13/133.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算(陳菊仙)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng) 通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，使同學(xué)們理解空間向量的有關(guān)概念，掌握空間向量的加減運(yùn)算法則及運(yùn)算律，能借助圖形理解空間向量加減運(yùn)算及其運(yùn)算律的意義，并通過(guò)空間幾何體加深對(duì)運(yùn)算的理解．（二）學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．理解空間向量的有關(guān)概念． 2．掌握空間向量的加減運(yùn)算法則及運(yùn)算律． 3．培養(yǎng)學(xué)生的類比思想、轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)探究、研討、綜合自學(xué)應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力．（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn) 1．空間向量的有關(guān)概念． 2．空間向量的加減運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則． 3．空間向量的加減運(yùn)算在空間幾何體中的應(yīng)用．（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn) 1．對(duì)空間向量相關(guān)概念的理解及與平面向量的關(guān)系． 2．熟練掌握加減法的運(yùn)算法則．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù) （1）讀一讀：閱讀教材第84頁(yè)至第85頁(yè)，填空： 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量．向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模． 空間向量可以用有向線段來(lái)表示．向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量記作． 我們規(guī)定，長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量．模為1的向量稱為單位向量．與向量為長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．方向相同且模相等的向量稱為相等向量． 空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量． （2）寫一寫：空間向量的加法和減法運(yùn)算的字母表示是什么？ ，．空間向量的加法運(yùn)算滿足的交換律和結(jié)合律是什么？，．2．預(yù)習(xí)自測(cè)（1）以下說(shuō)法正確的是（）A．向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等B．零向量沒(méi)有方向C．若空間向量，滿足，則 D．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等【知識(shí)點(diǎn)】空間向量概念的應(yīng)用．【解題過(guò)程】相反向量長(zhǎng)度相同，A正確；零向量的方向?yàn)槿我夥较?，B錯(cuò)誤；向量相等既要長(zhǎng)度相等，也要方向相同，C錯(cuò)誤；單位向量方向不確定，D錯(cuò)誤．【思路點(diǎn)撥】理解向量的各種概念．【答案】A．（2）向量的化簡(jiǎn)結(jié)果是．【知識(shí)點(diǎn)】空間向量加法的字母運(yùn)算．【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】空間向量加法的字母運(yùn)算的關(guān)鍵是首尾相接．【答案】．（3）向量的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A． B． C． D．【知識(shí)點(diǎn)】空間向量減法的字母運(yùn)算．【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】利用相反向量的概念，將空間向量的加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算．【答案】B．（4）在正方體中，下列選項(xiàng)中化簡(jiǎn)后為零向量的是（）A． B．C． D．【知識(shí)點(diǎn)】在空間幾何體中進(jìn)行空間向量的加法運(yùn)算．【解題過(guò)程】．【思路點(diǎn)撥】利用正方形中的平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行空間向量的加法運(yùn)算．【答案】C．(二)課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧 （1）平面向量的定義及表示方法； （2）平面向量中零向量、單位向量、相反向量、相等向量的概念； （3）平面向量中加減法的平行四邊形法則和三角形法則．2．問(wèn)題探究探究一由平面向量類比空間向量的概念★●活動(dòng)①類比提煉概念在必修四中，我們學(xué)習(xí)了平面向量的一些概念，那么在空間中，空間向量的概念和平面向量有什么異同呢？ 在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量（spacevector）．向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模（modulus）．【設(shè)計(jì)意圖】從平面向量到空間向量，從二維到三維，體會(huì)概念的類比過(guò)程．●活動(dòng)②辨析概念，理解特殊向量在平面向量中，我們是用什么來(lái)表示向量的呢？（搶答）與平面向量一樣，空間向量可以用有向線段來(lái)表示．向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量記作，其模記作或．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)深入類比，學(xué)生的思維逐步過(guò)渡到空間向量上．●活動(dòng)③辨析概念，理解特殊向量與平面向量一樣，空間向量也有一些特殊的向量． 我們規(guī)定，長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量（zerovector），記為．模為1的向量稱為單位向量（unitvector）．與向量為長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．方向相同且模相等的向量稱為相等向量（equalvector）．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)概念辨析，加深對(duì)向量?jī)?nèi)涵與外延的理解，突破重點(diǎn)．探究二探究空間向量的加減法運(yùn)算★●活動(dòng)①平移類比，提煉運(yùn)算法則空間任意兩個(gè)向量一定共面嗎？（搶答）空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．