山西省長治市第六中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C．或 D．2．已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．3．在中，．若，則的值為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，，則的前6項和為（

）A． B． C． D．5．某學(xué)校擬派2名語文老師、3名數(shù)學(xué)老師和3名體育老師共8人組成兩個支教分隊,平均分到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)支教,其中每個分隊都必須有語文老師、數(shù)學(xué)老師和體育老師,則不同的分配方案有()A．72種 B．36種 C．24種 D．18種6．某校教工食堂為更好地服務(wù)教師，在教師微信群中發(fā)起“是否喜歡菜品”的點贊活動，參與活動的男、女教師總?cè)藬?shù)比例為，男教師點贊人數(shù)占（參與活動的）男教師總?cè)藬?shù)的，女教師點贊人數(shù)占（參與活動的）女教師總?cè)藬?shù)的，若從點贊教師中選擇一人，則該教師為女教師的概率為（）A． B． C． D．7．設(shè)點是圓與圓的一個交點，過點作直線交圓于另一點，交圓于另一點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．8．已知對于，都有，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知i為虛數(shù)單位，z為復(fù)數(shù)，以下四種說法正確的是（

）A． B．C．若，則復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限 D．已知，若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則實數(shù)根必為10．現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗專家到四家醫(yī)院進(jìn)行核酸檢測指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（

）A．所有可能的安排方法有64種B．若三名專家選擇兩所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少去一人，則不同的安排方法有6種C．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，則不同的安排方法有24種D．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，但是甲不去A醫(yī)院，則不同的安排方法有18種11．設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（

）A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形三、填空題（本大題共3小題）12．若展開式的各項系數(shù)之和為32，則，其展開式中的常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）13．已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為.14．已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．四、解答題（本大題共5小題）15．兩臺車床加工同樣的零件，第一臺車床出現(xiàn)不合格品的概率是0.04，第二臺車床出現(xiàn)不合格品的概率是0.08，將加工出來的零件放在一起，已知第一臺車床加工的零件數(shù)量是第二臺車床加工的零件數(shù)量的2倍．(1)求任取一個零件是合格品的概率；(2)若取出的零件是不合格品，求它是由第二臺車床加工的概率．16．已知函數(shù).（1）求的最小正周期及在區(qū)間上的最大值（2）在銳角中，f（）=，且a=，求b+c取值范圍.17．?dāng)?shù)列滿足：，等比數(shù)列的前項和為，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，試證明.18．如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，M是的中點．(1)求證：平面平面；(2)若平面，，，點P為線段上一點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．19．已知四數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)證明：函數(shù)只有一個零點；(3)當(dāng)時，函數(shù)恒成立，求a的取值范圍．

參考答案1．【答案】B【詳解】∵，∴或，若，解得或，當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，集合，滿足題意，故成立，若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去，綜上所述，．故選B．2．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選D．3．【答案】C【詳解】因為，所以為的中點，所以．又，所以，所以，所以，所以，所以．故選C.4．【答案】C【詳解】由，當(dāng)時，，顯然，對于時也成立，所以，則的前6項和為.故選C.【思路導(dǎo)引】若通項公式是分式型，分子是常數(shù)，分母是相鄰兩項的積，則可以考慮用裂項相消法求和.5．【答案】B【解析】經(jīng)典題型：排列組合中的分組分配問題依題意,2名語文老師,每個村1名,有2種分法.3名數(shù)學(xué)老師和3名體育老師,分成兩組,要求數(shù)學(xué)老師和體育老師都有,則分1名數(shù)學(xué)老師,2名體育老師和2名數(shù)學(xué)老師和1名體育老師;若甲村有1名數(shù)學(xué)老師,2名體育老師,則有=3×3=9(種)分法,其余的分到乙村;若甲村有2名數(shù)學(xué)老師,1名體育老師,則有=3×3=9(種)分法,其余的分到乙村.則不同的分配方案有2×(9+9)=36(種),故選B.6．【答案】C【詳解】設(shè)事件“該教師為男教師”，事件“該教師為女教師”，事件“該教師為點贊教師”，則，又．故選C.7．【答案】A【詳解】由知為中點，所以，以為直徑的圓過點，故是以為直徑的圓與圓的公共弦，聯(lián)立圓圓的方程，可解得，當(dāng)時，以為直徑的圓的方程，與圓的方程相減，可得直線的方程為，直線的斜率為，考慮對稱性，直線斜率的另外一解為.故選A.8．【答案】D【詳解】不等式可轉(zhuǎn)化為因為，所以設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又，所以又，所以對恒成立，即令，則由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以則故選D.9．【答案】AC【詳解】記，則所以，，故A正確；虛數(shù)不能比較大小，故B錯誤；因為，所以對于點為，C正確；由求根公式得，因為方程有實數(shù)根所以，解得，當(dāng)取時，，故D錯誤.故選AC.10．【答案】ACD【詳解】A選項，甲、乙、丙三人均有4種選擇，故所有可能的安排方法有種，A正確；B選項，先從4所醫(yī)院選擇2所，有種選擇，再將三名專家分到兩所醫(yī)院，有種選擇，則不同的安排方法有種，B錯誤；C選項，先從4所醫(yī)院選擇3所，有種選擇，再將三名專家和三所醫(yī)院進(jìn)行全排列，有種選擇，則不同的安排方法有種，C正確；D選項，由C選項可知，三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，共24種選擇，若甲去A醫(yī)院，從所醫(yī)院中選兩所，和剩余兩名專家進(jìn)行全排列，共有種選擇，故不同的安排方法有種，D正確.故選ACD.11．【答案】AC【分析】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為；B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤；C選項：設(shè)的中點為A，到直線的距離分別為，因為，即A到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確；D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選AC.

12．【答案】510【詳解】顯然展開式的各項系數(shù)之和就是二項式系數(shù)之和，也即n=5；，常數(shù)項C＝10.13．【答案】/【詳解】如圖，，則兩兩垂直.作，垂足分別為，連接，則，所以為與的所成角，為與的所成角，即，，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，得，，所以，取，則，又，所以，即與所成的角為.14．【答案】/【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)表示“第臺機(jī)床加工的零件”；表示“出現(xiàn)不合格品”；表示“出現(xiàn)合格品”，則，，，，，所以．（2）由（1）得，，.16．【答案】（1）最小正周期為，最大值；（2）.【詳解】（1），所以的最小正周期為.因為，所以于是，當(dāng)，即時，取得最大值（2）在中，，，，.由正弦定理，，，，，.17．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：由數(shù)列滿足，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為，又由，可得，可得，當(dāng)時，，所以，解得，此時適合，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由，，可得，則，可得，兩式相減，可得所以，因為，所以.18．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，，所以四邊形為平行四邊形，故,又平面，平面,所以平面；連接交于N，連接，因為四邊形是正方形，故N為中點，M是的中點，在中，有，平面，平面,所以平面，且平面，平面,,所以平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，又M是的中點，故,，因為，所以，解得，設(shè)，因點P為線段上一點，則，即，故，所以，又，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則

當(dāng)時，設(shè)，，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）由題設(shè)，則，又，所以在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，，故恒成立；當(dāng)時，；當(dāng)時，法一：令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，所以，故在上