專題04三角形中的倒角模型-高分線模型、雙（三）垂直模型

近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模

型、子母型雙垂直模型（射影定理模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

模型1：高分線模型

BC

條件：AD是高，AE是角平分線結(jié)論：∠DAE=

2

例1．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在ABC中，A30，B50，CD為ACB的平分線，

CEAB于點E，則ECD度數(shù)為（）

A．5B．8C．10D．12

【答案】C

【分析】依據(jù)直角三角形，即可得到BCE40，再根據(jù)A30,CD平分ACB,即可得到BCD的度

數(shù),再根據(jù)DCEBCDBCE進行計算即可．

【詳解】解：B50,CEAB,BCE40,

11

又A30,CD平分ACB,BCDBCA(1805030)50，

22

DCEBCDBCE504010,故選：C．

【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180是解答此題的關(guān)鍵．

例2．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，BG的延長線

交AC于點E，F(xiàn)為AB上的一點，CF與AD垂直，交△AD于點H，則下面判斷正確的有（）

①AD是ABE的角平分線；②BE是ABD的邊AD上的中線；

③CH是△ACD的邊AD上的高；④A△H是ACF的角平分線和高

A．1個△B．2個△C．3個D．4個

【答案】B

【詳解】解：①根據(jù)三角形的角平分線的概念，知AG是ABE的角平分線，故此說法錯誤；

②根據(jù)三角形的中線的概念，知BG是ABD的邊AD上的△中線，故此說法錯誤；

③根據(jù)三角形的高的概念，知CH為A△CD的邊AD上的高，故此說法正確；

④根據(jù)三角形的角平分線和高的概念△，知AH是ACF的角平分線和高線，故此說法正確．故選：B．

【點睛】本題考查了三角形的角平分線、三角形的△中線、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分線、

中線、高都是線段，且都是頂點和三角形的某條邊相交的交點之間的線段．透徹理解定義是解題的關(guān)鍵．

例3．（2023·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AD、AE分別是Rt△ABC的高和中線，AB＝9cm，AC

＝12cm，BC＝15cm，試求：（1）AD的長度；（2）△ACE和△ABE的周長的差．

36

【答案】（1）AD的長度為cm；（2）△ACE和△ABE的周長的差是3cm．

5

【分析】（1）利用直角三角形的面積法來求線段AD的長度；（2）由于AE是中線，那么BE＝CE，再表示

△ACE的周長和△ABE的周長，化簡可得△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC﹣AB即可．

11

【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是邊BC上的高，∴SACB=AB?AC＝BC?AD，

22

△

ABAC9123636

∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的長度為cm；

CB1555

（2）∵AE為BC邊上的中線，∴BE＝CE，

∴△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），

即△ACE和△ABE的周長的差是3cm．

【點睛】此題主要考查了三角形的面積，關(guān)鍵是掌握直角三角形的面積求法．

例4．（2023·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）如圖，在ABC中，AD，AE分別是ABC的高和角平分線，

若B30，C50．(1)求DAE的度數(shù)．(2)試寫出DAE與CB關(guān)系式，并證明．(3)如圖，F(xiàn)

為AE的延長線上的一點，F(xiàn)DBC于D，這時AFD與CB的關(guān)系式是否變化，說明理由．

1

【答案】(1)10(2)DAECB(3)不變，理由見解析

2

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出BAC，根據(jù)角平分線的定義得到BAE50，根據(jù)高線的性質(zhì)得到

ADE90，從而求出BAD60，繼而根據(jù)角的和差得到結(jié)果；（2）根據(jù)角平分線的定義得到

111

BAEBAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出EAC90BC，根據(jù)角的和差得到結(jié)果；（3）過A作

222

1

AGBC于G，結(jié)合（2）知EAG(CB)，證明FD∥AG，得到AFDEAG，即可證明．

2

【詳解】（1）解：∵B30，C50，∴BAC1805030100，

1

∵AE平分BAC，∴BAECAEBAC50，

2

∵AD是高，∴ADE90，∵B30，∴BAD60，∴DAEBADBAE10；

1

（2）DAECB，

2

1

證明如下：∵AE平分BAC，∴EACBAC，

2

111

∵BAC180BC，∴EAC180BC90BC，

222

111

∴EADEACDAC90BC90CCB；

222

1

（3）不變，理由是：如圖，過A作AGBC于G，由（2）可知：EAG(CB)，

2

AGBC，AGB90，F(xiàn)DBC，F(xiàn)DC90，AGDFDC，F(xiàn)D∥AG，

1

AFDEAG，AFD(CB)．

2

【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)，

熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

模型2：雙垂直模型

結(jié)論：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③ABCDAEBC。

例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，CD,BE分別是AB,AC邊上的高，并且CD,BE交于點

