專題03三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字

模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、“8”字模型

圖1圖2

8字模型（基礎(chǔ)型）

條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①ABCD；②ABCDADBC。

8字模型（加角平分線）

條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D

例1．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且A，B，

E保持不變．為了舒適，需調(diào)整D的大小，使EFD110，則圖中D應(yīng)（填“增加”或“減

少”）度．

【答案】減少10

【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可

判斷．

【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，

如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，

∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，

要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由

∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，

因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識；解決本題的

關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含

了數(shù)形結(jié)合的思想方法．

例2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．

【答案】540°

【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，

∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案．

【詳解】解：如圖所示：

由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）

×180°＝3×180°＝540°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，利用三角形外角和的性質(zhì)將

所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵

例3．（2023·山東德州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，已知線段AB,CD相交于點(diǎn)O，連接AC,BD，則我們

把形如這樣的圖形稱為“8字型”．

(1)求證：ACBD；

(2)如圖2，若CAB和BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，且與CD,AB分別相交于點(diǎn)M、N．

①若B100,C120，求P的度數(shù)；

11

②若角平分線中角的關(guān)系改為“CAPCAB,CDPCDB”，試探究P與B,C之間的數(shù)量關(guān)系．

33

1

【答案】(1)見解析(2)①110；②PB2C

3

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可證明；

（2）①根據(jù)角平分線的定義得到CAPBAP，BDPCDP，再根據(jù)“8字形”得到

CAPCCDPP,BAPPBDPB，兩等式相減得到CPPB，即

1112

PBC，即可求解．②根據(jù)CAPCAB,CDPCDB，可得BAPBAC，

2333

2

BDPBDC，再由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，可得2CPPB，即可求解．

3

【詳解】（1）證明：在AOC中，AC180AOC，

在BOD中，BD180BOD，

∵AOCBOD，∴ACBD；

（2）解：①∵CAB和BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，∴CAPBAP,BDPCDP，

∵CAPCCDPP①，BAPPBDPB②，

1

由①②，得：CPPB，即PCB，

2

1

∵B100,C120，∴P100120110；

2

1122

②∵CAPCAB,CDPCDB，∴BAPBAC，BDPBDC，

3333

∵CAPCCDPP，BAPPBDPB，

111222

∴CPBDCBACBDCBAC，PBBDCBACBDCBAC，

333333

11

∴2CPPB，∴PB2C），故答案為：PB2C．

33

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關(guān)角平分線的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用“8字形”求解．

例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．

(1)如圖1，線段AD，BC交于點(diǎn)E，連接AB，CD，判斷ADBC與ABCD的大小關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2，OC平分AOB，P為OC上任意一點(diǎn)，在OA，OB上截取OEOF，連接PE，PF．求證：PEPF；

(3)如圖3，在ABC中，ABAC，P為角平分線AD上異于端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，求證：PBPCBDCD．

【答案】(1)ADBCABCD；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解

【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，AEBEAB，CEEDCD，兩式相加即可得出結(jié)

論；（2）根據(jù)SAS證△OEP≌△OFP即可得出結(jié)論；

（3）在AB上取一點(diǎn)E，使AEAC，連接DE交BP于點(diǎn)F，證APE≌APC，即PCPE，同理證CDDE，

然后同理（1）得PBCDPCBD，變形不等式即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）解：ADBCABCD，理由如下：

AEBEAB，CEEDCD，

AEBECEEDABCD，即ADBCABCD；

（2）證明：OC平分AOB，EOPFOP，

OEOF

在OEP和△OFP中，EOPFOP，OEP≌OFPSAS，PEPF；

OPOP

（3）證明：在AB上取一點(diǎn)E，使AEAC，連接DE交BP于點(diǎn)F，

AD是BAC的角平分線，EAPCAP，

AEAC

在VAPE和△APC中，EAPCAP，APE≌APCSAS，PEPC，同理可證DEDC，

APAP

EFPFEP，BFFDBD，EFPFBFFDEPBD，即PBDEEPBD，

PBCDPCBD，PBPCBDCD．

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是

解題的關(guān)鍵．

例5．（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個(gè)或幾個(gè)定理，或者能

夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形．這些圖形以基本概念、基本事實(shí)、定理、常用的數(shù)學(xué)結(jié)論和基本規(guī)律為

