第頁，共頁歷城一中高64級高一下學(xué)期第一次階段性測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.17 B.16.5 C.16 D.15.5【答案】B【解析】【分析】由給定的平均數(shù)求出，再由第60百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】由數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16，得，解得，由，得數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故選：B2.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A.－1 B.－i C.i D.1【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，則，所以.故選：C.3.如圖所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算的幾何意義即可計(jì)算【詳解】.故選：B4.已知非零向量，滿足，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，由知.故選：D5.已知在△ABC中，，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意判斷出三角形有兩解時(shí)，滿足不等關(guān)系求解即可．【詳解】因?yàn)?，要使三角形有兩解，就是要使以C為圓心，半徑為2的圓與BA有兩個(gè)交點(diǎn)，所以只需滿足，即，解得.故選：C6.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】用正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡變形可得．【詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．7.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi)，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國現(xiàn)存最早的磚塔.如圖，為測量塔的總高度，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t塔的總高度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，在中，根據(jù)正切用表示，中，正弦定理建立與的等量關(guān)系，可求解，從而確定選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，在中，，在中由正弦定理＝，即，解得.故選：B.8.中，，，是外接圓圓心，是的最大值為（）A.1 B. C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】先利用正余弦定理和向量的數(shù)量積求得的代數(shù)式，進(jìn)而求得其最大值.【詳解】過點(diǎn)作、，垂足分別為、，如圖，因?yàn)槭峭饨訄A圓心，則、分別為、的中點(diǎn)，在中，，所以，即，即，，同理，則，由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最大值為.故選：C.二、多選題9.某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，為獲得該校學(xué)生的身高（單位：cm）信息，按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為50的樣本.經(jīng)計(jì)算得到樣本中男生身高的平均數(shù)為170，方差為17；女生身高的平均數(shù)力160，方差30.下列說法中正確的是（）A.樣本中男生的人數(shù)為30B.每個(gè)女生入樣的概率均為C.樣本的平均數(shù)為166D.樣本的方差為22.2【答案】AC【解析】【分析】由分層抽樣可判斷A；計(jì)算女生入樣的概率可判斷B；計(jì)算樣本的均值可判斷C；計(jì)算樣本的方差可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項(xiàng)A正確；對于B：每個(gè)女生入樣的概率等于抽樣比，故選項(xiàng)B不正確；對于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有樣本均值為：，故選項(xiàng)C正確；對于D：設(shè)男生分別為，，，，平均數(shù)，，女生分別為，，，，平均數(shù)，，樣本的平均數(shù)為，方差為，因?yàn)?，而，所以，同理可得，所以，故選項(xiàng)D不正確；故選：AC10.設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若是純虛數(shù)，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A代入即可判斷正誤，對于B取特殊值驗(yàn)證即可，對于C設(shè)，求得即可判斷正誤，對于D設(shè)，代入驗(yàn)證即可求得.【詳解】對于A選項(xiàng)，，則，故A正確；對于B選項(xiàng)，取，，則，但且，所以B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，設(shè)，則，所以，C正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)，則由得，又，，故成立，D正確．故選：ACD．11.對于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.向量與共線D.過點(diǎn)直線分別與、交于、兩點(diǎn)，若，，則【答案】BCD【解析】【分析】A：由外心的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義判斷；B：根據(jù)的幾何意義即可判斷正誤；C：應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義化簡，再根據(jù)判斷正誤；D：根據(jù)平面向量基本定理可得，再由三點(diǎn)共線即可證.【詳解】A：為外心，則，僅當(dāng)時(shí)才有，錯(cuò)誤；B：由，又，故，正確；C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；D：，又三點(diǎn)共線，則，故，正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：綜合應(yīng)用外心、垂心、重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律、幾何含義以及平面向量基本定理判斷各選項(xiàng)正誤.三、填空題12.將容量為的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖.若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為，且后三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于66，則__________.【答案】120【解析】【分析】運(yùn)用頻率的概念結(jié)合條件列式子即得.【詳解】根據(jù)題意，頻率＝頻數(shù)比總數(shù)，知道頻率之比為頻數(shù)之比，后三組頻數(shù)之比.頻數(shù)分別設(shè)為，則總數(shù)為，則，解得，則.故答案為：120.13.在中，角所對的邊分別為，且.若，則周長的最大值為______.【答案】21【解析】【分析】將已知等式利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，化簡后求得，由余弦定理結(jié)合基本不等式，可求得，即可得出三角形周長最大值.【詳解】解：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以，得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，所以周長的最大值為21.故答案為：21.14.在中，，為的中點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，且，則______．【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，從而可得為中點(diǎn)，，再根據(jù)，可得，再由余弦定理及數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，如圖所示：則有，又因?yàn)?，所以，所以∥，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，平方，得，即，解得，在中，由余弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得：，將兩邊平方，得，所以.故答案為：四、解答題15.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）．（1）求m的值；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，再利用復(fù)數(shù)的乘法化簡復(fù)數(shù)，由已知條件可求得實(shí)數(shù)m的值.（2）利用復(fù)數(shù)的除法求，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【小問1詳解】復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)），則，解得．【小問2詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．16.在2025年八省聯(lián)考結(jié)束后，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出圖中a的值并估計(jì)本次考試及格率（“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占比例）；（2）估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù)；（3）估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、平均數(shù).【答案】（1），（2）120分（3）眾數(shù)估計(jì)值為100分，平均數(shù)估計(jì)值為分【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程，求得，進(jìn)而得到及格率；（2）分別求得在110以下和130以下的學(xué)生所在比例，結(jié)合百分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，即可求解；（3）結(jié)合頻率分布直方圖的眾數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.所以及格率為.【小問2詳解】得分在110分以下的學(xué)生所占比例為，得分在130分以下的學(xué)生所占比例為，所以第80百分位數(shù)位于內(nèi)，由，估計(jì)第80百分位數(shù)為120分.【小問3詳解】由圖可得，眾數(shù)估計(jì)值為100分.平均數(shù)估計(jì)值為（分）.17.已知的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，的面積為，.（1）求的值；（2）若，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據(jù)余弦定理角化邊得，進(jìn)而可求；（2）由面積公式可得，由正弦定理角化邊得，代入，從而可求，進(jìn)而可求，從而可求.【小問1詳解】根據(jù)余弦定理可得，，則，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又的面積為，所以，即，因?yàn)?，結(jié)合正弦定理可得，又，所以，解得，所以，所以，即，所以的周長為.18.如圖，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn).（1）求；（2）連接，交于點(diǎn)，求；（3）若，，，…，為邊上的等分點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）建立合適的直角坐標(biāo)系，再求出相關(guān)向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可；（2）設(shè)，，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得到方程組，解出，最后利用向量模坐標(biāo)公式即可；（3）首先證明，最后轉(zhuǎn)化為求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，所以.【小問2詳解】設(shè)，，，所以，所以，所以，解得，所以.【小問3詳解】在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槭沁叺?01等分點(diǎn)，，所以，所以由（2）得，所以，所以.19.在中，對應(yīng)的邊分別為.（1）求；（2）奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.①用向量證明二維柯西不等式：；②已知三維分式型柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.若是內(nèi)一點(diǎn)，過作的垂線，垂足分別為，求的最小值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，利用三角恒等式化簡即可求值；（2）①利用數(shù)量積的定義，得到，再利用數(shù)量積和模的坐標(biāo)表示，即可證明結(jié)果；②根據(jù)條件及三角形面積公式，利用，得到，結(jié)合余弦定理，令，得到，再求出的范圍，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】在中，，由正弦定理得，，