P，若A50，則BPC的度數(shù)為（）

A．130B．120C．110D．100

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個銳角互余可求得ABE的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得．

【詳解】解：∵BE是AC邊上的高，∴BEA90，∵A50，∴ABE90A905040，

∵CD是AB邊上的高，∴CDB90，∴BPCCDBABE9040130，故選：A．

【點睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．

例2．（2022秋·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，在ABC中，CD和BE分別是AB，AC邊上的高，若CD12，

AC

BE16，則的值為（）．

AB

3345

A．B．C．D．

5438

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可．

11AC123

【詳解】∵SABCDACBE，∴12AB16AC，∴．故選B．

ABC22AB164

【點睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計算問題．根據(jù)三角形的面積公式得出ABCDACBE是解題關(guān)鍵．

例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，AB8，BC10，CFAB于點F，ADBC

于點D，AD與CF交于點E，B46．

(1)求AEC的度數(shù)．(2)若AD6，求CF的長．

15

【答案】(1)134(2)

2

【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；

11

（2）利用等面積法，由SBCADABCF代值求解即可得到答案．

△ABC22

【詳解】（1）解：∵CFAB，∴CFB90，

∵B46，∴BCF44，∵ADBC，∴ADC90，

∴AECADCBCF9044134；

11

（2）解：∵CFAB，ADBC，∴SBCADABCF，

△ABC22

ADBC61015

∵AB8，BC10，AD6，∴CF．

AB82

【點睛】本題考查三角形綜合，數(shù)形結(jié)合，利用等面積法求解是解決問題的關(guān)鍵．

模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)

結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③ABACADBC。

例1．（2023·廣東廣州·七年級?？茧A段練習）如圖，在△ACB中，ACB90，CDAB于D，求證：

BACD．

【答案】見解析

【分析】根據(jù)CDAB可得ACBCDB90，再根據(jù)BBCDBCDACD90，即可求證．

【詳解】證：∵CDAB，ACB90∴ACBCDB90

又∵BCDBBCD180，∴BBCD90

又∵ACBBCDACD90，∴BBCDBCDACD90∴BACD

【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì)．

例2．（2023·山東泰安·七年級?？茧A段練習）如圖，AD，BF分別是△ABC的高線與角平分線，BF，AD交

于點E，∠1＝∠2．求證：△ABC是直角三角形．

【答案】見解析

【分析】根據(jù)AD是ABC的高線，可得∠BED+∠EBD＝90°，根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE＝∠EBD，

觀察∠BED與∠AEF△的位置，可知是一組對頂角，進而進行等量代換可得∠AEF+∠ABE＝90°，至此結(jié)合已

知不難得到∠AFE+∠ABE＝90°，由此解題．

【詳解】證明：由題意得：AD⊥BC，BF平分∠ABC，

∴∠BED+∠EBD＝90°，∠ABE＝∠EBD，∴∠BED+∠ABE＝90°，

又∵∠AEF＝∠BED，∴∠AEF+∠ABE＝90°，

∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE+∠ABE＝90°，∴∠BAF＝90°，即ABC是直角三角形．

【點睛】本題考查了三角形高線、角平分線的定義，對頂角相等△，熟記角平分線的定義與直角三角形的定

義是關(guān)鍵．

例3．（2022秋·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ABC90，BDAC，垂足為D．如果

AC6，BC3，則BD的長為（）

333

A．2B．C．33D．

22

【答案】D

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再利用三角形面積求出BD即可．

【詳解】解：∵ABC90，AC6，BC3，∴根據(jù)勾股定理ABAC2BC2623233，

111133

∵BDAC，∴SABC=ABBCACBD，即3336BD，解得：BD．故選擇D．

22222

△

【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，

三角形面積等積式是解題關(guān)鍵．

例4．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州中學?？计谥校┮阎?，在ABC中，ACBCDBm0m180，

