專題16全等與相似模型-半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.半角模型

半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。

思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補短）構(gòu)造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。

解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與

半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半

角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論。

【模型展示】

1）正方形半角模型

條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；

結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；

⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；

結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；

3）等邊三角形半角模型（120°-60°型）

條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；

結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長=2AB；

⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。

4）等邊三角形半角模型（60°-30°型）

條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；

2

1

結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+3；

BD

22

5）半角模型（2-型）

條件：∠BAC=2，AB=AC，∠DAE=；

結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-2。

例1．（2022·黑龍江·九年級階段練習(xí)）已知四邊形ABCD是正方形，一個等腰直角三角板的一個銳角頂點

與A點重合，將此三角板繞A點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC，CD于M，N．

(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時，求證：BM+DN=MN

(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長線上時，請直接寫出線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系

(3)如圖3，直線AN與BC交于P點，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長．

【答案】（1）見解析；（2）BMDNMN；（3）3

【分析】（1）延長CB到G使BGDN，連接AG，先證明△AGB△AND，由此得到AGAN，GABDAN，

再根據(jù)MAN45，BAD90，可以得到GAMNAM45，從而證明△AMN≌△AMG，然后根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)即可證明BMDNMN；（2）在BM上取一點G，使得BGDN，連接AG，先證明

△AGB△AND，由此得到AGAN，GABDAN，由此可得GANBAD90，再根據(jù)MAN45

可以得到GAMNAM45，從而證明△AMN≌△AMG，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明

BMDNMN；（3）在DN上取一點G，使得DGBM，連接AG，先證明ABM≌ADG，再證明

△AMN≌△AGN，設(shè)DGBMx，根據(jù)DCBC可求得x2，由此可得ABBCCDCN6，最后再證明

△ABP≌△NCP，由此即可求得答案．

【詳解】（1）證明：如圖，延長CB到G使BGDN，連接AG，

∵四邊形ABCD是正方形，∴ABAD，ABGADNBAD90，

ABAD

在ABG與△ADN中，ABGADN，△AGB≌△AND(SAS)，AGAN，GABDAN，

BGDN

MAN45，BAD90，∴DANBAMBADMAN45，

GAMGABBAMDANBAM45，GAMNAM，

AMAM

在AMN與AMG中，GAMNAM，△AMN≌△AMG(SAS)，MNGM，

ANAG

又∵BMGBGM，BGDN，BMDNMN；

（2）BMDNMN，理由如下：如圖，在BM上取一點G，使得BGDN，連接AG，

∵四邊形ABCD是正方形，∴ABAD，ABGADNBAD90，

ABAD

在ABG與△ADN中，ABGADN，△AGB≌△AND(SAS)，AGAN，GABDAN，

GBDN

∴GABGADDANGAD，∴GANBAD90，

又MAN45，GAMGANMAN45MAN，

AMAM

在AMN與AMG中，GAMNAM，△AMN≌△AMG(SAS)，MNGM，

ANAG

又∵BMBGGM，BGDN，∴BMDNMN，故答案為：BMDNMN；

（3）如圖，在DN上取一點G，使得DGBM，連接AG，

∵四邊形ABCD是正方形，∴ABADBCCD，ABMADGBAD90，AB//CD，

ABAD

在ABM與ADG中，ABMADG，△ABM≌△ADG(SAS)，

BMDG

AMAG，MABGAD，∴MABBAGGADBAG，∴MAGBAD90，

又MAN45，GANMAGMAN45MAN，

AMAG

在AMN與AGN中，MANGAN，△AMN≌△AGN(SAS)，MNGN10，

ANAN

設(shè)DGBMx，∵CN6，MC8，∴DCDGGNCNx106x4，BCMCBM8x，

∵DCBC，∴x48x，解得：x2，∴ABBCCDCN6，∵AB//CD，∴BAPCNP，

APBNPC

1

在△ABP與NCP中，BAPCNP，△ABP≌△NCP(AAS)，CPBPBC3，∴CP的長為3．

2

ABCN

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，能夠作出正確的輔助線并能靈活運用全等

三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的的關(guān)鍵．

例2．（2022·北京四中九年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點P在線段AB上，作射

線CP（0°＜∠ACP＜45°)，射線CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線CQ，過點A作AD⊥CP于點D，交