基礎(chǔ)，圖形簡單又具有代表性．在幾何問題中，熟練把握和靈活構(gòu)造基本圖形，能更好地幫助我們解決問

題．我們將圖1①所示的圖形稱為“8字形”．在這個(gè)“8字形”中，存在結(jié)論ABCD．

我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”．在這個(gè)“飛鏢形”中，存在結(jié)論AOCACP．

(1)直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問題：

1

如圖2，AP、CP分別平分BAD、BCD，說明：PBD．

2

(2)將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結(jié)論解決下列問題：

①如圖3，直線AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，若B30，D20，求

P的度數(shù)．②在圖4中，AP平分BAD的外角FAD，CP平分BCD的外角BCE，猜想P與B、

D的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．③在圖5中，AP平分BAD，CP平分BCD的外角BCE，

猜想P與B、D的關(guān)系（直接寫出結(jié)果，無需說明理由）．

11

【答案】(1)見解析(2)①25；②P180BD；③P90+BD

22

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得12，34，再根據(jù)題干的結(jié)論列出

P32ABC，P14ADC，相加得到2P2314ABCADC，繼而

得到2PABCADC，即可證明結(jié)論；

1

（2）①如圖所示，分作BAD，BCD的角平分線交于H，根據(jù)（1）的結(jié)論得到HBD25，

2

再由角平分線的定義和平角的定義證明PCH90，PAH90，再根據(jù)題干的結(jié)論可推出

∠P∠H25；②如圖所示，分作BAD，BCD的角平分線交于H，由（1）的結(jié)論可知

1

HBD，，同理可得PCH90，PAH90，則由四邊形內(nèi)角和定理可得

2

1

P180BD；③由題干的結(jié)論可得∠P∠B∠BAP∠BCP，由角平分線的定義得到

2

111

∠BAP∠BAO，∠BCP∠BCE，再求出∠BCP90∠BCD，由題干的結(jié)論可知

222

1

∠B∠BAO∠D∠BCD，由此可得∠P∠B∠BAP∠BCP90∠B∠D．

2

【詳解】（1）解：∵AP、CP分別平分BAD、BCD，

∴12，34，∴2314，

由題干的結(jié)論得：P32ABC，∠P14ADC，

∴2P1324ABCADC，∴2PABCADC，

11

∴PABCADC，即PBD；

22

（2）解：①如圖所示，分作BAD，BCD的角平分線交于H，

1

由（1）的結(jié)論可知HBD25，

2

11

∵PC，HC分別平分∠BCE，∠BCD，∴∠BCP∠BCE，∠BCH∠BCD，

22

11

∵BCDBCE180∴∠BCP∠BCH∠BCD∠BCE90，

22

∴PCH90，同理可得PAH90，由題干的結(jié)論可得∠P∠PAH∠H∠PCH，

∴∠P∠H25；

②如圖所示，分作BAD，BCD的角平分線交于H，

1

由（1）的結(jié)論可知HBD，，同理可得PCH90，PAH90，

2

1

∴∠P360∠PAH∠PCH∠H180∠B∠D；

2

③由題干的結(jié)論可得∠P∠B∠BAP∠BCP，

∵AP平分BAD，CP平分BCD的外角BCE，

11

∴∠BAP∠BAO，∠BCP∠BCE，

22

1

∵∠BCE180∠BCD，∴∠BCP90∠BCD，

2

由題干的結(jié)論可知∠B∠BAO∠D∠BCD，∴∠BAO∠D∠BCD∠B，

11

∴∠P∠B∠BAP∠BCP∠B∠BAO90∠BCD

22

11111

∠B∠D∠BCD∠B90∠BCD90∠B∠D．

22222

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確識圖并運(yùn)用好“8”字

形的結(jié)論，然后列出兩個(gè)等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．

模型2、“A”字模型

結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。

例1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若1120，那么32的度數(shù)