AE是角平分線，D是AB上的點，AE、CD相交于點F．

(1)若m90時，如圖所示，求證：CFECEF；(2)若m90時，試問CFECEF還成立嗎？若成立

說明理由；若不成立，請比較CFE和CEF的大小，并說明理由．

【答案】(1)見解析；(2)不成立；當m90時，CFECEF；當m90時，CFECEF；理由見解析．

【分析】（1）證明CAEBAE，由ACBCDB90，證明ACDB，由三角形的外角的性質(zhì)可

得CFEACDCAE，CEFBBAE，從而可得結(jié)論．

（2）證明CFECEFACFB，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得

CFECEFmBCD180mBCD2m180，再分兩種情況可得結(jié)論．

【詳解】（1）證明：∵AE是角平分線，∴CAEBAE，

∵ACBCDBm0m180，m90，∴ACBCDB90，

∴ACDBCD90BCDB，∴ACDB，

∵CFEACDCAE，CEFBBAE，∴CFECEF．

（2）不成立．理由如下：

∵CFECAFACF，CEFBEAB，CAEBAE，∴CFECEFACFB，

∵ACBCDBm0m180，∴CFECEFmBCD180mBCD2m180

當m90時，CFECEF2m1800，∴CFECEF；

當m90時，CFECEF2m1800，∴CFECEF．

【點睛】本題考查的是三角形的角平分線是含義，三角形的內(nèi)角和定理的應用，三角形的外角的性質(zhì)，不

等式的性質(zhì)，熟記三角形的外角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

課后專項訓練

1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在ABC中，C90，A30，AB的垂直平分線交AC于

點D，交AB于點E，AC6，則CD的長為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

11

【分析】連接BD，由垂直平分線得BDAD，可求得CBD30，于是CDBDAD，根據(jù)AC6，

22

求得CD2．

【詳解】解：連接BD，∵DE是AB的垂直平分線，∴BDAD，

∴ABDA30，∴CBD1809030230，

11

∴CBDABD30，∴CDBDAD，∵AC6，∴3CD6，∴CD2．故選：B．

22

【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，30o角直角三角形性質(zhì)；添加輔助線，運用垂直

平分線導出角之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，ABC中，BDAC，BE平分ABC，若DA=2DC，DBE20，

則ABC（）

A．50B．60C．70D．80

【答案】B

【分析】設(shè)C，那么A2，然后利用分別表示ABC，ABE，ABD，最后利用三角形內(nèi)

角和定理建立方程解決問題．

【詳解】解：∵ABC中，DA=2DC，

∴設(shè)C，那么A2，∴ABC180AC1803，

11

∵BE平分ABC，∴ABEABC（1803），

22

13

∵BDAC，DBE20，∴ABDABEDBE18032070，

22

3

∴AABD27090，∴40，

2

∴ABC180AC180360．故選：B．

【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時也利用了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角

形內(nèi)角和定理．

3．（2023·綿陽市八年級月考）如圖，在ABC中，AF平分BAC交BC于點F、BE平分ABC交AC于

點E，AF與BE相交于點O，AD是BC邊上的高，若C50，BEAC，則DAF的度數(shù)為（）

A．10B．12C．15D．20

【答案】C

【分析】根據(jù)題意證明ABECBE(ASA)，得出BACC50，三角形內(nèi)角和定理得出ABC80，根據(jù)

1

直角三角形的兩個銳角互余求得BAD10，根據(jù)角平分線的定義可得BAFBAC25，根據(jù)

2

DAFBAFDAB即可求解．

【詳解】解：BEAC，BE平分ABC，AEBCEB90，ABECBE，

BEBE，ABECBE(ASA)，BACC50，ABC180BACC80，

BEAC，ADB90，BAD10

1

AF平分BAC，BAFBAC25，DAFBAFDAB15，故選：C．

2

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的兩個銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，角平

