廣東省東莞市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合．1.設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：B.2.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.有2個(gè)極值點(diǎn) B.在處取得極小值C.有極大值，沒有極小值 D.上單調(diào)遞減【正確答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分布情況，進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，僅時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)只有一個(gè)極值大點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，所以有極大值，沒有極小值，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.3.甲、乙等5人去聽同時(shí)舉行的4個(gè)講座，每人可自由選擇聽其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座，其他人聽的講座互不相同的種數(shù)為（）A.12 B.16 C.18 D.24【正確答案】D【分析】先安排甲乙，然后安排其他人，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】甲乙兩人聽同一個(gè)講座，方法數(shù)有種，其他人聽不同的講座，方法數(shù)有種，所以恰好只有甲、乙兩人聽同一個(gè)講座的種數(shù)為種.故選：D.4.已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榍?，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B5.若一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字中，有且僅有兩個(gè)數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重?cái)?shù)”.例如：232，114等，則不超過200的“單重?cái)?shù)”中，從小到大排列第25個(gè)“單重?cái)?shù)”是（）A.166 B.171 C.181 D.188【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，分2種情況求出200以內(nèi)的“單重?cái)?shù)”的個(gè)數(shù)為27，據(jù)此分析其中最大的“單重?cái)?shù)”，即可得答案．【詳解】在符合條件的三位數(shù)中，有兩個(gè)1且1在百位的有個(gè).1在首位但不是重復(fù)數(shù)字的有100，122，133，144，155，166，177，188，199，共9個(gè)，則200以內(nèi)的“單重?cái)?shù)”有18+9=27個(gè)，其中最大的為199，其次為191，188,則從小到大排列第25個(gè)“單重?cái)?shù)”是188.故選：D本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及合情推理的運(yùn)用，關(guān)鍵是理解“單重?cái)?shù)”的定義，屬于基礎(chǔ)題6.函數(shù)在處的切線與直線垂直，則（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】求出導(dǎo)數(shù)，，利用函數(shù)在處的切線與直線垂直，列出方程，即可求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，在處的切線斜率為，又在處的切線與直線垂直，所以，解得.故選：B.7.已知函數(shù)在上無極值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【詳解】，則，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上無極值，所以在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，當(dāng)時(shí)，，則．綜上，．故選：．8.已知兩條曲線與恰好存在兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】令，條件可轉(zhuǎn)化為恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，畫函數(shù)與函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.【詳解】由題可知恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，則，又，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，解得，在上單調(diào)遞增，令，解得，在單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)和的大致圖象如圖，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即的取值范圍為.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于通過令將條件轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.如圖，是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：是曲線在處的切線，令，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則()A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】由圖像即可求f(3)，可判斷A；根據(jù)l過(3，1)可求，可判斷B；根據(jù)f(3)可計(jì)算g(3)，可判斷C；根據(jù)可求，可判斷D.【詳解】由圖可知，f(3)＝1，故A正確；(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B錯(cuò)誤；，則，故C正確；，，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.曲線在處的切線方程為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上有極小值D.在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)【正確答案】BC【分析】求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解判斷A；結(jié)合單調(diào)性、極小值意義判斷BC；求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D.【詳解】依題意，，對(duì)于A，，，所求切線方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此在處取得極小值，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，在上有唯一零點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，，即，，因此在區(qū)間上有1零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：BC11.設(shè)，則（）A.B.C.D.若表示正數(shù)的整數(shù)部分，則【正確答案】ACD【分析】令可得A正確；令可得B錯(cuò)誤；令，再由偶數(shù)項(xiàng)的和可得C正確；由二項(xiàng)式定理的整除可得D正確.詳解】對(duì)于A，令，可得，故A正確；對(duì)于B，令，可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，可得，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則_______．【正確答案】6【分析】利用瞬時(shí)變化率和極限思想求得，再結(jié)合函數(shù)解析式求得即可.【詳解】因，由可得，故.故6.13.某校開設(shè)了門體育類課程和門科技類課程，學(xué)生從這門課中最多選修門，且至少選修門體育類課程，則不同的選課方案有______種．（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】先求出從門課程中至多選門至少選門課程的所有選法，再求出所選課程都是科技類課程的選法，前者減去后者可得結(jié)論.【詳解】學(xué)生從這門課中最多選修門且至少選修門課程的選法有，學(xué)生從這門課中最多選修門至少選門，且所選課程都為科技類課程的選法選法有，所以滿足條件的選法有（種）.故答案.14.已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求出方程有3個(gè)解時(shí)的范圍，再將目標(biāo)式用表示并求出范圍.【詳解】方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，直線與射線有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象及直線，如圖，令直線與圖象相切的切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得：，則，解得，即直線與圖象相切時(shí)，，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由，解得，由，得，即，因此，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求出直線與圖象相切的值，結(jié)合圖形求出方程有3個(gè)解的范圍是求解的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，第15題13分、第16題15分、第17題15分、第18題17分、第19題17分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在處有極值2.（1）求，的值：（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【正確答案】（1）（2）2【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，再利用極值的定義得到與，從而列式即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再利用的單調(diào)性可求得其最大值，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，且，所以，解得，故.【小問2詳解】由（1）得：，，又，令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最大值是或，而，，故函數(shù)的最大值是2.16.已知的展開式中，第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【正確答案】（1）1;（2）180;（3）.【分析】（1）利用條件、組合數(shù)公式，求得的值，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．（3）由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．詳解】解：（1）由題意知，，即，求得，故令，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為．（2）由于二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．（3）要使二項(xiàng)式系數(shù)最大，只要最大，故，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)．本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).17.某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元()的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元()時(shí)，一年的銷售量為萬件．（1）求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式(并寫出函數(shù)的定義域)；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a)．【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）通過利潤＝每件產(chǎn)品利潤×售價(jià)，代入計(jì)算即可．（2）通過利潤表達(dá)式求導(dǎo)函數(shù)，由a的范圍分類討論原函數(shù)的單調(diào)性，并求出a在不同范圍內(nèi)的利潤的最值即可．【小問1詳解】分公司一年的利潤（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：．【小問2詳解】．令得或（不合題意，舍去）．，．在兩側(cè)的值由正變負(fù)．所以當(dāng)即時(shí)，．當(dāng)即時(shí)，，所以答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤最大，最大值（萬元）．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在單調(diào)遞增；（2）若函數(shù)在有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）1個(gè)【分析】（1）求導(dǎo)通過，即可求證；（2）由題意可得在有變號(hào)的根，再由的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理構(gòu)造不等式求解即可；（3）由切線方程求得，再通過函數(shù)的單調(diào)性即可求解；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由，可得，因，則，又因?yàn)?，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；【小問2詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在有極值，所以在有變號(hào)的根，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，則，即，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【小問3詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，所以，且，解得．故則，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，因，所以在沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，即在沒有零點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．19.設(shè).（1）若，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）借助導(dǎo)數(shù)研究及的單調(diào)性后，由函數(shù)的最小值可分及進(jìn)行討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可得時(shí)不符合要求；（3）結(jié)合極值點(diǎn)定義計(jì)算可得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得只需證，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明其恒成立即可得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，則，又，則切線方程為，即；【小問2詳解】，令，則，當(dāng)時(shí)，有，故在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，有，滿足要求；當(dāng)時(shí)，則，又