公眾號(hào)：試卷共享圈公眾號(hào)：好未來(lái)資料2022-2023學(xué)年湖北省武漢市5G聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）復(fù)數(shù)3?i1+iA．1+2i B．1+i C．1﹣2i D．1﹣i2．（5分）設(shè)m為直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．m∥α，α∥β，且m?β?m∥β B．α∥β，且m與α相交?m與β相交 C．m∥α，m∥β?α∥β D．α∥β，且m?α?m∥β3．（5分）在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AC的中點(diǎn)，則異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為（）A．12 B．35 C．334．（5分）某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，甲校運(yùn)動(dòng)員的得分分別為8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，這些成績(jī)可用如圖中的（1）所示，乙校運(yùn)動(dòng)員的得分可用如圖中的（2）所示．則以下結(jié)論中，正確的是（）公眾號(hào)：試卷共享圈公眾號(hào)：好未來(lái)資料A．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)為7.5 B．乙校運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為10 C．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的平均數(shù)大于8 D．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差5．（5分）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a=2，b=6，A＝30°，則邊A．2 B．22或6 C．2或22 6．（5分）如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分別為AB，AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成左右兩部分體積為V1和V2，那么V1：V2＝（）A．7：5 B．14：13 C．5：7 D．13：147．（5分）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4，過(guò)PO的中點(diǎn)O1作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A．(7+45)π B．(8+45)π C．8．（5分）在△ABC中，A=π6，B=π2，BC＝1，D為AC中點(diǎn)，若將△BCD沿著直線BD翻折至△BC′D，使得四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，則直線A．33 B．23 C．53二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知互不相同的9個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下的7個(gè)數(shù)據(jù)與原9個(gè)數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征中不變的是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．第41百分位數(shù) D．方差（多選）10．（5分）已知向量a→=(1，3A．若a→∥bB．若a→⊥b→，C．a(chǎn)→?bD．存在θ，使得|（多選）11．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c，a2＝2bcsinA，下列說(shuō)法正確的是（）A．若a＝1，則S△ABCB．△ABC外接圓的半徑為bcaC．cb+bD．A=π4時(shí)，c（多選）12．（5分）如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱BD，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝t，t∈（0，1），則（）公眾號(hào)：試卷共享圈公眾號(hào)：好未來(lái)資料A．不存在t，使得BC∥平面AEF B．直線AC與直線EF異面 C．不存在t，使得平面AEF⊥平面BCD D．三棱錐A﹣DEF體積的最大值為2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.雙空題第一空2分，第二空3分.13．（5分）已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于3km，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東20°，則燈塔A與燈塔B的距離為km14．（5分）已知a→=(2，23)，e→為單位向量，向量a→，e→的夾角為π15．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP→=mAC16．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)P在△AB1C內(nèi)，滿足D1P=14，則點(diǎn)P四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）（1）設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，那么求滿足條件：2＜|z|＜3的點(diǎn)Z的集合的圖形面積；（2）已知復(fù)數(shù)z1=m+(4?m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z1+18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB．（1）求角A；（2）若△ABC外接圓的半徑為263，求△19．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1為正方形，面AA1C1C為菱形∠CAA1＝60°，側(cè)面AA1C1C⊥面ABB1A1．（1）求證：AC1⊥面CA1B1；（2）求二面角C﹣BB1﹣A的余弦值．20．（12分）為了深入學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)黨的二十大精神，某高級(jí)中學(xué)高一全體學(xué)生參加了《二十大知識(shí)競(jìng)賽》．試卷滿分為100分，所有學(xué)生成績(jī)均在區(qū)間[40，100]分內(nèi)．已知該校高一選物理方向、歷史方向的學(xué)生人數(shù)分別為180、120．現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取了30名學(xué)生的答題成績(jī)，繪制了如圖樣本頻率分布直方圖．（1）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，計(jì)算圖中a的值，并估計(jì)該校全體學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和第71百分位數(shù)；（2）已知所抽取選物理方向和歷史方向?qū)W生答題成績(jī)的平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)如下表，且根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出總成績(jī)的方差為140，求高一年級(jí)選物理方向?qū)W生成績(jī)的平均數(shù)x1和高一年級(jí)選歷史方向?qū)W生成績(jī)的方差s選科方向樣本平均數(shù)樣本方差物理方向x175歷史方向60s221．（12分）已知△ABC的面積為332，且AB→?AC（1）求角A的大小；（2）設(shè)M為BC的中點(diǎn)，且AM=72，∠BAC的平分線交BC于N，求線段22．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝AD＝2BC＝2，△PAD≌△BAD．（1）M為PC上一點(diǎn)，且PM→=λMC→，當(dāng)PA∥平面（2）設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，證明l∥面ABCD；（3）當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為45°時(shí)，求PC與平面ABCD所成角的正弦值．

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市5G聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）復(fù)數(shù)3?i1+iA．1+2i B．1+i C．1﹣2i D．1﹣i【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)3?i1+i=(3?i)(1?i)故選：C．2．（5分）設(shè)m為直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．m∥α，α∥β，且m?β?m∥β B．α∥β，且m與α相交?m與β相交 C．m∥α，m∥β?α∥β D．α∥β，且m?α?m∥β【解答】解：由m∥α，α∥β，得m?β或m∥β，而m?β，所以m∥β，故A正確；由α∥β，且m與α相交，可得m與β相交，故B正確；由m∥α，m∥β，得α∥β或α與β相交，故C錯(cuò)誤；由α∥β，得α與β無(wú)公共點(diǎn)，又m?α可得m與β無(wú)公共點(diǎn)，則m∥β，故D正確．故選：C．3．（5分）在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AC的中點(diǎn)，則異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為（）A．12 B．35 C．33【解答】解：連接DE，因?yàn)辄c(diǎn)F，G分別為棱CD，AC的中點(diǎn)，所以FG∥AD，所以∠EAD或其補(bǔ)角為異面直線AE，F(xiàn)G所成角，設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，則AE=DE=32a，AD由余弦定理得：cos∠EAD=A所以異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為33故選：C．4．（5分）某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，甲校運(yùn)動(dòng)員的得分分別為8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，這些成績(jī)可用如圖中的（1）所示，乙校運(yùn)動(dòng)員的得分可用如圖中的（2）所示．則以下結(jié)論中，正確的是（）A．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)為7.5 B．乙校運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為10 C．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的平均數(shù)大于8 D．