分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

4．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ACB90，AD，BE，CF分別是ABC的

中線、角平分線和高線，BE交CF于點G，交AD于點H，下面說法中一定正確的是（）

ACD的面積等于△ABD的面積；②CEGCGE；

③ACF2ABE；④AHBH．

A．①②③④B．①②③C．②④D．①③

【答案】B

【分析】①根據(jù)三角形中線平分三角形的面積，即可判斷ACD的面積等于△ABD的面積；

②先根據(jù)同角的余角相等證得CABBCG，再根據(jù)角平分線的定義得出ABECBE，最后根據(jù)三角

形外角的性質(zhì)得出CEGCABABE，CGECBEBCG，即可得證；

③先根據(jù)同角的余角相等證得ACFCBF再根據(jù)角平分線的定義得出CBF2ABE，于是推出

ACF2ABE；④無法證得AH=BH．

【詳解】解：∵AD是ABC的中線，∴CDBD，∴ACD的面積等于△ABD的面積，故①正確；

∵BE是ABC的角平分線，∴ABECBE，

∵CF是ABC的高線，∴CFA90，∴CABACF90，

∵ACB90，∴ACFBCG90，∴CABBCG，

∵CEG是ABE的一個外角，∴CEGCABABE，

∵CGE是BCG的一個外角，∴CGECBEBCG，∴CEGCGE，故②正確；

∵CF是ABC的高線，∴CFB90，∴CBFBCF90，

∵ACB90，∴ACFBCF90，∴ACFCBF，

∵BE是ABC的角平分線，∴CBF2ABE，∴ACF2ABE，故③正確；

無法證得AH=BH，故④錯誤；故正確的有①②③故選∶B．

【點睛】本題考查了三角形的面積，三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等，角平分線的定義，熟練掌握這

些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，BAC＝90，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是

高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面結(jié)論：①ABE的面積＝△BCE

的面積；②AFG＝AGF；③FAG＝2ACF；④AD＝2.4．其中結(jié)論正確的是（）

A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定

△ABE和△BCE的面積關(guān)系以及求出AD的長度．

【詳解】解：BE是ABC的中線AEECABE的面積等于△BCE的面積故①正確；

BAC90，AD是ABC的高AFGACG90，DCGDGC90

CF是ABC的角平分線ACGDCGAFGDGC

又DGCAGFAFGAGF故②正確；

FAGDACDACACD90FAGACD

ACDACFDCF2ACFFAG2ACF故③正確；

ABAC68

2SABACBCADAD4.8故④錯誤；故選：C

ABCBC10

【點睛】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決

本題的關(guān)鍵．

6．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，ABC是等腰三角形，ABAC，A45，在腰AB上取

一點D，DEBC，垂足為E，另一腰AC上的高BF交DE于點G，垂足為F，若BE3，則DG的長

為．

【答案】6

【分析】過點G作MGBF交BD于點M，過點M作NMED，根據(jù)等腰三角形各角之間的關(guān)系得出

FBCBDE，再由垂直及等量代換得出MGDBDG，利用等角對等邊確定MGMDBG，

DG2DN，再由全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：過點G作MGBF交BD于點M，過點M作NMED，如圖所示：

∵ABAC，A45，DEBC，

∴ABCC67.5，BDE22.5，ABFA45，

∴FBCABCABF22.5，BGE67.5∴FBCBDE，

∵MGBF，NMED，∴BGMMND90，ABFBMG45

∴MGD180BGEBGM22.5，MGBG，

∴MGDBDG，∴MGMDBG，DG2DN，

MNDBEG90

在DNM與BEG中，BDEFBC，∴DNM≌BEG(AAS)

DMBG

∴DNBE3，∴DG2DN6，故答案為：6．

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟

練運用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

7．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，BAC90，C40，AH、BD分別是ABC

的高和角平分線，點E為BC邊上一點，當BDE為直角三角形時，則CDE．

【答案】50或25/25或50

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得ABC50，由角平分線的定義得DBC25，當△BDE為直角三角

形時，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【詳解】解：∵BAC90，C40，∴ABC904050

