專題12全等模型之一線三等角（K字）模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】同側(cè)型一線三等角（常見）：銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：+CE=DE證明思路：+任一邊相等例1．（2023·廣西·八年級期中）（1）如圖1，已知中，90°，，直線經(jīng)過點直線，直線，垂足分別為點．求證：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在中，三點都在直線上，并且有．請寫出三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．例2．（2022·黑龍江·九年級期末）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明∶DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．例3．（2022·陜西七年級期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．例4．（2021·山東日照·中考真題）如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當(dāng)為_____時，與全等．例5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，點D在線段上運動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當(dāng)時，_____，_____，_____；點D從B向C運動時，逐漸變_____（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時，，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)，若不可以，請說明理由．模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】異側(cè)型一線三等角：銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：+任意一邊相等證明思路：+任一邊相等例1．（2022春·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E是∠ACB內(nèi)部一點，連接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為點D，E．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）請直接寫出AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系：．例2．（2022·山東·九年級課時練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）例3．（2023·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）過正方形（四邊都相等，四個角都是直角）的頂點作一條直線．

（1）當(dāng)不與正方形任何一邊相交時，過點作于點，過點作于點如圖（1），請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若改變直線的位置，使與邊相交如圖（2），其它條件不變，，，的關(guān)系會發(fā)生變化，請直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明；（3）若繼續(xù)改變直線的位置，使與邊相交如圖（3），其它條件不變，，，的關(guān)系又會發(fā)生變化，請直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明．課后專項訓(xùn)練1．（2023·廣西·八年級假期作業(yè)）如圖，，，于點E，于點D，，，則的長是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點A，過點B作于點E，過點C作于點F．若，則__________．

4．（2023·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD上的點，DE=AF．（1）求證：△ADF≌△DCE；（2）求證：AF⊥DE．5．（2023·山東八年級課時練習(xí)）在綜合實踐課上，李老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學(xué)們開展數(shù)學(xué)活動．已知，在等腰紙片中，，，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺（，）按如圖所示放置，頂點在線段上滑動（點不與，重合），三角尺的直角邊始終經(jīng)過點，并與的夾角，斜邊交于點．（1）當(dāng)時，______°；（2）當(dāng)?shù)扔诤沃禃r，？請說明理由；（3）在點的滑動過程中，存在是等腰三角形嗎？若存在，請求出夾角的大?。蝗舨淮嬖?，請說明理由．6．（2023春·上海·七年級專題練習(xí)）（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，點A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．7．（2023·上海浦東新·八年級校考期中）在中，，，點在直線上（，除外），的垂線與的垂線交于點，研究和的數(shù)量關(guān)系.（1）在探究，的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點是的中點時，只需要取邊的中點（如圖），通過推理證明就可以得到的數(shù)量關(guān)系，請你按照這種思路直接寫出和的數(shù)量關(guān)系：_______________。（2）當(dāng)點是線段上（，除外）任意一點（其它條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？證明你的結(jié)論；（3）點在線段的延長線上，上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？在下圖中畫出圖形，并證明你的結(jié)論.8．（2022·河北保定·模擬預(yù)測）如圖，桌面上豎直放置著一個等腰直角三角板，若測得斜邊的兩端點到桌面的距離分別為，．（1）求證：；（2）若，，求的長．9．（2022秋·綿陽市八年級課時練習(xí)）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，點D，E分別在AB，BC上，且∠CDE＝90°．當(dāng)BE＝2AD時，圖1中是否存在與CD相等的線段？若存在，請找出并加以證明，若不存在，說明理由．小明通過探究發(fā)現(xiàn)，過點E作AB的垂線EF，垂足為F，能得到一對全等三角形（如圖2），從而將解決問題．請回答：（1）小明發(fā)現(xiàn)的與CD相等的線段是．（2）證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．10．（2023·浙江·九年級期末）如圖，已知和均是直角三角形，，，于點．（1）求證：≌；（2）若點是的中點，，求的長．11．（2023·廣東廣州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：CD是經(jīng)過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進行證明．12．（2023春·陜西西安·七年級校聯(lián)考期末）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．13．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當(dāng)點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．14．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根據(jù)以下問題，把你的感知填寫出來：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點B在直線l上，分別過點A、C作于E，于F．若，，則的長為________．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，點A的坐標(biāo)為，則點C的坐標(biāo)為________．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長．15．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．16．（2022秋·八年級課時練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面