專(zhuān)題13全等模型-倍長(zhǎng)中線與截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就全等三

角形中的重要模型（倍長(zhǎng)中線模型、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.倍長(zhǎng)中線模型

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添

加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角

形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫(huà)中線的時(shí)候）。

【常見(jiàn)模型及證法】

1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.

證明思路：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則BDECDA；若連結(jié)EC，則ABDECD；

2、中點(diǎn)型:如圖2，C為AB的中點(diǎn).

證明思路：若延長(zhǎng)EC至點(diǎn)F，使得CFEC，連結(jié)AF，則BCEACF;

若延長(zhǎng)DC至點(diǎn)G，使得CGDC，連結(jié)BG，則ACDBCG.

3、中點(diǎn)+平行線型：如圖3,AB//CD，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn).

證明思路：延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F(或交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F)，則EDCEAF.

例1．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）（1）閱讀理解：

如圖①，在ABC中，若AB8，AC5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即

可判斷中線AD的取值范圍是______；

（2）問(wèn)題解決：如圖②，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交

AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BECFEF；

（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，BD180，CBCD，BCD100，以C為頂點(diǎn)作

一個(gè)50的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由．

例2．（2023·貴州畢節(jié)·二模）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得

到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過(guò)程．

(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請(qǐng)判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由．

例3．（2022·山東·安丘市一模）閱讀材料：如圖1，在ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在

證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EFDE，連接

CF，證明ADE≌CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．

類(lèi)比遷移：（1）如圖2，AD是ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且AEEF，求證：ACBF．

小亮發(fā)現(xiàn)可以類(lèi)比材料中的思路進(jìn)行證明．

證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MDFD，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過(guò)程．

方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段

CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請(qǐng)你判斷線段DF與AD的

數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

例4．（2022·河南商丘·一模）閱讀材料

如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于

第三邊的一半”時(shí)，通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF

是平行四邊形即得證．(1)類(lèi)比遷移：如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且

AE＝EF，求證：AC＝BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類(lèi)比材料中的思路進(jìn)行證明．

證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使MD＝FD，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程．

(2)方法運(yùn)用：如圖3，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段

CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE．F是線段BE的中點(diǎn)，連接DF，CF．請(qǐng)你判斷線段DF與AD的

數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

模型2.截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

【模型解讀】

截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類(lèi)題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，

可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程，截長(zhǎng)補(bǔ)短法（往往需證2次全等）。

截長(zhǎng)：指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段。

【常見(jiàn)模型及證法】

（1）截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。

例：如圖，求證BE+DC=AD

方法：①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；②在AD上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE

（2）補(bǔ)短：將短線段延長(zhǎng)，證與長(zhǎng)線段相等

例：如圖，求證BE+DC=AD

方法：①延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使CM=BE，證DM=AD；②延長(zhǎng)DC至點(diǎn)M處，使DM=AD，證CM=BE

例1．（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE

的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．

例2．（2023·廣東肇慶·?？家荒＃┱n堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1，在ABC中，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，且ABBDAC，求證：ABC2ACB，小明的方

法是：如圖2，在AC上截取AE，使AEAB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來(lái)證明．

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過(guò)延長(zhǎng)線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)

行證明．輔助線的畫(huà)法是：延長(zhǎng)AB至F，使BF=______，連接DF請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫(huà)法，并在

圖1中畫(huà)出相應(yīng)的輔助線；

(2)小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：

如圖3，點(diǎn)D在ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分BAC，ABC，ACB，且AB+BDAC．求證：

ABC＝2ACB．請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問(wèn)題（書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程）；

(3)小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：

如果在ABC中，ABC2ACB，點(diǎn)D在邊BC上，ABBDAC，那么AD平分BAC小東判斷這個(gè)

命題也是真命題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．

例3．（2023·廣西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．

(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長(zhǎng)度滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為；（直

接寫(xiě)出答案）；(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE

的長(zhǎng)度滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明．

例4．（2023·廣東·九年級(jí)期末）（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分ABC，

AC180．求證：DADC．

思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．

方法1：在BC上截取BMBA，連接DM，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；

方法2：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)N，使得BNBC，連接DN，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．

結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任．選．一．種．，添加輔助線并完成證明．

（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接AC，當(dāng)DAC60時(shí)，探究線段AB，BC，BD之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，AC180，DADC，過(guò)點(diǎn)

D作DEBC，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系．

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：

1．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則

AD的長(zhǎng)可能是（）

A．1B．2C．3D．4

2．（2022·浙江湖州·二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，ABBD，AB5，BD4，CD3，

點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)為（）．

5

A．2B．C．5D．3

2

3．（2022·廣東湛江·校考二模）已知：如圖，ABC中，E在BC上，D在BA上，過(guò)E作EFAB于F，

4

B12，AECD，BF，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

3

4．（2023秋·江西九江·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB＝5，AC＝13，AD

＝6，則BC的長(zhǎng)為．△

5．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1，在ABC中，若AB3，AC5．求BC

邊上的中線AD的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)AD至E，使DEAD，連接BE．利用全等將

邊AC轉(zhuǎn)化到BE，在BAE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AD的取值范圍，在這個(gè)過(guò)程中小聰同學(xué)證

三角形全等用到的判定方法是___________，中線AD的取值范圍是___________；

（2）問(wèn)題解決：如圖2，在ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DMDN．DM交AB于點(diǎn)M，DN交AC于

