貴州省遵義市正安縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.下列命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】B【分析】根據(jù)向量是具有大小和方向的量以及零向量的含義，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】對(duì)于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，即的模相等，方向相同，則，B正確；對(duì)于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比較大小，即，不能得出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，D錯(cuò)誤，故選：B2.下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（）A.BC.D.【正確答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角以及角度值，弧度制表示角即可.【詳解】與角的終邊相同的角表達(dá)式為：，或.故選：C.3.若，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以有，即，?dāng)和同向或反向時(shí)等號(hào)成立，所以的取值范圍是，故選：D4.若是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】D【分析】根據(jù)基底的概念，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)中的向量是否共線即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，共線，故不能構(gòu)成基底；對(duì)于B選項(xiàng)：，共線，故不能構(gòu)成基底；對(duì)于C選項(xiàng)：，共線，故不能構(gòu)成基底；對(duì)于D選項(xiàng)：假設(shè)與共線，由題他們均為非零向量，故存在非零實(shí)數(shù)，使得：，整理得：，故共線，與是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底矛盾，故假設(shè)不成立，所以與不共線，可以構(gòu)成基底.故選：D.5.已知有如下命題：①把化成角度是；②若扇形面積為，扇形圓心角的弧度數(shù)是，則扇形的周長為；③設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為第一象限；④角是第二象限角；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】對(duì)于①，利用角度與弧度的轉(zhuǎn)化，即可求解；對(duì)于②，利用扇形的面積公式及弧長公式，即可求解；對(duì)于③，取，即可求解；對(duì)于④，根據(jù)條件，利用象限角的范圍，即可求解.【詳解】對(duì)于命題①，因?yàn)?，所以命題①正確，對(duì)于命題②，設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由題有，解得，所以扇形的周長為，故命題②正確，對(duì)于命題③，取，顯然有是第一象限的角，但，是第三象限角，所以命題③錯(cuò)誤，對(duì)于命題④，因?yàn)?，所以角是第二象限角，故命題④正確，故選：D.6.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C.或2 D.或【正確答案】D【分析】結(jié)合三角函數(shù)的定義，分和兩種情況進(jìn)行討論即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，由三角函數(shù)的定義可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由三角函數(shù)的定義可知，此時(shí)；故選：D.7.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，以為基底，則可表示為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與軸正方向相同的單位向量為，與軸正方向相同的單位向量為，則，設(shè)因?yàn)椴还簿€，所以有，故選：C8.勒洛三角形是一種定寬曲線，它是德國機(jī)械工程專家勒洛首先進(jìn)行研究的，其畫法是：先畫一個(gè)正三角形，再以正三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，如圖所示，若正三角形的邊長為2，則勒洛三角形的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】勒洛三角形的面積為3個(gè)圓心角為60°的扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即可得解.【詳解】如圖：，以為圓心的扇形面積是，的面積是，∴勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即．故選：B.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）9.下列說法正確的有（）A.是第二象限角B.已知角的終邊過點(diǎn)，則C.經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過弧度D.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為【正確答案】BD【分析】根據(jù)終邊相同的角即可判定A，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解B，根據(jù)順時(shí)針即可判定C，根據(jù)扇形弧長以及面積的計(jì)算公式即可求解D.【詳解】對(duì)于A，，由于為第三象限的角，故為第三象限的角，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，角的終邊過點(diǎn)，則，故，B正確，對(duì)于C，經(jīng)過分鐘，鐘表的分針是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，故轉(zhuǎn)過弧度，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由于圓心角為的扇形的弧長為，故扇形的半徑為，則該扇形面積為，D正確，故選：BD10.下列命題正確的是（）A.若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得B.“”是“”的必要不充分條件C.不同向的向量不能比較大小，同向共線的也不可以D.若點(diǎn)為的重心，則【正確答案】BCD【分析】根據(jù)向量共線定理，向量的概念，向量的線性運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：若,則不成立；對(duì)于B選項(xiàng)：，若方向不同，則不成立，反之，若，則他們大小和方向均相同，所以，正確；對(duì)于C選項(xiàng)：向量的兩個(gè)要素：方向和大小，其中方向不能比較大小，所以向量不能比較大小，正確；對(duì)于D選項(xiàng)：如圖，點(diǎn)為的重心，則延長分別與相交于三點(diǎn),所以分別為中點(diǎn),且,所以,成立.