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差【解答】解：甲校派出的10名運(yùn)動(dòng)員參賽成績(jī)從小到大為：6，7，7，7，8，8，8，8，9，10，其中位數(shù)為：8，平均數(shù)為：6+7×3+8×4+9+1010=7.8，故選項(xiàng)A、其方差為：110[（6﹣7.8）2+3×（7﹣7.8）2+4×（8﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（10﹣7.8）2]＝1.16，標(biāo)準(zhǔn)差為1.16乙校派出的10名運(yùn)動(dòng)員參賽成績(jī)分別為：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，則其平均數(shù)為：110方差為：110[（6﹣8.7）2+（7﹣8.7）2+（8﹣8.7）2+4×（9﹣8.7）2+3×（10﹣8.7）2]＝1.61，標(biāo)準(zhǔn)差為1.61所以甲校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差，故選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤．故選：B．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a=2，b=6，A＝30°，則邊A．2 B．22或6 C．2或22 【解答】解：因?yàn)閍=2，b=6，由余弦定理得cosA=3則c=2或c＝22故選：C．6．（5分）如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分別為AB，AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成左右兩部分體積為V1和V2，那么V1：V2＝（）A．7：5 B．14：13 C．5：7 D．13：14【解答】解：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1+V2＝Sh，因?yàn)镋、F分別為AB，AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，所以S△AEF則V1=1所以V1：V2＝13：14．故選：D．7．（5分）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4，過(guò)PO的中點(diǎn)O1作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A．(7+45)π B．(8+45)π C．【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r=12×2＝1，圓錐的母線長(zhǎng)為22+4過(guò)PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為π×2×25+2π×1×2+π×22＝（8+45）π故選：B．8．（5分）在△ABC中，A=π6，B=π2，BC＝1，D為AC中點(diǎn)，若將△BCD沿著直線BD翻折至△BC′D，使得四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，則直線A．33 B．23 C．53【解答】解：∵A=π6，B=π2，BC＝1，∴AC＝2，又∴AD＝CD＝BD＝1，則BC′＝C′D＝BD＝1，即△BC′D為等邊三角形，設(shè)△BC′D的外接圓圓心為G，△ABD的外接圓圓心為O，取BD中點(diǎn)H，連接C′H，OH，OG，OB，OC′，OD，∵A=π6，BD＝1，∴OB=1又四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，∴O為四面體C′﹣ABD外接球的球心，由球的性質(zhì)可知：OG⊥平面BC′D，又C′H?平面BC′D，∴OG⊥C′H，∵C'G=23CH=23設(shè)點(diǎn)C′到平面ABD的距離為d，由VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD得：13又△OBD與△C′BD均為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，∴d=OG=6直線BC′與平面ABD所成角的正弦值為dBC'故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知互不相同的9個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下的7個(gè)數(shù)據(jù)與原9個(gè)數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征中不變的是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．第41百分位數(shù) D．方差【解答】解：設(shè)這9個(gè)數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7＜x8＜x9，中位數(shù)是x5，去掉最大數(shù)和最小數(shù)，得x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，中位數(shù)也是x5，所以中位數(shù)不變，選項(xiàng)A正確；由41%×9＝3.69，得x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9的第41百分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)x4，由41%×7＝2.87，得x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的第40百分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)x4，故第41百分位數(shù)不變，選項(xiàng)C正確；設(shè)這9個(gè)數(shù)分別1，2，3，4，5，6，7，8，9，則平均數(shù)為19方差為19×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]去掉最大數(shù)和最小數(shù)，得2，3，4，5，6，7，8，平均數(shù)為17方差為17×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）此時(shí)方差改變了，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；設(shè)這9個(gè)數(shù)分別﹣1，2，3，4，5，6，7，9，10，則平均數(shù)為19去掉最大數(shù)和最小數(shù)，得2，3，4，5，6，7，9，計(jì)算平均數(shù)為17×（2+3+4+56+7+9）=36故選：AC．