CQ于點E，連接BE．(1)依題意補全圖形；(2)用等式表示線段AD，DE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】(1)作圖見解析．(2)結(jié)論：AD+BE=DE．證明見解析．

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）結(jié)論：AD+BE=DE．延長DA至F，使DF=DE，連接CF．利用

全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．

（1）解：如圖所示：

（2）結(jié)論：AD+BE=DE．

理由：延長DA至F，使DF=DE，連接CF．∵AD⊥CP，DF=DE，∴CE=CF，∴∠DCF=∠DCE=45°，

∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=45°，∵∠DCA+∠ACF=∠DCF=45°，∴∠FCA=∠ECB，

CACB

在△ACF和△BCE中ACFBCE，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=DE．

CFCE

【點睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．

例3．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點M、N,使

MBN30．若AMm，MNx，CNn，則以x,m,n為邊長的三角形的形狀為（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．隨x,m,n的值而定

【答案】C

【分析】將ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CBH，連接HN，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及各角之間的等量

關(guān)系可得：△∠NBM=∠NBH，然后依據(jù)全等三角△形的判定定理可得NBM≌NBH，由全等三角形的性質(zhì)可

將x、m、n放在NCH中，即可確定三角形的形狀．△△

【詳解】解：如圖△所示：將ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CBH，連接HN，

△△

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，BM=BH，CH=AM，ABMCBH，BCHA，

∵ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°，

∴∠△NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH，

BNBN

在NBM與NBH中，NBMNBH，∴NBM≌NBH（SAS），∴MN=NH=x，

BMBH

△△△△

∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°，

∴以x，m，n為邊長的三角形NCH是鈍角三角形．故選：C．

【點睛】本題考查等邊三角形的△性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利

用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，

例4．（2022·廣東深圳·八年級期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點D為BC邊上一點．點E

為線段CD上一點，且CE＝2，AB＝43，∠DAE＝60°，則DE的長為______．

14

【答案】

3

【分析】將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120至△ACM，連接ME，過M作MQBC于Q，過A作AFBC

于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABD≌ACM，設(shè)CQx，則CM2x，QM3x，證明ADE≌AME（SAS），

得EMDE102x，最后利用勾股定理來解答．

【詳解】解：如圖，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120至△ACM，連接ME，過M作MQBC于Q，過A

作AFBC于F，

∵BAC120，ABAC，CE＝2，AB＝43，

11

∴ACMB30ACB，BADCAM，∴MCQ60，AFAB4323，

22

22

∴CMQ30，BFCFAB2AF243236．

1

在RtQMC中，CQCM．∵CE2，∴BE2BFCE12210.

2

2

設(shè)CQx，∴CM2x，QMCM2CQ22xx23x，∴EQx2．

∵DAE60FAC，BAC120，∴BADEACEACCAM60，∴DAFEAG．

ADAM

∵DAEEAM．在ADE和△AME中DAEEAM，∴△ADE≌△AMESAS，

AEAE

∴EMDEBEBDBECM102x，由勾股定理得：EM2EQ2QM2，

22288161414

∴102xx23x，∴x，即CQDE102x10．故答案為：．

33333

【點睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形有判定和性質(zhì)，勾股定理，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是求解本題的關(guān)鍵．

例5．（2022·廣東廣州·二模）如圖，點D為等邊ABC外一點，BDC120，BDCD，點M，N分別

在AB和AC上，MDN60且AM9，AN4，MN8，則ABC的邊長為______．

【答案】10.5

【分析】先證明∠DBM=∠DCN=90°，如圖，延長AC至H，使CH=BM，連接DH，再證明△DBM≌△DCH

（SAS），證明△MDN≌△HDN（SAS），可得MN=HN=BM+CN，從而可得答案．

【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=60°，ABAC,

1

∵∠BDC=120°，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=×（180°-120°）=30°，∴∠DBM=∠DCN=90°，

2

如圖，延長AC至H，使CH=BM，連接DH，

∴∠DCH=90°，∴∠DBM=∠DCH，

ìBM=CH

?

在△DBM和△DCH中，íDDBM=DDCH，∴△DBM≌△DCH（SAS），∴DM=DH，∠BDM=∠CDH，

?

??DB=DC

∵∠BDM+∠CDN=60°，∴∠CDN+∠CDH=60°，∴∠MDN=∠HDN，

ìDM=DH

?