為．

【答案】60

【分析】根據(jù)平角的定義求出4，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．

【詳解】解：如圖

14180，1120，460，

QD3=D2+D4，32460，故答案為：60．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基

例2．（2023·綿陽市·八年級假期作業(yè)）如圖，ABC中，A65，直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，

則BDECED（）．

A．180B．215C．235D．245

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ADEAED，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可．

【詳解】解：A65，ADEAED18065115，

BDECED360115245，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180是解題的關(guān)鍵．

例3．（2022·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，△ABC∽△ADE，若A60,ABC45，那么E（）

A．75B．105C．60D．45

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．

【詳解】解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC＝∠D＝45°，

∵∠A＝60°，∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°.故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．

例4．（2023秋·廣西·八年級專題練習(xí)）如圖所示，DAE的兩邊上各有一點(diǎn)B,C，連接BC，求證

DBCECB180A．

【答案】見解析

【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明即可．

【詳解】解：DBC和ECB是ABC的外角，DBCAACB,ECBAABC．

又AABCACB180，DBCECBAACBABCA180A．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．

例5．（2023·廣東八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在ABC中，A40，現(xiàn)將一塊直角三角板放在ABC上，

使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)B,C，直角頂點(diǎn)D落在ABC的內(nèi)部，則∠ABD∠ACD（）．

A．90B．60C．50D．40

【答案】C

【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明

∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．

【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°

∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD∠ACD40°-90°=50°故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．

例6．（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖1，ABC為直角三角形，A90，若沿圖中虛線

剪去A，則12__________；

（2）如圖2，在ABC中，A40，剪去A后成為四邊形，則12__________；

（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請歸納12與A的關(guān)系是______________；

（4）若沒有剪去A，而是將A折成如圖3的形狀，試探究12與A的關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）270；（2）220；（3）12180A；（4）122A，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180，三角形的外角和定理，則1AAFE，2AAEF，

AFEAEF90，即可；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180，三角形的外角和定理，則1AEFA，2AFEA，

AFEAEF140，即可；

（3）根據(jù)（1）和（2）可知，122AAFEAEF，根據(jù)AAFEAEF180，即可；

（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，則AFE≌PFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，則

12AFE180，22AEF180，AAFEAEF180，再根據(jù)等量代換，即可．

【詳解】（1）ABC為直角三角形，A90，∴AFEAEF90，

∵1AAFE，2AAEF，∴122AAFEAEF，

∴1229090270，故答案為：270．

（2）∵A40，∴AFEAEF140，

∵1AEFA，2AFEA，∴122AAFEAEF，

∴12240140220，故答案為：220．

（3）由（1）和（2）得，122AAFEAEF，

∵AAFEAEF180，∴12AAAFEAEF，∴12A180．

（4）122A，理由見下：由題意得，AFE≌PFE，∴AFEPFE，AEFPEF，

∴12AFE180，22AEF180，∴122AFEAEF360，

∵AAFEAEF180，∴AFEAEF180A，

∴122180A360，∴122A0，∴122A．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和三角形的外角

和定理．

例7．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．

幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；

應(yīng)用上面模型解決問題：

(1)如圖（2），“五角星”形，求A1A2A3A4A5？

分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是A2DA5A1A3A4，所以A1A2A3A4A5=；

(2)如圖（3），“七角星”形，求A1A2A3A4A5A6A7；

(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得：A1A2A3A4A5A6A7A8=；

【答案】(1)180°(2)180°(3)360°

【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案．

（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把8個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)四邊形中可得答案．