（多選）10．（5分）已知向量a→=(1，3A．若a→∥bB．若a→⊥b→，C．a(chǎn)→?bD．存在θ，使得|【解答】解：a→=(1，3對(duì)于A，若a→則sinθ=3cosθ，即tanθ=3對(duì)于B，若a→則cosθ+3sinθ=0，解得tanθ∵0≤θ≤π，∴θ=5π6，故對(duì)于C，a→∵0≤θ≤π，∴π6∴sin(θ+π∴a→?b對(duì)于D，不妨設(shè)|a則a→故cos＜a→，b→a→=(1，3∵不存在實(shí)數(shù)λ（λ＜0）使得，a→∴a→與b∴假設(shè)不成立，即不存在θ，使得|a→?故選：AB．（多選）11．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c，a2＝2bcsinA，下列說(shuō)法正確的是（）A．若a＝1，則S△ABCB．△ABC外接圓的半徑為bcaC．cb+bD．A=π4時(shí)，c【解答】解：A中，a＝1，由題意可得2bcsinA＝1，所以S=12bcsinA=12?B中，設(shè)外接圓的半徑r，由正弦定理asinA=2r，因?yàn)閍2＝2bcsinA，所以r=bcC中，cb+bc≥2cb?bc=2，當(dāng)且僅當(dāng)cb=bc，即b＝D中，A=π4，因?yàn)閍2＝2bcsinA，可得a2=2bc，由余弦定理可得cosA=b2所以cb+bc=故選：ABD．（多選）12．（5分）如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱BD，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝t，t∈（0，1），則（）A．不存在t，使得BC∥平面AEF B．直線AC與直線EF異面 C．不存在t，使得平面AEF⊥平面BCD D．三棱錐A﹣DEF體積的最大值為2【解答】解：因?yàn)橹本€AC與平面BCD交于點(diǎn)C，EF?平面BCD，且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，所以直線AC與直線EF異面，故B正確．當(dāng)t=12時(shí)，E，F(xiàn)分別是棱BD，CD的中點(diǎn)，此時(shí)BC∥EF，因?yàn)镋F?平面BC?平面AEF，所以BC∥平面AEF，故A錯(cuò)誤．設(shè)O為△BCD的中心，連接AO，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)A有且只有一條直線AO垂直于平面BCD，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且垂直于平面BCD的平面一定經(jīng)過(guò)直線AO，即當(dāng)且僅當(dāng)E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，平面AEF⊥平面BCD，因?yàn)镈E＝1﹣t，DF＝t，所以DB→=1設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接DM，則DO=因?yàn)镋，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以13(11?t+1因?yàn)棣ぃ僵?＜0，所以此方程無(wú)解，所以不存在t∈（0，1），使得平面AEF⊥平面BCD，故C正確．易知AO=AD2?DO2=AD2?(所以△DEF的面積S=12r?（t﹣1）?sinπ3≤34當(dāng)且僅當(dāng)t=12時(shí)等號(hào)成立，所以三棱錐A﹣DEF體積的最大值為13故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.雙空題第一空2分，第二空3分.13．（5分）已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于3km，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東20°，則燈塔A與燈塔B的距離為3km【解答】解：由題意，AC＝BC=3，∠ACB由余弦定理可得AB=A所以燈塔A與燈塔B的距離為，3km．故答案為：3．14．（5分）已知a→=(2，23)，e→為單位向量，向量a→，e→的夾角為π3，則向量【解答】解：∵a→=(2，23∴|e→|=1，|a∴a→?e∴向量a→在向量e→上的投影向量為a→故答案為：2e→15．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP→=mAC【解答】解：由AD→=2DB又C，P，D三點(diǎn)共線，則有AP→=mAC∵AP→∴2?2m3=12又CD→且∠BAC=π3，AC＝2，故AP→?CD→==?1=?1＝3．故答案為：3．16．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)P在△AB1C內(nèi)，滿足D1P=14，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，如圖，如圖，E為正三角形AB1C的外心，D1E⊥平面AB1C，根據(jù)幾何關(guān)系，不難得出D1E＝32×(3因?yàn)辄c(diǎn)P在ΔAB1C內(nèi)，滿足D1P=14，則EP=因此點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，2為半徑的圓在ΔAB1C內(nèi)的圓弧，而ΔAB1C為正三角形，則三棱錐B﹣AB1C必為正三棱錐，E為正ΔAB1C的中心，于是正ΔAB1C的內(nèi)切圓半徑EH＝AB1×3則cos∠HEF=32，即∠HEF=π6所以圓在ΔAB1C內(nèi)的圓弧為圓周長(zhǎng)的12即點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為12?2π故答案為：2π．