∠ACB=90°,∠1=∠A.(1)試說明CD是△ABC的高；(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,

求CD的長.解：(1)因為∠ACB=∠1+∠ACD=90°,∠1=∠A,y

學以致用(2)因為∠ACB=∠ADC=90°,

所以S.又因為AC=8,BC=6,AB=