【詳解】（1）解：如圖，

由三角形外角的性質(zhì)可得，1A1A4，∵A2DA51A3，∴A2DA5A1A4A3，

∵A2DA5A2A5180，∴A1A2A3A4A5180，故答案為：180°；

（2）如圖，由（1）得，1A1A4A5，2A2A3A6，

∵12A7180，∴A1A2A3A4A5A6A7180．

（3）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，3A1A4，2A2A5，1A3A6，3A74

124A8360A1A2A3A4A5A6A7A8360，故答案為：360°．

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．

模型3、三角板模型

【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個(gè)圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀?/p>

圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，

例1．（2023·山西呂梁·聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖：Rt△ABC和RtVDCE是兩塊直角三角尺，兩直角三角尺的斜

邊AB、DE在同一直線上，其中ACBDCE90，CAB30，CED45，則ACD的度數(shù)為（）

A．10B．15C．20D．30

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：∵由題意得CAB30，CDECED45，

∴ACDCDECAB453015，故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一

個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和．

例2．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中ABCD90，A60，

DCB45，若AC，BD相交于點(diǎn)E，則AED的大小為（）

A．110B．105C．95D．75

【答案】B

【分析】在BEC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出BEC的度數(shù)，再結(jié)合對頂角相等，即可得出AED

的度數(shù)．

【詳解】解：在BEC中，EBC45，ECB30，

∴BEC180EBCECB1804530105，∴AEDBEC105．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及對頂角，牢記“三角形內(nèi)角和是180”及“對頂角相等”是解題的關(guān)鍵．

例3.（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)C在FD的延長線上，點(diǎn)C、

F分別為直角頂點(diǎn)，且A60，E45，若ABCF，則CBD的度數(shù)是（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

【答案】A

【分析】由ABCF，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可求出BCD30，再利用三角形的外角性質(zhì)，即

可求出CBD的度數(shù)．

【詳解】解：∵ABCF，∴BCDABC30．

∵BDF是△BCD的外角，∴CBDEDFBCD453015．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)

內(nèi)角的和”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．

例3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含45角的直角三角板的直角頂點(diǎn)在另一

個(gè)三角板的斜邊上，若118，則2的度數(shù)是（）

A．18B．23C．28D．33

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：如圖，由題意得：A45，B30，

118，31A63，23B33．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．

例4．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期中）如圖，GA∥FD，一副直角三角板ABC和DEF如圖擺放，

EDF60，BAC45，若BC∥DE，則下列結(jié)論：①GAB30；②AB∥EF；③AED120；

④EC平分DEF，正確的有．（填序號）

【答案】①②④

【分析】如圖，由題意得：BDEF90,1BAC45，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出

3EDF60,2145，進(jìn)而可求出AED,FEC，即可判斷③④；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、

平行線的性質(zhì)和角的和差求出GAB30，即可判斷①；求出BEHC90，進(jìn)而可判斷②．

【詳解】解：如圖，由題意得：BDEF90,1BAC45，∵EDF60，∴DFE30，

∵BC∥DE，∴3EDF60,2145，

∴DCE180604575，AED1802135，故結(jié)論③錯(cuò)誤；

∵FEC90CED45，∴FECCED45，∴EC平分DEF，故結(jié)論④正確；

∵GA∥FD，∴GACDCE75，∴GABGACBAC754530，故結(jié)論①正確；

∵EHC3DFE90，∴BEHC，∴AB∥EF，故結(jié)論②正確；故答案為：①②④．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握

三角形的相關(guān)知識和平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例5．（2023春·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，CDFE90，B30，E45，

點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)A在DF上，且AF平分CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點(diǎn)F以每秒5的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)

點(diǎn)D落在射線FB上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．

(1)當(dāng)t______秒時(shí)，DE∥AB；當(dāng)t______秒時(shí)，DEAB；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與AB的交點(diǎn)記為P，如圖2，若AFP有兩個(gè)內(nèi)角相等，求t的值；

(3)當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N時(shí)，如圖3，連接AE，設(shè)BAEx，AEDy，DFBz，