在△MDN和△HDN中，íDMDN=DHDN，∴△MDN≌△HDN（SAS），∴MN=HN=BM+CN，

?

??DN=DN

AM9，AN4，MN8，\AM+AN+MN=9+4+8=21=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

1

\AB=′21=10.5.即等邊三角形的邊長為：10.5.故答案為：10.5

2

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形

是解本題的關(guān)鍵．

例6．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90，E，F(xiàn)

1

分別是邊BC，CD上的點，且EAFBAD．請直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系：___________；

2

（2）如圖②，在四邊形ABCD中，ABAD，BD180，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且

1

EAFBAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；

2

（3）在四邊形ABCD中，ABAD，BD180，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點，且

1

EAFBAD．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

2

【答案】（1）EFBEFD；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，EFBEFD

【分析】（1）延長EB到G，使BGDF，連接AG．證明ABG≌ADF，則AGAF，12，

1

1323EAFBAD，證明AGE≌AFE(SAS)，得出EF=GE，由此可得EF=GE，

2

EFBEFD；

（2）思路和作輔助線的方法同（1）；

（3）根據(jù)（1）的證法，可得出DFBG，GEEF，那么EFGEBEBGBEDF．

【詳解】解：（1）延長EB至G，使BGDF，連接AG，

∵ABAD，ABGABCD90，BGDF，∴△ABG≌△ADF(SAS)，

1

∴AGAF，12，∴1323EAFBAD，∴GAEEAF，

2

AGAF

在AGE和△AFE中，∵GAEEAF，∴AGE≌AFE(SAS)，∴EGEF，

AEAE

∵EG=BE+BG，且BGFD∴EFBEFD，故答案為：EFBEFD．

（2）解：（1）中的結(jié)論仍成立，證明：如圖所示，延長CB至M，使BMDF，

∵ABCD180，1ABC180，∴1D，

ABAD

在ABM和△ADF中，1D，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AFAM，23，

BMDF

11

∵EAFBAD，∴24BADEAF，∴34EAF，即MAEEAF，

22

AMAF

在△AME和△AFE中，MAEEAF，∴AME≌AFE(SAS)，

AEAE

∴EFEM，即EFEMBEBMBEDF．

（3）EFBEFD，證明：如圖所示，在BE上截取BG使BGDF，連接AG，

∵BADC180，ADFADC180，∴BADF，

ABAD

在ABG和△ADF中，ABGADF，∴△ABG≌△ADF(SAS)，

BGDF

1

∴BAGDAF，AGAF，∴BAGEADDAFEADEAFBAD，∴GAEEAF，

2

AGAF

在△AEG和△AEF中，GAEEAF，∴AEG≌AEF(SAS)，∴EGEF，

AEAE

∵EGBEBG，且BGFD，∴EFBEFD．

【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有

明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形．

例6.（2023.山東八年級期中）綜合與實踐

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量

關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、

1

CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．

2

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，

1

若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．

2

【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析

【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，

∠ABM=∠M'BC，

在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BCM'+∠BCD=180°，

∴點M'、C、N三點共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，

∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，

∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；

（2）MN=AM+CN；理由如下：

如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點M'、C、N三點共線，

11

∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，

22

∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；

（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，

∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，

∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，

∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，

11

∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，

22

∵M'N=CN-CM'，∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．

模型2.半角模型（相似模型）

【常見模型及結(jié)論】

1）半角模型（正方形中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠EAF＝45°

AFAEEF

結(jié)論：如圖1，△AMN∽△AFE且2．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；

AMANMN

圖1圖2

結(jié)論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；

AFAC

結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且2；

AMAB

圖3圖4

結(jié)論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.