1

∵BD平分ABC∴DBCABC25

2

當△BDE為直角三角形時，有以下兩種情況：

①當BED90時，如圖1，∵C40，∴CDE904050；

②當BDE90時，如圖2，∴BED902565，

∵BEDCCDB，∴CDE654025，

綜上，CDE的度數(shù)為50或25．故答案為：50或25．

【點睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此

題的關(guān)鍵．

8．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在ABC中，ACB90，D、E分別在邊AB、BC

上，AE、CD相交于點F．

(1)給出下列信息：①CFECEF；②AE是ABC的角平分線；③CD是ABC的高．請你用其中的兩

個事項作為條件，余下的事項作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并給出證明；

條件：______，結(jié)論：______．（填序號）

證明：

(2)在（1）的條件下，若B，求DFE的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）

1

【答案】(1)①②；③；見解答(2)DFE135

2

【分析】（1）條件：①②，結(jié)論：③，由角平分線的性質(zhì)可得BAECAE，由CFECEF和

AFDCFE，得出CEFAFD，利用三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；

（2）利用（1）的結(jié)論和三角形外角性質(zhì)即可得答案．

【詳解】（1）條件：①②，結(jié)論：③，

證明：∵AE是ABC的角平分線，∴BAECAE，

∵CFECEF，CFEAFD，∴CEFAFD，

∵ACEAECCAEADFAFDBAE180，

∴ACEADF90，∴CD是ABC的高．

條件：①③，結(jié)論：②，

證明：∵CD是ABC的高，∴ACBBDC90，∴BACD90BCD，

∵CFECEF，CFEACFCAF，CEFBBAE，

∴BAECAE，∴AE是ABC的角平分線；

條件：②③，結(jié)論：①，

證明：∵AE是ABC的角平分線，∴BAECAE，

∵CD是ABC的高，∴ACBBDC90，

∴BACD90BCD，

∵CFEACFCAF，CEFBBAE，

∴CFECEF；故答案為：①②；③；

證明：見解答；

（2）∵B，∴BAC90，

190

∵AE是ABC的角平分線，∴BAEBAC，

22

901

∵ADC90，∴DFEBAEADC90135．

22

【點睛】本題考查命題與定理，掌握角分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵．

9．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，CDAB于D，AF平分CAB

交CD于E，交BC于F．

(1)如果CFE70，求B的度數(shù)；(2)試說明：CEFCFE．

【答案】(1)50(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得CAF的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得CAB的度數(shù)，根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)可得B的度數(shù)；

（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得CAFCFE90，DAEAED90，根據(jù)角平分線的定義

可得CAFDAE，從而可得CFEAED，即可得證．

【詳解】（1）解：ACB90，CFE70，

CAF180907020，

AF平分CAB交CD于E，

CAB2CAF40，

B904050；

（2）證明：ACB90，

CAFCFE90，

CDAB，

ADE90，

DAEAED90，

AF平分CAB交CD于E，

CAFDAE，

CFEAED，

AEDCEF，

CEFCFE．

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握直角三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10．（2023秋·浙江·八年級專題練習）對于下列問題，在解答過程的空白處填上適當?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學式）．如

圖．在直角ABC中，CD是斜邊AB上的高，BCD35．

(1)求EBC的度數(shù)；(2)求A的度數(shù)．

解：（1）CDAB（已知），

CDB______°，

EBCCDBBCD（______），

EBC______°35______°（等量代換），

（2）EBCAACB（______），

AEBC_____（等式的性質(zhì)），

ACB90（已知），

A______90______°（等量代換）．

【答案】(1)90；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；90；125

(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和；ACB；125；35

【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等量代換進行作答即可；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等量代換進行作答即可．

【詳解】（1）解：CDAB(已知)，CDB90，

EBCCDBBCD(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和)．

EBC9035125(等量代換)．

（2）EBCAACB(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和)，

AEBCACB(等式的性質(zhì))．

ACB90(已知)，A1259035(等量代換)．

【點睛】本題考查三角形的外角．熟練掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解題關(guān)鍵．

11．（2023·廣東中山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在ABC中，ACB90，CDAB于點D，E為AB上

