福建省泉州市南安第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知命題，則為（

）A． B．C． D．3．若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（

）A．120 B．119 C．110 D．1095．若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，各項(xiàng)系數(shù)之和為243，則展開式中的系數(shù)是（

）A．32 B．64 C．80 D．166．給圖中五個(gè)區(qū)域染色，有四種不同的顏色可供選擇，要求邊界有重合部分的區(qū)域（僅頂點(diǎn)與邊重合或僅頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合不算）染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A．216種 B．180種 C．192種 D．168種7．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

8．已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生人，女生人，則下列說法正確的是（

）A．從中選人，人做正組長(zhǎng)，人做副組長(zhǎng)，共有種不同的選法B．從中選人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各人，共有種不同的選法C．將這名學(xué)生排成一排，位女生排在一起的方法共有種D．名學(xué)生排成一排，已知名男生已排好，現(xiàn)將名女生插入隊(duì)伍中，則共有種排法10．已知函數(shù)，過點(diǎn)作平行于軸的直線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn).則（

）A．當(dāng)時(shí)，切線的方程為 B．當(dāng)時(shí)，的面積為C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．面積的最小值為11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)，且為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的模為．13．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知n次式項(xiàng)式．如果在一種算法中，計(jì)算的值需要次乘法，計(jì)算的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算的值共需要次運(yùn)算．下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：．利用該算法，計(jì)算的值共需要6次運(yùn)算．計(jì)算的值共需要次運(yùn)算．四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知，求的值；（2）解不等式:.16．如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

(1)證明:平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)記函數(shù)，已知只有1個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)的最小值．18．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)證明：.（參考數(shù)據(jù)：）19．在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】由題意，由交集的定義，故選C2．【答案】A【詳解】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以為“”.故選A.3．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，則，，由題意可知，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選B.4．【答案】B【分析】由組合數(shù)公式不斷迭代即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選B.5．【答案】C【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)式系數(shù)之和為32，則，解得，即二項(xiàng)式為，因?yàn)檎归_式各項(xiàng)系數(shù)和為243，令，代入可得，解得，即二項(xiàng)式為，則該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，則展開式中的系數(shù)為.故選C.6．【答案】D【詳解】先對(duì)3，4，5染色，有種方法，若2和3同色，則不同的染色方法有種，若2和3不同色，則不同的染色方法有種，綜上，不同的染色方法有種．故選D.7．【答案】A【詳解】由，，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；又時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，令，即，解得，即，單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，故A正確，D錯(cuò)誤.故選A.8．【答案】D【詳解】令，解得，故在上單調(diào)遞減，令，解得，故的一條對(duì)稱軸為，故，因?yàn)?，，所以，即，A錯(cuò)誤；B，，故，，因?yàn)椋?，故，而，故，則，其中，，故，則，由于在上單調(diào)遞增，,故，故，故，B錯(cuò)誤.C，的一條對(duì)稱軸為，故，其中，故，故，而，故，所以，關(guān)于中心對(duì)稱，故，其中，則，其中，.下面證明.令，，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，故，所以，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，故，故，又在上單調(diào)遞減，故，故，C錯(cuò)誤；D，，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，所以，故，由于在上單調(diào)遞減，所以，D正確.故選D．9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，從個(gè)人中選人，人做正組長(zhǎng)，人做副組長(zhǎng)選法共有種，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，從個(gè)人中選人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各人選法共有種，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，將個(gè)女生捆綁在一起，形成一個(gè)大“元素”，與個(gè)男生一起排序，由捆綁法可知，不同的排法種數(shù)為種，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，名學(xué)生排成一排，已知名男生已排好，現(xiàn)將名女生插入隊(duì)伍中，由倍縮法可知，不同的排法種數(shù)為種，故D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】BCD【詳解】由已知得，，過點(diǎn)的切線方程為，當(dāng)時(shí)，，則，故正確；當(dāng)時(shí)，，則，以為切點(diǎn)的切線方程為，即，故錯(cuò)誤；此時(shí)，的面積，故正確；因?yàn)?，，，所以，，所以，令，所以，令，即，解得，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，故正確.故選.11．【答案】BCD【分析】對(duì)于A：令，可判斷A；對(duì)于B：令，進(jìn)而計(jì)算可判斷B；對(duì)于C：為奇函數(shù)，可得為偶函數(shù)；進(jìn)而可得關(guān)于對(duì)稱，可判斷C；對(duì)于D：令，可得，令，則，兩式相加可判斷D.【詳解】對(duì)于A：令，則，為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，令，則為奇函數(shù)，，的周期為4，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；的周期為4，為偶函數(shù)，，關(guān)于對(duì)稱，，令，可得，令，可得，，故，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：令，則，即①，令，則②，由①+②得，故選項(xiàng)D正確.故選BCD．【方法總結(jié)】本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的奇偶性、周期性以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意采用變量代換推出函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，進(jìn)而求得一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值，即可求解.12．【答案】【詳解】由已知可得，所以13．【答案】【詳解】對(duì)于，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，顯然，所以在恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則或（舍去），所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．【答案】【詳解】在利用常規(guī)算法計(jì)算多項(xiàng)式的值時(shí)，算項(xiàng)需要次乘法，則在計(jì)算時(shí)共需要乘法次，需要加法：次，則計(jì)算的值共需要次運(yùn)算，故計(jì)算的值共需要65次運(yùn)算；在使用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值時(shí)，共需要乘法：次，需要加法：次，則計(jì)算的值共需要次運(yùn)算.故計(jì)算的值至多需要20次運(yùn)算.15．【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）由題意得，

在中，令，得，令得，

所以；（2）因?yàn)椋芍?，且，整理可得，解得?/p>

因?yàn)?，，所以?16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、，

因?yàn)?，所以?/p>

由于為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)榍?，為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)?，故平?（2）解法1：設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面的距離為，則，

在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，所以，，在Rt中，，，則，

過點(diǎn)在平面作垂直于的延長(zhǎng)線于，易得，

因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，由于，則，在中，，同理可得，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，且，所以，，又，即，所以，，因此，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；解法2：在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，如圖，連接，

由（1），平面，平面，則，又因?yàn)椋?，，，則四邊形為正方形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，由于，、平面，則平面，如圖，記，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，由于平面，平面，則，又因?yàn)?，、平面，則平面，所以即為直線與平面所成角，由于，則，

因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以，，則為的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，則，，于是，即直線與平面所成角的正弦值為；解法3：因?yàn)槠矫妫?，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在中，由余弦定理可得，可得，解得，即，所以，，于是、、、、，

則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，于是，令，則，

設(shè)直線與平面所成角為，那么，即直線與平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．（2），，因?yàn)?，令，則或．當(dāng)時(shí)，由，可得或，由，可得：所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，又，因只有1個(gè)零點(diǎn)，需使．令，求導(dǎo)得：，又，，易得可知在上單調(diào)遞減；又時(shí)，，，即存在，使得，因，，又因，故．18．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線在切點(diǎn)處的切線方程；（2）求出函數(shù)在時(shí)的值域，可求實(shí)數(shù)的最大值；（3）依題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1），，在處的切線為.（2），，則，所以，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，對(duì)任意恒成立，，則，的最大值為.（3）設(shè)，，在上單調(diào)遞增，，，使，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，.【思路導(dǎo)引】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.19．【答案】(1)不是，理由見解析(2)(3)【詳解】（1）函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，理由如下．的圖象逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與軸重合，當(dāng)時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)與之對(duì)應(yīng)，與函數(shù)的概念矛盾，因此函數(shù)