故選:BCD.11.如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，交于，且為兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A B.C. D.【正確答案】BCD【分析】利用向量的線性運(yùn)算以及三角形相似的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一計(jì)算即可求解.【詳解】易知，所以，因此A錯(cuò)誤；顯然，可得B正確；，所以C正確；因?yàn)闉樯峡拷娜确贮c(diǎn)，所以，利用可得；所以，即D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.如圖所示，向量，，的終點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且．已知，，則______．（用，表示）【正確答案】【分析】利用向量的加法和減法，化簡可得結(jié)論.【詳解】，．，又，，，．故13.一個(gè)扇形的弧長等于內(nèi)接其所在圓的等邊三角形邊長，則這個(gè)扇形的中心角弧度數(shù)為______.【正確答案】【分析】設(shè)等邊三角形的邊長為（），扇形的中心角弧度數(shù)為（），弧長為，根據(jù)正弦定理求出等邊三角形的外接圓半徑，結(jié)合扇形的弧長公式即可求解.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為（），扇形的中心角弧度數(shù)為（），弧長為，由正弦定理得：該等邊三角形的外接圓半徑，根據(jù)題意得：，即，故答案為.14.中，為邊的中點(diǎn)，為中線上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且，則的最小值為________.【正確答案】##【分析】根據(jù)題意可知，然后根據(jù)三點(diǎn)共線得出，再通過基本不等式求解即可.【詳解】如下圖所示：因?yàn)椋瑸檫叺闹悬c(diǎn)，所以，又三點(diǎn)共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因此的最小值為.故答案為.四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.如圖，分別用弧度制寫出適合下列條件的角的集合．（1）終邊落在射線上；（2）終邊落在直線上；（3）終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）可得出終邊落在射線上的一個(gè)角為，利用終邊相同的角的集合可得出終邊落在射線上的角的集合；（2）可得出終邊落在射線上的一個(gè)角為，利用終邊相同的角的集合可得出終邊落在射線上的角的集合；（3）分別寫出第一象限和第三象限中陰影部分區(qū)域所表示的角的集合，然后將兩個(gè)集合取并集可得出結(jié)果.【小問1詳解】終邊落在射線上的一個(gè)角為，則終邊落在射線上的角的集合為；【小問2詳解】終邊落在射線上的一個(gè)角為，則終邊落在直線上的角的集合為；【小問3詳解】終邊落在第一象限中的陰影部分區(qū)域的角的集合為，終邊落在第三象限中的陰影部分區(qū)域的角的集合為，因此，終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為.16.如圖，這是一個(gè)扇形環(huán)面（由扇形挖去扇形后構(gòu)成）展臺(tái)，米．（1）若，米，求該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長；（2）若該扇形環(huán)面展臺(tái)的周長為米，布置該展臺(tái)的平均費(fèi)用為元/平方米，求布置該扇形環(huán)面展臺(tái)的總費(fèi)用．【正確答案】（1）米（2）元【分析】（1）利用弧長計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）設(shè)，米，利用扇形環(huán)面的展臺(tái)周長，表示出與的關(guān)系，代入面積公式求出扇形環(huán)面展臺(tái)的面積，最后計(jì)算可得.【小問1詳解】弧的長度，弧的長度，所以扇形環(huán)面展臺(tái)周長為：米；【小問2詳解】設(shè)，米，則弧的長度，弧的長度，因?yàn)樵撋刃苇h(huán)面的周長為米，所以，即，整理得，則該扇形環(huán)面展臺(tái)的面積：平方米，所以布置該扇形環(huán)面展臺(tái)的總費(fèi)用為：元.17.設(shè)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的四點(diǎn)，已知點(diǎn).（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若，求的值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）設(shè)，由坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相同可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，由坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相同可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等得到的值.【小問1詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；【小問2詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；【小問3詳解】，所以，因?yàn)?，所以，解得，所?18.如圖，在中，E，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，，G為DF與BE的交點(diǎn)．（1）記向量，，試以向量，為基底表示，；（2）若，求m，n的值；（3）求證：A，G，H三點(diǎn)共線．【正確答案】（1），（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)向量的減法法則結(jié)合題意求解；（2）對(duì)結(jié)合（1）化簡用，表示，而，然后列方程組可求得結(jié)果；（3）設(shè)，，由，，用用，表示，列方程組求出，從而可得，進(jìn)而證得結(jié)論.小問1詳解】因?yàn)樵谥?，E，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，，所以，．【小問2詳解】由（1）知，，所以，因?yàn)?，所以，解得；【小?詳解】，設(shè)，，則，又，所以，解得，所以，∴，∴，即A，G，H三點(diǎn)共線．19.已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，，且，，三點(diǎn)共線.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求的坐標(biāo)，的值；（3）已知，在（2）的條件下，若，，，四點(diǎn)按順時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，