湖南省部分學(xué)校2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則的虛部為（

）A．2 B．4 C．-2 D．3．下列結(jié)論正確的是（

）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C．有兩個(gè)面是四邊形且相互平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺(tái)D．棱臺(tái)的所有側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)4．將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．5．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．一艘輪船從地出發(fā)，先沿東北方向航行15海里后到達(dá)地，然后從地出發(fā)，沿北偏西方向航行10海里后到達(dá)地，則地與地之間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．15海里7．設(shè)，則（

）A． B．C． D．8．已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是2，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知（，），若，則（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C． D．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．C．當(dāng)時(shí)，的值域是D．當(dāng)時(shí)，三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量．若，則；若，則．13．已知某圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為4，10，高為4，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．14．已知函數(shù)在0,π內(nèi)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，.四、解答題（本大題共5小題）15．已知復(fù)數(shù)，．(1)若是純虛數(shù)，求的值；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍．16．已知向量，的夾角為，且．(1)求向量在向量上的投影向量；(2)若，求的值．17．在中，．(1)若為的角平分線，且交于，求的長(zhǎng)；(2)若為的中線，且交于，求的長(zhǎng)．18．如圖，在長(zhǎng)方體中，分別在上.已知，.(1)作出平面截長(zhǎng)方體的截面，并寫出作法；(2)求（1）中所作截面的周長(zhǎng)；(3)長(zhǎng)方體被平面截成兩部分，求體積較小部分的幾何體的體積.19．如圖，在平面四邊形中，，，，．(1)若為銳角，且，求的面積；(2)求四邊形面積的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，在四邊形所在平面內(nèi)，求的最小值．

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意得，，則.故選：B.2．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以則z的虛部為2.故選：A3．【答案】D【分析】根據(jù)正四棱錐的定義即可判斷A；舉反例即可判斷BC；根據(jù)棱臺(tái)特點(diǎn)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：底面是正方形的棱錐且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心才是正四棱錐，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，所形成的幾何體是兩個(gè)同底的圓錐，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺(tái)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，故D正確.故選D.4．【答案】A【詳解】圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù).故選：A5．【答案】C【詳解】對(duì)于，則fx為上的增函數(shù)，而，，，，，由于，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，知道函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.6．【答案】A【詳解】在中，由題意可知海里，海里，.

由余弦定理可得，則海里.故選：A.7．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即.又因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D.8．【答案】A【詳解】由題意可得，，則，解得，又為第一象限角，，所以.故選：A.9．【答案】BCD【詳解】依題意可得，則，解得，則，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD10．【答案】ABD【詳解】解：由圖象知：，函數(shù)的最小正周期為，，則，故A正確，即，又，得，由，可知，故C錯(cuò)誤，從而，，點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確，，，故在上單調(diào)遞增，故B正確；故選：ABD．11．【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，則關(guān)于直線對(duì)稱，則，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，則，則B正確，則則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)C，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的值域與時(shí)值域相同，當(dāng)時(shí)，，顯然其為增函數(shù)，則的值域?yàn)?，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)的周期為4，則，故D正確；故選：ABD.12．【答案】【詳解】由于，則時(shí)，，解得；則時(shí)，，解得.故答案為：；.13．【答案】【詳解】如圖，圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為4，10，高為4，則.則，根據(jù)側(cè)面積公式，知道圓臺(tái)側(cè)面積為．故答案為：．14．【答案】/【詳解】由題意可得.令，得，則或，解得或.由，得或，所以.不妨取，則.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由實(shí)部為且虛部不為列式求解；（2）由實(shí)部小于0與虛部大于得到不等式組，求出的取值范圍．【詳解】（1）是純虛數(shù)，故，解得.（2），因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，故的取值范圍為.16．【答案】(1)；(2)或3.【詳解】（1）由向量，的夾角為，且，得，所以向量在向量上的投影向量為.（2）由（1）知，，由，得，即，整理得，解得或，所以的值是或3.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則得，即的長(zhǎng)為.（2）由為的中線，則，得，故，即的長(zhǎng)為.18．【答案】(1)答案見解析(2)(3)【詳解】（1）如圖所示，五邊形為所求截面.作法如下：延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，分別交于，交的延長(zhǎng)線于，連接，交于點(diǎn)，連接，則五邊形為所求截面.（2）因?yàn)?，所以，則，由，可得，得，則，.由，得，由，得，則.故截面的周長(zhǎng)為.（3），故所求體積為.19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）連接.在中，由余弦定理可得，即.在中，由余弦定理可得，即，則，即.因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以，則，