廣東省東莞市第四高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．函數(shù)在時的瞬時變化率為（

）A．0 B．2 C．4 D．62．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．3．函數(shù)在上的最大值是（

）A． B．0 C． D．4．某研究性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問卷調(diào)查活動需要挑選3名同學(xué)參加，其中至少一名女生，則不同的選法種數(shù)為（

）A．120種 B．84種C．52種 D．48種5．若曲線在點處的切線與直線垂直，則a的值為（）A． B． C． D．6．已知事件，，若，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．7．若的展開式中的系數(shù)為30，則（

）A． B． C． D．8．定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則對于函數(shù)的描述正確的是（）

A．在上單調(diào)遞減 B．在處取得極大值C．在上單調(diào)遞減 D．在處取得最小值10．2024年3月，中華人民共和國全國人民代表大會與中國人民政治協(xié)商會議在北京召開（以下簡稱“兩會”），兩會結(jié)束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，則下列說法正確的是（

）A．若A與B相鄰，則有48種不同站法B．若C與D不相鄰，則有24種不同站法C．若B在E的左邊（可以不相鄰），則有60種不同站法D．若A不在最左邊，D不在最中間，則有78種不同站法11．已知函數(shù)，則（

）A．的極小值為2B．有兩個零點C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線三、填空題（本大題共3小題）12．在的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是16，則展開式中的常數(shù)項為.13．若函數(shù)在處取得極小值，則；函數(shù)的極大值為．14．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)在處取得極小值5．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．16．若，求：(1)求的值；(2)；(3)．17．工廠有甲，乙，丙三個車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由甲車間生產(chǎn)的概率是多少?18．設(shè)函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(3)求出方程的解的個數(shù).19．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求證：．

參考答案1．【答案】B【分析】求導(dǎo)，即可代入求解.【詳解】由可得，故時的瞬時變化率為，故選B.2．【答案】D【詳解】，則，由，得，所以單調(diào)遞減區(qū)間是.故選:D．3．【答案】B【詳解】由題，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以.故選B.4．【答案】C【詳解】8人中任選3人的組隊方案有種，沒有女生的方案有種，所以符合要求的組隊方案有種.故選C.5．【答案】A【詳解】由題設(shè)，知曲線在點處的切線的斜率為，由，則，所以.故選A6．【答案】C【詳解】因為，所以，，，，，，故選C．7．【答案】A【詳解】由二項式的展開式的通項為，則的展開式中為，可得，解得.故選A.8．【答案】D【詳解】設(shè)，則，由于當(dāng)時，，則當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，，則，則函數(shù)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，當(dāng)時，由，可得，即，解得；當(dāng)時，由，可得，即，解得；綜上，不等式的解集為，故D正確.故選D．9．【答案】BC【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故正確的有BC.故選BC10．【答案】ACD【詳解】若A與B相鄰，則有種不同站法，A正確；若C與D不相鄰，則有種不同站法，B錯誤；若B在E的左邊（可以不相鄰），則有種不同站法，C正確；若A不在最左邊，D不在最中間，當(dāng)A排在最中間時，滿足條件的排法有種，當(dāng)A不排在最中間時，滿足條件的排法有種，故共有種不同排法，D正確.故選ACD.11．【答案】BCD【詳解】，，令，解得：或，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；的極小值為：，的極大值為：，有兩個零點，的極小值為4，故A錯誤、B正確；對C，若點是曲線的對稱中心，則有，將函數(shù)代入上式驗證得：，故C正確；對于D，，解得：，當(dāng)時，，切線方程為：，即，故D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】因為的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是16，所以，解得.又的展開式的通項公式，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為.13．【答案】2【詳解】解：因為，所以，所以，解得，或，當(dāng)時，，所以，當(dāng)或時，時，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意，函數(shù)在處取得極大值，且；當(dāng)時，，所以，當(dāng)或時，時，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，．14．【答案】2【詳解】因為，所以，由在上單調(diào)遞增，得到，即，又當(dāng)，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則，故，則實數(shù)的最大值為2．15．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗后得到答案；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值和最值情況，得到答案.【詳解】（1），因為在處取極小值5，所以，得，此時所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以在時取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：00,1122,33f001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時，．16．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）二項式展開式的通項為，其中．因為，所以．（2），令，解得；令，整理得，故．（3）的展開式通項為，則，其中且，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，．所以令可得，所以．17．【答案】(1)(2)【分析】（1）記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示抽取到次品，利用全概率公式計算可得；（2）利用條件概率的概率公式計算可得.【詳解】（1）記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示抽取到次品，則,，取到次品的概率為；（2）若取到的是次品，此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：.【方法總結(jié)】（1）分別表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，還有抽取到次品的事件，利用全概率公式計算可得；18．【答案】(1)(2)答案見解析(3)答案見解析【詳解】（1）由，所以，且，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）因為，令，得或，所以當(dāng)或時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；的單調(diào)遞減區(qū)間為.的極大值為；的極小值為；（3）由（2）可知函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出和得圖象，可得當(dāng)或時，方程的解為1個；當(dāng)或時，方程的解為2個；當(dāng)時，方程的解為3個.19．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，則，①當(dāng)時，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，令，解得，令，解得或，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，③當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)