點(diǎn)N．求證：BMCNMN；

（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊向ABC外作RtABM

和Rt△ACN，其中BAMNAC90，ABAM，ACAN，連接MN，請(qǐng)你探索AD與MN的數(shù)量

與位置關(guān)系．

6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABDE中，ABDBDE90°，C為邊BD上一點(diǎn)，連接AC，

EC，M為AE的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BM交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AC交BM于點(diǎn)G，連接DM交CE于點(diǎn)H．

(1)求證MBMD；(2)若ABBC，DCDE，求證：四邊形MGCH為矩形．

7．（2023·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）閱讀理解：如圖①，在ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上

的中線AD的取值范圍．可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到△EBD，在△ABE中，

利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______；

（2）問(wèn)題解決：如圖②，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交

AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BECF＞EF；

（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，BD＝180，CB＝CD，BCD＝100，以C為頂點(diǎn)作

一個(gè)50的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，

并說(shuō)明理由．

8．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）（1）如圖1，AD是ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接CE．

①證明ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)A△D＝x，可得x的取值范圍是_______；

（2）如△圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，

求證：BE＋CF＞△EF．

9．（2022秋·北京昌平·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，O為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，OA＝OD，

OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝22，求OB的長(zhǎng)；

（2）用等式表示線段OE和CD之間的關(guān)系，并證明．

10．（2022秋·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AFB60；

【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片ABC的BC邊上取一點(diǎn)D，作ADE60交ACB外角平分

線于點(diǎn)E，探究CE，DC和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

【思維提升】（3）如圖3，ABC和DCE均為正三角形，當(dāng)B，C，E三點(diǎn)共線時(shí)，連接PC，若BC3CE，

AP3PDAPPC2PD

直接寫(xiě)出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：①；②．

PCBDPCPE

11．（2023秋·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）(1)閱讀理解：

問(wèn)題：如圖1，在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分ABC，AC180．求證：DADC．

思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．

方法1：在BC上截取BMBA，連接DM，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；

方法2：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)N，使得BNBC，連接DN，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．

結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．

(2)問(wèn)題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接AC，當(dāng)DAC60時(shí)，探究線段AB，BC，BD之間的數(shù)量

關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，AC180，DADC，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，垂足為點(diǎn)E，

請(qǐng)寫(xiě)出線段AB、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．

12．（2023·浙江衢州·校考一模）如圖1，在ABC中，ABAC，AC平分BCD，連接BD，ABD2CBD，

BDCABDACD．

(1)求A的度數(shù)；(2)如圖2，連接AD，AEAD交BC于E，連接DE，求證：DECBAE；

(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，連接AG交BD于點(diǎn)F，若S△ABC32，求線段AF的長(zhǎng)．

13．（2023春·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）課堂上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1，在ABC中，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，且ABBDAC，求證：ABC2ACB，小明的方

法是：如圖2，在AC上截取AE，使AEAB，連接DE，構(gòu)造全等三角形來(lái)證明．

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長(zhǎng)法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過(guò)延長(zhǎng)線段AB構(gòu)造全等三角形進(jìn)

行證明．輔助線的畫(huà)法是：延長(zhǎng)AB至F，使BF=______，連接DF請(qǐng)補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫(huà)法，并在

圖1中畫(huà)出相應(yīng)的輔助線；

(2)小蕓通過(guò)探究，將老師所給的問(wèn)題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問(wèn)題：

如圖3，點(diǎn)D在ABC的內(nèi)部，AD，BD，CD分別平分BAC，ABC，ACB，且AB+BDAC．求證：

ABC＝2ACB．請(qǐng)你解答小蕓提出的這個(gè)問(wèn)題（書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程）；

(3)小東將老師所給問(wèn)題中的一個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：

如果在ABC中，ABC2ACB，點(diǎn)D在邊BC上，ABBDAC，那么AD平分BAC小東判斷這個(gè)

命題也是真命題，老師說(shuō)小東的判斷是正確的．請(qǐng)你利用圖4對(duì)這個(gè)命題進(jìn)行證明．

14．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC為等邊三角形，直線l過(guò)點(diǎn)C，在l上位于C點(diǎn)右

側(cè)的點(diǎn)D滿(mǎn)足∠BDC＝60°。（1）如圖1，在l上位于C點(diǎn)左側(cè)取一點(diǎn)E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；

（2）如圖2，點(diǎn)F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：

HG+BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A、B位于直線l兩側(cè)，其余條件不變時(shí)（如圖3），線段HG、CF、

BD的數(shù)量關(guān)系為．

15．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、

F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．某同學(xué)做了如下

探究，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明ABE≌△ADG，再證明AEF≌△AGF，可得出結(jié)

論，他的結(jié)論應(yīng)該是______．（2）如圖②，若在四邊形△ABCD中，AB=AD，∠B△+∠D=180°．E、F分別是

1

BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=2∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出正

確的結(jié)論，并說(shuō)明理由．（3）如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，

艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東

方向以60海里/時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心

觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．

16．（2022·河南·九年級(jí)期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在ABC中，若AB

＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下△的解決方法：延

長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到EBD），把AB、AC、

2AD集中在ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系△可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．△

【感悟】解△題時(shí)，條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)、中線字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，把

分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．

【解決問(wèn)題】受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下列命題：如圖2，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，

DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．（1）求證：BE△＋CF＞EF，

（2）若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．、

17．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和

點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．

（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫(xiě)出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系

是________．（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是

否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）[拓展延伸]如圖3，當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依

然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

18．（2022·北京·中考真題）在ABC中，ACB90，D為ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，DC，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E，

使得CEDC.(1)如圖1，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得CFBC，連接AF，EF，若AFEF，求證：B