試問xyz是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

【答案】(1)3；21(2)當(dāng)t為6或15或24時(shí)，AFP有兩個(gè)內(nèi)角相等

(3)是定值，xyz105，理由見解析

【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間；

（2）畫出圖形，分類討論，①PAFPFA；②PAFAPF；③PFAAPF，求出旋轉(zhuǎn)角，再求

出t值；（3）找出與BAE，AED，DFB，有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論．

【詳解】（1）如圖，當(dāng)DE∥AB時(shí)，EDFBPF45

AF平分BAC，BAC60，BAF30，

15

又BPF為APF的一個(gè)外角，PFABPFBAF453015，t3；

5

如圖，當(dāng)DEAB時(shí)，DPB180904545，APFDPB45，

105

BAF30，AFP180APFBAF1804530105，t21．故答案為：3；21．

5

（2）①如圖，當(dāng)PAFPFA時(shí)，

PAF30，PFA30，t6；

②如圖，當(dāng)PFAAPF時(shí)，PAF30，PAFPFAAPF180，

1

AFP(18030)75，t15；

2

③如圖，當(dāng)PAFAPF時(shí)，AFP180PAFAPF1803030120，t24，

綜上所述：當(dāng)t為6或15或24時(shí)，AFP有兩個(gè)內(nèi)角相等．

（3）xyz是為定值105，理由如下：

BMN是△AME的一個(gè)外角，MNB是△DFN的一個(gè)外角，

BMNBAEAEDxy，MNBDFBDz45，

又BMNMNBB180，B30，xyz4530180，

xyz105，xyz105．

【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)間為背景，考查了學(xué)生對圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求

等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關(guān)鍵，第（3）問找到三個(gè)角之間的關(guān)系

是關(guān)鍵．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1．（2023·廣東江門·八年級?？计谥校┤缦聢D，123456的度數(shù)為（）

A．540°B．500°C．460°D．420°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得12140，根據(jù)平角的定義和四邊形內(nèi)角和可得

3412140，同理可得5634140，據(jù)此即可求解．

【詳解】解：如圖所示，

∵A40，∴1218040140，

∵17180，28180，∴1278360

∵7834360∴3412140，

同理可得：5634140，∴1234561403420，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟知四邊形內(nèi)角和等于360是解題的關(guān)鍵．

2．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，C90，若沿圖中虛線剪去C，則

1+2等于（）

A．90B．135C．270D．315

【答案】C

【分析】運(yùn)用內(nèi)外角之間的關(guān)系可得1+2=270．

【詳解】解：∵三角形的內(nèi)角和等于180，∴可得1和2的鄰補(bǔ)角之和等于90，

∴1+2=2180-90=270，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系，三角形的內(nèi)角和等于180,解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握

這些知識點(diǎn)．

3．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板

的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為()

A．60°B．50°C．40°D．30°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，進(jìn)而可求出∠ABD＋

∠ACD的度數(shù)．

【詳解】解：在ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，

在DBC中，∠△BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，

∴∠△ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°，此題難度不大．

4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在Rt△ABC中，C90，若沿圖中虛線剪去C，則12

的度數(shù)是（）．

A．270B．240C．180D．90

【答案】A

【分析】利用四邊形內(nèi)角和為360和直角三角形的性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：∵在Rt△ABC中，C90，∴A+B90，

∵12AB360，∴12360AB270故選：A．

【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，解題關(guān)鍵在于根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360和直角

三角形的性質(zhì)求解．

5．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中A90，B45，

C30則DE等于（）

A．80B．75C．70D．65

【答案】B

【分析】利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角之和求出D1=DA+DB=135°，D2=DD+DE，

由C30，求出318030150，再由外角和是360即可求出答案．

【詳解】解：如圖，A90，B45，\D1=DA+DB=135°，

C30，318030150，

D1+D2+D3=360°，\D2=360°-285°=75°，

D2=DD+DE，\DD+DE=75°．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)定理、多邊形外角和定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．