一點，ACAE

(1)求證：CE平分DCB；(2)若CEEB，求證：BD3AD．

【答案】(1)見解析(2)見解析

【分析】（1）證明DCE90CED，BCE90ACE，再證明CEDACE，從而可得結(jié)論；

（2）先證明BBCE，BDCEBCE30可得ACD90DCEBCE30，AC2AD，

AB2AC4AD，從而可得結(jié)論．

【詳解】（1）證：在Rt△CDE中，DCE90CED

在Rt△ABC中，BCE90ACE

∵ACAE，

∴CEDACE，

∴DCEBCE，

∴CE平分DCB；

（2）∵CEBE，

∴BBCE

∵在Rt△CDE中，BBCD90，而BCDDCEBCE

∴BDCEBCE30

∴ACD90DCEBCE30

∵在Rt△ACD中，ACD30

∴AC2AD

∵在Rt△ABC中，B30

∴AB2AC4AD，

∴BDABAD3AD．

【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的證明并

求解BDCEBCE30是解本題的關(guān)鍵．

12．（2023·浙江溫州·八年級校考階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，CE平分

∠DCB交AB于點E，

(1)求證：∠AEC＝∠ACE；(2)若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求AB的長．

【答案】(1)證明見解析(2)AB＝4

【分析】（1）依據(jù)∠ACB＝90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD＝∠B，再根據(jù)CE平分∠BCD，可得∠BCE＝

∠DCE，進而得出∠AEC＝∠ACE；（2）依據(jù)∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，∠ACB＝90°，即可得到∠ACD＝30°，

進而得出RtACD中，AC＝2AD＝2，RtABC中，AB＝2AC＝4．

【詳解】（1）△∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，△

∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，

∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，

∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；

（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，

又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，

又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，

∴RtACD中，AC＝2AD＝2，∴RtABC中，AB＝2AC＝4．

【點△睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角△和定理與外角的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形30°角所對的直角

邊長度是斜邊的一半，解題時注意：三角形內(nèi)角和是180°，三角形外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和．

13．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在ABC中，AD、AE分別是ABC的角平分線和高線，

ABC，ACB()．

(1)若35,55，則DAE_______；

(2)小明說：“無需給出、的具體數(shù)值，只需確定與的差值，即可確定DAE的度數(shù)．”請通過計算驗

證小明的說法是否正確．

【答案】(1)10(2)小明的說法正確，理由見解析

【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出BAC，根據(jù)角平分線的定義求出CAD，根據(jù)直角三角形的兩

個銳角互余求出CAE，再利用角的和差即可求出DAE；

（2）根據(jù)（1）的思路求出DAE，即可作出判斷．

2

【詳解】（1）∵ABC，ACB()，35,55，

∴BAC18090,

∵AD是BAC的平分線，

1

∴DACBAC45，

2

∵AE是高線，

AEC90，

EAC90ACB9035，

∴DAECADCAE453510；

（2）∵BAC180ABCACB180,AD是BAC的平分線，

11

DACBAC90．

22

AE是高線，

AEC90，

EAC90ACB90，

1

DAEDACEAC9090．

22

由DAE可知：DAE的度數(shù)與、的具體數(shù)值無關(guān)，只和與的差值有關(guān)，

2

故小明的說法正確．

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、直角三角形的兩個銳角互余和角的和差計算，

屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握三角形的基本知識是解題的關(guān)鍵．

14．（2023·安徽安慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在ABC中，B63，C51，AD是BC邊上的高，AE

是BAC的平分線．

(1)求DAE的度數(shù)；(2)若BC，試探求DAE、B、C之間的數(shù)量關(guān)系．

11

【答案】(1)DAE6(2)DAEBC

22

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出BAC180BC66，根據(jù)角平分線的定義得出

1

BAECAEBAC33，根據(jù)ADBC，得出ADBADC90，求出BAD90B27，

2

最后根據(jù)DAEBAEBAD33276得出結(jié)果；

111

（2）根據(jù)角平分線的定義得出BAECAEBAC90BC，根據(jù)高線的定義得出

222

ADBADC90，求出BAD90B，根據(jù)BC，得出BADBAE，根據(jù)

DAEBAEBAD求出結(jié)果即可．

【詳解】（1）解：∵在ABC中，B63，C51，

∴BAC180BC66，

∵AE是BAC的平分線，

1

∴BAECAEBAC33，

2

∵AD是BC邊上的高，

∴ADBC，

∴ADBADC90，

∴BAD90B27，

∴DAEBAEBAD33276．

（2）解：∵BAC180BC，AE是BAC的平分線，

111

∴BAECAEBAC90BC，

222

∵AD是BC邊上的高，

∴ADBC，

∴ADBADC90，

∴BAD90B，

∵BC，

∴BADBAE，

∴DAEBAEBAD

11

90BC90B

22

11

BC，

22

11

即DAEBC．

22

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應用，角平分線的定義，三角形的高線，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握三角形內(nèi)角和為180．