2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）

（1）含45°半角模型

圖1圖2

條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，ABCACBDAE45；

ABADCD2

結(jié)論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ABACBECD（ABBECD）

BEAEAC

（2）含60°半角模型

條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，ADEDAE60；

ADCEAC2

結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ADAEBDCE（DEBDCE）

BDAEAB

例1．（2023·山東濟南·九年級期中）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、DC邊上的兩點，且

EAF45，AE、AF分別交BD于M，N．下列結(jié)論：①AB2BNDM；②AF平分DFE；

③AMAEANAF；④BEDF2MN．其中正確的結(jié)論是（）

A．①②③④B．①②③C．①③D．①②

【答案】A

【分析】①轉(zhuǎn)證AB:BN=DM:AB，因為AB=AD，所以即證AB:BN=DM:AD．證明△ABN∽△MDA；②把△ABE

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ADH證明△AFH≌△AFE（SAS)；③即證AM:AN=AF:AE，證明△AMN∽△AFE(兩

角相等)；④由②得BE十DF=EF，當(dāng)E點與B點重合、F與C重合時，根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)論成立．

【詳解】①∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°，

∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，∠BAN=∠AMD．

又∠ABN=∠ADM=45°，△ABN∽△MDA，AB:BN＝DM:AD，

AD=AB，AB2BNDM．故①正確；

②如圖，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADH，

∠BAD=90°，∠EAF=45°，∠BAE+∠DAF=45°．∠EAF=∠HAF，

AE=AH，AF=AF，△AEF≌△AHF，

∠AFH=∠AFE，即AF平分∠DFE，故②正確；

③AB∥CD，∠DFA=∠BAN，

∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∠AFE=∠AMN，

又∠MAN=∠FAE，△AMN∽△AFE，

AM:AF=AN:AE，即AM·AE=AN·AF，故③正確；

④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE，過A作AO⊥BD，作AG⊥EF，

則△AFE與△AMN的相似比就是AG:AO，易證△ADF≌△AGF（AAS)，

則可知AGAD2AO，從而得證，故④正確，故選：A．

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、相似（包括全等)三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，綜合性

極強，難度較大．

例2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AD9，AB6，E，F(xiàn)分別為，CD邊

上的點．若EAF45，AE35，則DF的長為．

【答案】3

【分析】先做輔助線，作出相似三角形，再用等腰直角三角形的性質(zhì)，相似的判定和性質(zhì)即可求得DF的長．

【詳解】在AB上作點G，使BGBE，在AD上作點H，使DHDF，

2

BEAE2AB235623BGBE3

∵∴

又DB=90°EG2BE32，BGE45AGE180BGE18045135

設(shè)∵DHDF∴x,則AHADDH9x同理可∴得FH2DF2x，DHF45

AHF180DHF18045135AGEAHF135

∴GAEBADEAFDAF904∴5DAF45DAF

∵AFHDHFDAF45DAFGAEAFH

∴AGGE332

AGEAHF，GAEAFHAGEAHFx3DF3故填：3

HFAH2x9x

【∵點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等∴腰直角三角形的∴性質(zhì)，相似∴的判定與性質(zhì)∴，嚴格∴的邏輯思維時解題的

關(guān)鍵，做輔助線時解題的難點．

例3．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知ABC中，ACB90，ACBC，點D、E在邊

AB上，CE2BEDE．(1)求證：DCE45；(2)當(dāng)AC3，AD2BD時，求DE的長．

52

【答案】(1)見解析(2)

4

CEDE

【分析】（1）根據(jù)已知條件得出ABC=45，，又DECCEB，根據(jù)兩邊成比例夾角相等證

BECE

明DEC∽CEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

（2）過點D作DNAC于點N，勾股定理求得DC，由（1）可知DEC∽CEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

列出比例式，進而即可求解．

【詳解】（1）證明：∵ACB90，ACBC，∴ABCBAC45

CEDE

∵CE2BEDE∴，又∵DECCEB，∴DEC∽CEB，

BECE

∴DCECBEABC45，即DCE45；

（2）解：如圖，過點D作DNAC于點N，∴AND90，

∵DAN45，∴△ADN是等腰直角三角形，

ADAN2

∵DN∥BC，AD2BD，∴

ABAC3

∵AC3，∴BCAC3，AB32，ANDN2,CN1，

∵AD2BD，∴BD2，在Rt△DCN中，DCDN2CN25，

DEDC5

由（1）可知DEC∽CEB∴，

CEBC3

3x51052

設(shè)DE5x,CE3x，∴解得：x，∴DE5x．

25x344

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

例4．（2023·江蘇無錫·九年級期中）如圖，在ABC中，AB＝AC＝43，BAC＝120，點D、E都在邊BC

上，DAE＝60．若BD＝2CE，則DE的長為．

【答案】636/663

【分析】將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，由AB＝AC＝43，

BAC＝120，可得出BACB30，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出ECG60，結(jié)合CFBD2CE可得出