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）（1）設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，那么求滿足條件：2＜|z|＜3的點(diǎn)Z的集合的圖形面積；（2）已知復(fù)數(shù)z1=m+(4?m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z1+【解答】解：（1）由復(fù)數(shù)的幾何意義知：所表示的圖形為圓環(huán)，面積為π?32﹣π?22＝5π；（2）∵z1=m+(4?m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z∴x+m+（λ+2x+4﹣m2）i＝0，∴m＝﹣x，λ+2x+4﹣m2＝0，∴λ＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，當(dāng)x＝1時(shí)，λ有最小值為﹣5，故λ范圍為[﹣5，+∞）．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB．（1）求角A；（2）若△ABC外接圓的半徑為263，求△【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB，由sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB得，sin（A﹣B）＝sin（A+B）﹣sinB，所以sinB＝sin（A+B）﹣sin（A﹣B）＝2cosAsinB，又0＜B＜π，所以sinB＞0，所以cosA=1因?yàn)?＜A＜π，所以A=π（2）由△ABC外接圓的半徑為263，則得由余弦定理得，cosA=b2+c2?a22bc所以b2+c2＝bc+8≥2bc，解得bc≤8，所以S△ABC故△ABC面積的最大值為2319．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1為正方形，面AA1C1C為菱形∠CAA1＝60°，側(cè)面AA1C1C⊥面ABB1A1．（1）求證：AC1⊥面CA1B1；（2）求二面角C﹣BB1﹣A的余弦值．【解答】解：（1）證明：由菱形AA1C1C?AC1⊥A1C，∵平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1＝AA1，又正方形ABB1A1中，A1B1⊥AA1，∴A1B1⊥平面AA1C1C，∴A1B1⊥AC1，∵A1B1∩A1C＝A1，A1B1，A1C?平面CA1B1，∴AC1⊥平面CA1B1，（2）過(guò)C作CH⊥AA1于H，∵側(cè)面AA1C1C⊥面ABB1A1，側(cè)面AA1C1C∩面ABB1A1＝AA1，∴CH⊥平面ABB1A1．過(guò)H作HK⊥BB1于K，連CK，則CH⊥BB1，HK⊥BB1，故BB1⊥平面CHK，所以BB1⊥CK，故∠CKH為二面角C﹣BB1﹣A的平面角，在Rt△CHK中設(shè)AC＝a，AA1＝AB＝a，∠CAA1＝60°，∴CH=3a2，HK＝AB＝a，CK=∴二面角C﹣BB1﹣A的余弦值為2720．（12分）為了深入學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)黨的二十大精神，某高級(jí)中學(xué)高一全體學(xué)生參加了《二十大知識(shí)競(jìng)賽》．試卷滿分為100分，所有學(xué)生成績(jī)均在區(qū)間[40，100]分內(nèi)．已知該校高一選物理方向、歷史方向的學(xué)生人數(shù)分別為180、120．現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取了30名學(xué)生的答題成績(jī)，繪制了如圖樣本頻率分布直方圖．（1）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，計(jì)算圖中a的值，并估計(jì)該校全體學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和第71百分位數(shù)；（2）已知所抽取選物理方向和歷史方向?qū)W生答題成績(jī)的平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)如下表，且根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出總成績(jī)的方差為140，求高一年級(jí)選物理方向?qū)W生成績(jī)的平均數(shù)x1和高一年級(jí)選歷史方向?qū)W生成績(jī)的方差s選科方向樣本平均數(shù)樣本方差物理方向x175歷史方向60s2【解答】解：（1）根據(jù)頻率和為1，得（0.006+0.012+a+0.026+0.010+0.006）×10＝1，解得a＝0.040，計(jì)算平均數(shù)為x=第71百分位數(shù)x0：0.006×10+0.012×10+0.04×10+（x0﹣70）×0.026＝71%，解得x0＝75．（2）由題知抽取30名學(xué)生，其中物理方向18人，歷史方向12人，所以69=18解得x1=75，21．（12分）已知△ABC的面積為332，且AB→?AC（1）求角A的大?。唬?）設(shè)M為BC的中點(diǎn)，且AM=72，∠BAC的平分線交BC于N，求線段【解答】解：（1）因?yàn)锳B→又三角形ABC的面積為332，即所以bcsinA=33所以bcsinAbccosA又A∈（0，π），所以A=2π（2）如圖所示，在△ABC中，因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以2AM兩邊平方得，4|所以b2+c2＝1