6．（2023秋·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，D28，

則ABCF的度數(shù)為（）．

A．262B．152C．208D．236

【答案】C

【分析】如圖標(biāo)記行1,2,3，然后利用三角形的外角性質(zhì)得1BFD3，2AC，再

利用2,3互為鄰補(bǔ)角，即可得答案．

【詳解】解：如下圖標(biāo)記行1,2,3，1BFD3，

D28，3BF28，又2AC，23ACBF28，

23180180ACBF28，ACBF18028208，故選C．

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角

的意義是解答此題的關(guān)鍵．

7．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）一副三角板如圖所示放置，則1的度數(shù)為（）

A．15B．20C．25D．30

【答案】A

【分析】由外角定理知，213，將已知角代入求解即可．

【詳解】解：如圖，260，345，∵213，∴D1=D2-D3=60°-45°=15°，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角定理，觀察圖形，由角的位置關(guān)系導(dǎo)出角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

8．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀⒁粋€(gè)直角三角板ABC與一個(gè)直尺按如圖所示的方式擺放，若

DE∥BF，C30，AFB70，則CDE的度數(shù)為（）

A．20B．25C．30D．40

【答案】D

【分析】根據(jù)AFB70，得到CFBCED110，結(jié)合C30得到CDE得度數(shù)．

【詳解】∵AFB70，DE∥BF，∴CFBCED18070110，

∵C30，∴CDE1801103040，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，補(bǔ)角，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

9（2022春·廣東揭陽·八年級?？计谀┨剿鳉w納：

（1）如圖1，已知ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．

（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．

（3）如圖2，根據(jù)（△1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是．

【答案】270°/270度220°/220度180°+∠A

【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；

（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；

（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果．

【詳解】解：（1）∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°，

∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案為：270°；

（2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A=180°+40°=220°，故答案是：220°；

（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2=180°+∠A；

證明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案為：180°+∠A．

【點(diǎn)睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理．熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)

角和定理是解題的關(guān)鍵．

10．（2022·安徽·八年級校考期中）如圖，若CGE125，則ABCDEF．

【答案】250/250度

【分析】按圖先進(jìn)行標(biāo)注，根據(jù)外角性質(zhì)分別表示出EMGDC，HGNCDE，

AHGB55，ANG55F，再根據(jù)AAHGHGNANG360，進(jìn)行求解即可得出最

后結(jié)果．

【詳解】解：如圖，進(jìn)行標(biāo)注，

EMG是△MDC的一個(gè)外角，EMGDC，

HGN是MEG的一個(gè)外角，HGNEEMG，即HGNCDE，

AHG是BHG的一個(gè)外角，AHGBBGH，

BGH180CGE18012555，AHGB55

ANG是VNGF的一個(gè)外角，ANGNGFF180125F55F，

AAHGHGNANG360AB55CDEF55360

ABCDEF3605555250，故答案為：250．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，圓周角及鄰補(bǔ)角的應(yīng)用，熟練掌握外角性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

11．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知160，CDEFAB．

【答案】240/240度

【分析】由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．

【詳解】連接CG，ABACGBGC，

∴ABACFFACGBGCACFFACGACFBGCF

180FGB1801120

又DE1801120，∴ACFDEFAB1202240．故答案為：240．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、對頂角相等以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形的外角性質(zhì)

以及三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．

12．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，其中

ACB30，∠DAE45，BACD90．固定三角板ABC，將三角板ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角CAE(0180)．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為度時(shí)，AD∥BC；當(dāng)為度時(shí)，ADBC．

(2)當(dāng)045時(shí)，連接BD，利用圖3探究BDECAEDBC值的大小變化情況，并說明理由．

【答案】(1)15，105(2)不變，理由見解析

【分析】（1）如圖1，記DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F，DE與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，由AD∥BC，可得

DAFC30，再利用角的和差關(guān)系可得答案；如圖2，記AD與BC的交點(diǎn)為F，求解

DAC180AFCC180903060，由角的和差關(guān)系可得答案；

（2）如圖3，設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，在AMN中，可得AMNCAEANM180，結(jié)