CEG為等邊三角形，進而得出△CEF為直角三角形，求出BC的長度以及證明全等找出DEFE，設(shè)ECx，

則BDCF2x，DEFE123x，在RtCEF中利用勾股定理可得出EFCF2EC23x，利用

FE=123x3x可求出x以及FE的值，此題得解．

【詳解】解：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示：

過點A作ANBC于點N，如圖，

∵AB＝AC＝43，BAC＝120，∴BNCN，BACB30．

1

在RtBAN中，B30，AB43，∴ANAB23，

2

∴BNAB2AN26，∴BC12．∴ACBBACF30，∴ECG60．

∵CFBD2CE，∴CGCE，∴CEG為等邊三角形，

1

∴EGCGFG，∴EFGFEGCGE30，∴△CEF為直角三角形．

2

∵BAC120，DAE60，∴BADCAE60，

∴FAEFACCAEBADCAE60．

AD＝AF

在VADE和△AFE中，DAE＝FAE，∴ADE≌AFESAS，∴DEFE．

AE＝AE

設(shè)ECx，則BDCF2x，DEFE123x，

在RtCEF中，CEF90，CF2x，ECx，EFCF2EC23x，

∴123x3x，∴x（233），∴DE3x636．故答案為：636．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過勾股定理找出關(guān)于x的方程

是解題的關(guān)鍵．

例5．（2023秋·江蘇泰州·九年級校考期末）（1）如圖1，D、E為等邊ABC中BC邊所在直線上兩點，

DAE120，求證：△ABD∽△ECA；（2）VADE中，DAE120，請用不含刻度的直尺和圓規(guī)在DE

上求作兩點B、C，點B在點C的左側(cè)，使得ABC為等邊三角形；

（3）在（1）的條件下，H為BC邊上一點，過H作HF∥AD交AB延長線于點F，HG∥AE交AC延長

HF

線于點G，若AB6，BDa，HAE60，求的值．（用含有a的代數(shù)式表示）

HG

36

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

a2

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ABDACE120，再由DAE120，可得

BADCAE60，從而得到DCAE，即可；

（2）作BADE,CAED，分別交DE于點B，C，即可；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及HAE60，可得BADGAH,FAHCAE，再由HF∥AD，可

36FHAH

得FBAD，再由△ABD∽△ECA，可得CE，F(xiàn)E，可證得AFH∽AEC，從而得到，

aCEAC

GHAHGHFH

同理AGH∽ADB，可得，從而得到，即可求解．

BDABBDCE

【詳解】（1）證明：∵ABC是等邊三角形，∴ABCACBBAC60，

∴ABDACE120，∴DBAD60，

∵DAE120，∴BADCAEDAEBAC60，

∴DCAE，∴△ABD∽△ECA；

（2）解：如圖，ABC即為所求；

理由：根據(jù)作圖得：BADE,CAED，

∴△ABD∽△ECA，∴ABDACE，∴∠ABCACB，

∵DAE120，∴DEDBAD60，DEECAE60，

∵ABCDBAD60，ACBECAE60，

∴ABCACB60，∴∠BAC∠ABC∠ACB60，∴ABC是等邊三角形；

（3）∵ABC是等邊三角形，∴BAC60，ABAC6，

∵HAE60，DAE120，∴DAHEAHBAC60，

∴BADGAH,FAHCAE，∵HF∥AD，∴FBAD，

ABBD

由（1）得：△ABD∽△ECA，∴，BADE,DEAC，

CEAC

6a36

∴，即CE，∴FE，∴AFH∽AEC，

CE6a

36

FHAHGHAHGHFH

∴，同理AGH∽ADB，∴，∴，∴HFCEa36．

CEACBDABBDCE

HGBDaa2

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

例6．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）綜合與實踐

數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓

展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗．讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．

折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，

如圖1．

（1）EAF_________，寫出圖中兩個等腰三角形：_________（不需要添加字母）；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的EAF繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q，連接PQ，如圖2．

（2）線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為_________；（3）連接正方形對角線BD，若圖2中的PAQ的