已知空間向量，，我們可以把它們移到同一個(gè)平面內(nèi)，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)，作向量，．類似于平面向量，我們可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算：，．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)平移類比，用平面向量引出空間向量的運(yùn)算法則．●活動(dòng)②鞏固理解，深入探究平面向量的加法有哪些運(yùn)算律呢？空間向量呢？（搶答） 交換律：，結(jié)合律：，空間向量的加法運(yùn)算律和平面向量一致．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)搶答，學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的加法運(yùn)算律的同時(shí)，得到空間向量的加法運(yùn)算律，理解更加深入．探究三探究空間向量的具體應(yīng)用★▲●活動(dòng)①歸納梳理、理解提升通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道了空間向量是平面向量在空間的推廣，各種概念、運(yùn)算和平面向量基本一致．那有哪些內(nèi)容和平面向量是不一樣的呢？（搶答）在空間中，三個(gè)以上的向量進(jìn)行加減法，要考慮三個(gè)向量不共面的情況．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生歸納知識(shí)點(diǎn)和方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)對(duì)比、歸類、整理意識(shí)．●活動(dòng)②互動(dòng)交流、初步實(shí)踐例1已知，為空間向量，以下命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則與的方向不同【知識(shí)點(diǎn)】空間向量大小和方向概念．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過(guò)程】A中，向量相等還需要方向相同，故錯(cuò)誤；B中，向量不能比較大?。籇中，與可能為平行關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】深刻理解向量的定義，既有大小又有方向．【答案】C．同類訓(xùn)練給出以下命題：①若向量是的相反向量，則；②空間向量的減法滿足結(jié)合律；③在正方體中，必有．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的概念．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過(guò)程】由相反向量的定義知①正確；減法不滿足結(jié)合律，②錯(cuò)誤；③中，符合向量相等的定義，正確．【思路點(diǎn)撥】熟悉、理解各種概念．【答案】C．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)概念辨析，學(xué)生對(duì)向量概念理解更加深刻．●活動(dòng)③鞏固基礎(chǔ)、檢查反饋例2在長(zhǎng)方體中，，，，則分別以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）單位向量共有多少個(gè)？（2）模為的向量有哪些？【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的表示法，向量的模．【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想．【解題過(guò)程】（1）∵，∴向量，，，，，，，都是單位向量．（2）∵，∴向量，，，，，，，都是符合題意．【思路點(diǎn)撥】先找出滿足條件的線段．【答案】（1）8個(gè)；（2），，，，，，，.同類訓(xùn)練在長(zhǎng)方體中，，，，則分別以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）與相等的向量有哪些？（2）試寫出向量的相反向量．【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的表示法，相等向量與相反向量．【數(shù)學(xué)思想】分類討論思想．【解題過(guò)程】（1）∵，∴向量，，與相等．（2）同（1）分析，向量，，，是的相反向量．【思路點(diǎn)撥】先找出直線的平行線，再確定方向．【答案】（1），，；（2），，，．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)向量的列舉，使學(xué)生對(duì)向量的各種概念更加熟悉，鞏固基礎(chǔ)．●活動(dòng)④強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例3在平行六面體中，求證：．【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體中向量的加法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】∵平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，∴，，，且，∴．【思路點(diǎn)撥】將坐標(biāo)的向量都用表示出來(lái)，再根據(jù)空間向量的加法法則得到答案．【答案】見(jiàn)解題過(guò)程．同類訓(xùn)練在平行六面體中，試用表示向量．【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體中向量的加法和減法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】．【思路點(diǎn)撥】利用平移使所有向量的起點(diǎn)都為點(diǎn)，從而可使用三角形法則．【答案】．【設(shè)計(jì)意圖】鞏固空間向量的加減法運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量（spacevector）．向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模（modulus）．（2）我們規(guī)定，長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量（zerovector），記為．模為1的向量稱為單位向量（unitvector）．與向量為長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．方向相同且模相等的向量稱為相等向量（equalvector）．（3）已知空間向量，，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)，作向量，．我們可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算：，．空間向量的加法交換律：，結(jié)合律：．重難點(diǎn)歸納（1）空間向量是平面向量在空間中的推廣，是既有大小又有方向的量．要注意零向量，單位向量，相反向量，相等向量的規(guī)定．（2）兩個(gè)空間向量的加減法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律與平面向量類似；三個(gè)以上的空間向量進(jìn)行加減法，要考慮三個(gè)向量不共面的情況．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．