合ANMEBDE，AMNCDBC，從而可得答案．

【詳解】（1）解：如圖1，記DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F，DE與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，

AD∥BC，DAFC30，DAE45，CAE15，即15，

如圖2，記AD與BC的交點(diǎn)為F，

ADBC，AFC90，DAC180AFCC180903060，

CAEDACEAD6045105，即105，

（2）當(dāng)045，BDECAEDBC105，保持不變，理由如下：

如圖3，設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，在AMN中，AMNCAEANM180，

ANMEBDE，AMNCDBC，EBDECAECDBC180

C30，E45，BDECAEDBC105．

【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練的利

用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．

13．（2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學(xué)研究的樂趣．他

用一副三角板拼成了如下兩幅圖．(1)圖1中，F(xiàn)BA的度數(shù)是______．(2)①求圖1中EBC的度數(shù)；②圖

2中，AE∥BC，求EFC的度數(shù)．

【答案】(1)15(2)①105；②75

【分析】（1）由三角板可知BAD45，F(xiàn)30，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；

（2）①由三角板可知BAD45，ACB60，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可；

②由三角板可知C30，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出EAF的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．

【詳解】（1）解：∵BAD45，F(xiàn)30，

∴FBABADF453015，故答案為：15；

（2）解：①∵BAD45，ACB60，∴EBCBADACB4560105；

②∵C30，AE∥BC，∴EAFC30，

又∵E45，∴EFCEAFE304575．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和是解題的關(guān)鍵．

14．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板(足夠大)，其中，把

直角三角板放置在銳角ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C．

(1)若A40，則ABCACB______，DBCDCB______，∠ABD∠ACD______．

(2)若A55，則∠ABD∠ACD______．（寫出求解過程）

(3)請你猜想一下ABDACD與A所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】(1)140，90，50；(2)35，過程見解析；(3)ABDACD90A，理由見解析．

【分析】（1）在ABC中，由A40和三角形內(nèi)角和定理求得ABCACB140，在△DBC中，由

BDC=90及三角形內(nèi)角和定理求得DBCDCB90，即可求得ABDACD1409050；

（2）按照（1）的過程即可得到答案；

（3）在ABC中，ABCACB180A．在△DBC中，DBCDCB90，利用

ABCACB(DBCDCB)180A9090A，即可得到答案．

【詳解】（1）在ABC中，A40，ABCACB18040140，

在△DBC中，BDC=90，DBCDCB1809090，

ABDACD(ABCACB)(DBCDCB)1409050；故答案為：140，90，50．

（2）在ABC中，A55，ABCACB18055125，

在△DBC中，BDC=90，DBCDCB1809090，

ABDACD1259035，故答案為：35；

（3）ABDACD與A之間的數(shù)量關(guān)系為：ABDACD90A．

理由如下：在ABC中，ABCACB180A．在△DBC中，DBCDCB90．

ABCACB(DBCDCB)180A9090A，ABDACD90A．

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．

15．（2023·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）結(jié)論：直角三角形中，30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.

如圖①，我們用幾何語言表示如下：

1

∵在ABC中，C90，A30，∴BCAB.

2

你可以利用以上這一結(jié)論解決以下問題：

如圖②，在ABC中，BAC60，AC8，AB5，BC7，

（1）求ABC的面積；（2）如圖③，射線AM平分BAC，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著

射線AM的方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P分別作PEAC于E，PFAB于F，PGBC于G.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

當(dāng)PEPFPG時(shí)，求t的值.

20

【答案】（1）SABC103；（2）t23或t3

3

【分析】（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則∠CAH=90°，即可求出∠ACH=30°，求出AH，根據(jù)勾股定理即可

求解；（2）分兩種情況討論①當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)部時(shí)②當(dāng)點(diǎn)P在ABC外部時(shí)，連結(jié)PB、PC，利用面積法

進(jìn)行求解即可.△△

【詳解】（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則∠CAH=90°，如圖②

1

∵BAC60∴∠ACH=30°∴AHAC4

2

22