15．（2023·福建莆田·八年級校考期中）規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，

那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．

從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分

割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形是“等角三角形”，我

們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．

(1)如圖1，在Rt△ABC中，ACB90，CDAB，請寫出圖中兩對“等角三角形”；

(2)如圖2，在ABC中，CD為ACB的平分線，A40，B=60．求證：CD為ABC的“等角分割線”；

(3)在ABC中，若A50，CD是ABC的“等角分割線”，請求出所有可能的ACB的度數(shù)．

【答案】(1)ABC與ACD；ABC與△BCD；ACD與△BCD（任意寫出兩對“等角三角形”即可）

260310

(2)見解析(3)ACB的度數(shù)為100或115或或

33

【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得ACBADCBDC90，ABCD，BACD，

再根據(jù)“等角三角形”的定義即可得；

（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得ACB80，從而可得ACDDCB40，根據(jù)等腰三角形的判

定可得ACD是等腰三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得BDCACB80，從而可得△BCD與

ABC是“等角三角形”，然后根據(jù)等角分割線的定義即可得證；

（3）分①當ACD是等腰三角形，DADC時；②當ACD是等腰三角形，DAAC時；③當△BCD是

等腰三角形，DCBD時；④當△BCD是等腰三角形，DBBC時四種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)、三

角形的外角性質(zhì)求解即可得．

【詳解】（1）解：ACB90，CDAB，

ACBADCBDC90，

ABAACDBBCDACDBCD90，

ABCD，BACD，

ABC與ACD；ABC與△BCD；ACD與△BCD是“等角三角形”．（任意寫出兩對“等角三角形”即可）

（2）證明：在ABC中，A40，B=60，

∴ACB180AB80，

∵CD為角平分線，

1

∴ACDDCBACB40，

2

∴ACDA，DCBA，

∴CDAD，

∴ACD是等腰三角形，

∵在△DBC中，DCB40，B=60，

∴BDC180DCBB80，

∴BDCACB，

∴△BCD與ABC是“等角三角形”，

∴CD為ABC的等角分割線．

（3）解：由題意，分以下四種情況：

①當ACD是等腰三角形，DADC時，ACDA50，

∴ACBBDC5050100；

②當ACD是等腰三角形，DAAC時，ACDADC65，BCDA50，

∴ACB6550115；

18050130

③當△BCD是等腰三角形，DCBD時，ACDBCDB，

33

130130260

∴ACB；

333

④當△BCD是等腰三角形，DBBC時，BDCBCD，

設(shè)BDCBCDx，則B1802x，ACDB1802x，

230

由三角形的外角性質(zhì)得：AACDBDC，即501802xx，解得x，

3

310

∴ACBACDBCD1802xx；

3

260310

綜上，ACB的度數(shù)為100或115或或．

33

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，較難的是題（3），正

確分四種情況討論是解題關(guān)鍵．

16．（2023·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，BAC和ABC的平分線相交于點O，過點O作

EF//AB交BC于F，交AC于E，過點O作ODBC于D.

1

（1）求證：AOB90C；（2）求證：AEBFEF；（3）若ODa，CECF2b，請用含a，b

2

的代數(shù)式表示CEF的面積，SCEF___________（直接寫出結(jié)果）

【答案】（1）見解析；（2）EFAEBF；（3）ab

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論成立.

（2）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得到AEOE，BFOF，然后即可得結(jié)論成立；

（3）過點O作OG⊥AC，連接OC，由點O為內(nèi)心，可知OD=OG，由SCEFSCOFSCOE，即可得到答案.

【詳解】證明：（1）OA，OB平分BAC和ABC

11

OABOAECOB，OBAOBFABC

22

AOB180OABOBA

11

180COBABC

22

1

180COBABC

2

1

180180C

2

1

90C；

2

（2）EF//AB，

OABAOE，ABOBOF，

又OABEAO，OBAOBF，

AOEEAO，BOFOBF，

AEOE，BFOF，

EFOEOFAEBF；

（3）如圖，過點O作OG⊥AC，連接OC，

∵點O為△ABC的內(nèi)心，則OC是∠ACB的角平分線，

∴OG