下列說(shuō)法正確的是（）A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．若，則與的方向相同或相反D．若與是相反向量，則【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的概念．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過(guò)程】單位向量方向沒(méi)有規(guī)定，A錯(cuò)誤；零向量的相反向量是本身，B錯(cuò)誤；向量的大小和方向沒(méi)有必然聯(lián)系，C錯(cuò)誤．【思路點(diǎn)撥】深刻理解各種概念．【答案】D．2．在三棱柱中，與是________向量，與是________向量【知識(shí)點(diǎn)】相等向量與相反向量．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】∵，且與方向相同，∴與是相等向量，同理，與是相反向量．【思路點(diǎn)撥】熟記相等向量與相反向量的定義．【答案】相等，相反．3． 在空間四邊形中，等于（）A． B． C． D．【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的加減法．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】．【思路點(diǎn)撥】利用加法結(jié)合律和三角形法則．【答案】C．4．在三棱柱中，若，，，則（）A． B． C． D．【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的加減法．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】將一個(gè)向量通過(guò)加法法則拆分成已知向量．【答案】D．5．在長(zhǎng)方體中，（）A． B． C． D．【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的加法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】．【思路點(diǎn)撥】利用圖形和加法結(jié)合律，依次運(yùn)算．【答案】D．6．已知長(zhǎng)方體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式：（1）；（2）．【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體中向量的加減法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】（1）．（2）．【思路點(diǎn)撥】熟練掌握加法的三角形法則．【答案】（1）（2）．能力型師生共研7．在空間四邊形中，________．【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的加減法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過(guò)程】．【思路點(diǎn)撥】利用加法在正方體中的三角形法則．【答案】．8．已知正方體的中心為，則在下列各結(jié)論中，正確的共有（）①與是一對(duì)相反向量；②與是一對(duì)相反向量；③與是一對(duì)相反向量．④與是一對(duì)相反向量；A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】相反向量的定義，向量的加減法．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】畫圖，利用向量的運(yùn)算可知②是相等向量，①③④是相反向量．【思路點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合，利用圖形和平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算．【答案】C．探究型多維突破9．在正方體中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為向量的有（）．①；②；③；④．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體中向量的加法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】①；②；③；④．【思路點(diǎn)撥】利用加法三角形法則和結(jié)合律．【答案】D．10．已知矩形，為平面外一點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，若，，，則________（用，，表示）．【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體中向量的加減運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】．【思路點(diǎn)撥】利用中點(diǎn)性質(zhì)，將向量用已知向量表示．【答案】．自助餐1．下列說(shuō)法正確的是（）A．向量與的長(zhǎng)度相等B．將空間中所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則他們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的概念．【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想．【解題過(guò)程】向量與的長(zhǎng)度都是線段的長(zhǎng)度，A正確；將空間中所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則他們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，B錯(cuò)誤；有向線段只是用來(lái)表示空間向量，兩者并不相同，C錯(cuò)誤；不相等的兩個(gè)空間向量的模可能相等，D錯(cuò)誤．【思路點(diǎn)撥】熟悉空間向量的概念．【答案】A．2．在平行六面體中，試用表示向量．【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體中向量的加法和減法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過(guò)程】．【思路點(diǎn)撥】利用平移使所有向量的起點(diǎn)都為點(diǎn)，從而可使用三角形法則．【答案】．3．在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，，則與的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定【知識(shí)點(diǎn)】向量的加減法，向量的模．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想．【解題過(guò)程】，，由長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度相等，可得．【思路點(diǎn)撥】畫圖，合理運(yùn)算，由長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)可得．【答案】C．4．已知長(zhǎng)方體，________．【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體中向量的加減法運(yùn)算．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思