CQ

邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N．如圖3，則________；

BM

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．（4）求證：BM2DN2MN2．

【答案】（1）45，ABC，△ADC；（2）BPDQPQ；（3）2；（4）見解析

【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知：DAFFAC,BAEEAC，EAFFACEAC，根據(jù)正方形

1

的性質(zhì)：ABBCCDAD,BAD90DAFFACBAEEAC，則EAFBAD45，

2

ABC,ADC為等腰三角形；

（2）如圖：將△ADQ順時針旋轉(zhuǎn)90，證明△APQ≌△APQ全等，即可得出結(jié)論；

（3）證明△ACQ∽△ABM即可得出結(jié)論；

（4）根據(jù)半角模型，將△ADN順時針旋轉(zhuǎn)90，連接MN，可得DNBN，通過△AMN≌△AMN得出

MNMN，△BMN為直角三角形，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可知：DAFFAC,BAEEAC

ABCD為正方形BAD90，ABBCCDADABC,ADC為等腰三角形

BADDAFFACBAEEACBAD2FACEAC

11

EAFFACEACEAFBAD9045

22

（2）如圖：將△ADQ順時針旋轉(zhuǎn)90，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AQAQ，DQBQDAQBAQ由（1）中結(jié)論可得PAQ45

ABCD為正方形，BAD90BAPDAQ45

BAQBAP45PAQPAQ在△APQ和△APQ中

APAP

PAQPAQ△APQ≌△APQPQPQPQBQBPPQDQBP

AQAQ

（3）BD,AC為正方形ABCD對角線AC2AB

ABMACQ45，BAC45

PAQ45BAM45PAC，CAQ45PAC

CQAC

BAMCAQ△ABM∽△ACQ2

BMAB

（4）如圖：將△ADN順時針旋轉(zhuǎn)90，連接MN，

由（2）中的結(jié)論可證△AMN≌△AMNMNMN

D45,ABD45根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：DABN45，DNBN

MBNABDABN90在Rt△MBN中有BM2BN2MN2BM2DN2MN2

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，能夠綜合運用這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

例7．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）在矩形ABCD中，ADnAB，EAF（090），點E、F

分別是邊BC、CD上的點，過點F作FG∥BC，交直線AE于點G．

(1)如圖1：若AD6，n1，45，BE2，則EF________，SAEF________；

(2)如圖2：若n2，45，過點F作FG∥BC，交AE于點G，過E作EH∥AB，交AF于點H，求證：

FG2EH；(3)如圖3：若n2，BE2，DF3過點F作FG∥BC，交AE于點G，F(xiàn)G52，直

接寫出tan的值________．

【答案】(1)5，15(2)見詳解(3)46

【分析】（1）由n1，可得四邊形ABCD是正方形，將ABE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到△ADG，可求CG8，

可證△EAF≌△GAF，設(shè)EFx，由CE2CF2EF2，即可求解；

（2）過A作AMAE交CD的延長線于M，取AM的中點N，連接HN、GM，過M作MP∥HN交AF

于P，可得PM2HN，可證BAE∽DAM，可得AM2AE，可證EAH≌NAG，可得EHHN，

ANHAEH，設(shè)BAE，可證FPMPFM，由GAMGFM180，可證A、G、F、M

四點共圓，可得FGFM，從而可得證；（3）過A作AMAE交CD的延長線于M，連接GM，由（2）

BEAB1

得可證FMGEAF，，即可求解．

DMAD2

【詳解】（1）解：

n1，四邊形ABCD是正方形，BADCBADC90，

ABBCCDAD6，BAEDAF45，CE624，

如上圖，將ABE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到△ADG，

BEDG2，ADGB90，BAEDAG，

ADGADC180，G、D、F三點共線，

CG268，DAGDAF45，EAFGAF45，

AFAF

在△EAF和GAF中EAFGAF，△EAF≌△GAF(SAS)，EFGF，

AEAG

2

設(shè)EFx，則GFx，CF8x，CE2CF2EF2，428xx2，解得：x5，

11

EFGF5，SSGFAD5615．故答案：5，15．

AEFAGF22

（2）證明：如圖，過A作AMAE交CD的延長線于M，取AM的中點N，連接HN、GM，過M作MP∥HN

交AF于P，

EAM90，AHHP，ANHAMP，AM2AN，PM2HN，

四邊形ABCD是矩形，BADADCB90，ADMABE90，

AEF45，HANHAE45，BAE