猜想04：因式分解題型一：因式分解定義題型二：因式分解的方法題型三：因式分解在化簡(jiǎn)求值的應(yīng)用題型四：因式分解的應(yīng)用題型五：因式分解的綜合問(wèn)題題型一：因式分解定義1．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）下列各式從左到右的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的定義：“把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式”．根據(jù)因式分解的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，不是因式分解，不符合題意；B、不是因式分解，不符合題意；C、，原選項(xiàng)因式分解不徹底，不符合題意；D、是因式分解，符合題意；故選：D．2．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）下列變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查判斷是否是因式分解．根據(jù)將一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、是因式分解，符合題意；B、等式右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意；D、等式右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意；故選A．3．（23-24八年級(jí)上·陜西商洛·期末）下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義，因式分解是把多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式積的形式，據(jù)此對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】A選項(xiàng)：等式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)：，它不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)：等式右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；D選項(xiàng)：該變形符合因式分解的定義，是因式分解，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D4．（23-24八年級(jí)上·重慶·期中）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解的意義．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的意義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式．根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案．【詳解】解：A、是整式的乘法計(jì)算，故不符合題意；B、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故符合題意；C、沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故不符合題意；D、左右兩邊不相等，故不符合題意；故選：B．5．（23-24八年級(jí)上·福建泉州·期中）下列由左到右的變形，屬于因式分解的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了因式分解的意義，根據(jù)因式分解的定義：把整式分解為幾個(gè)整式乘積的形式，即可作出判斷．【詳解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，因而不是因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是因式分解，故本選項(xiàng)正確．故選：D．題型二：因式分解的方法6．（23-24八年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·期中）下列因式分解變形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解，一般來(lái)說(shuō)，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．根據(jù)提公因式分解因式可得出A錯(cuò)誤；根據(jù)平方差公式可得B錯(cuò)誤；根據(jù)完全平方公式可得C正確；根據(jù)十字相乘法可判斷D錯(cuò)誤．【詳解】A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，不符合平方差公式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故此選項(xiàng)正確；D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．7．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·期中）下列因式分解，錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查因式分解，根據(jù)因式分解的方法，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，正確；B、，正確；C、，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，正確；故選C．8．（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）下列各式的分解因式：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】本題考查了因式分解的運(yùn)用：分別運(yùn)用完全平方公式以及平方差公式進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：∵，∴①是正確的；∵，∴②是錯(cuò)誤的；∵，∴③是錯(cuò)誤的；∵，∴④是錯(cuò)誤的；正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：A9．（23-24八年級(jí)上·北京海淀·期中）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解是把多項(xiàng)式分解成幾個(gè)因式乘積的性質(zhì)，進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：，故A不符合要求；，故B不符合要求；，故C符合要求；不是乘積形式，故D不符合要求；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解的定義及方法．10．（20-21八年級(jí)下·河南鄭州·期中）將多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法與平方差公式進(jìn)行因式分解即可求解．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．11．（23-24八年級(jí)上·四川眉山·期中）因式分解：（提公因式法+公式法）（1）；（2）；（整體思想、公式法）（3）；（4）；（分組分解）（十字相乘法或配方法）（5）；（6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】本題考查了因式分解﹣分組分解法，十字相乘法，提公因式法與公式法，熟練掌握各種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．（1）提取公因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；（3）利用平方差公式分解即可；（4）把看作整體，利用完全平方公式分解即可；（5）利用十字相乘法分解即可；（6）分組分解，先利用平方差公式分解，再提取公因式繼續(xù)分解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．12．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·期中）因式分解(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解，即可求解；（2）先提公因式，然后根據(jù)平方差公式因式分解，即可求解；（3）根據(jù)平方差公式因式分解即可求解；（4）先分組，然后根據(jù)完全平方公式與平方差公式因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）原式（3）原式；（4）原式．題型三：因式分解在化簡(jiǎn)求值的應(yīng)用13．（23-24八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）下列算式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，靈活運(yùn)用平方差公式和完全平方公式是解答本題額關(guān)鍵．【詳解】解：A、，選項(xiàng)正確，不符合題意；B、，選項(xiàng)正確，不符合題意；C、，選項(xiàng)正確，不符合題意；D、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．14．（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）計(jì)算：．【答案】/【分析】接利用平方差公式把每一個(gè)算式因式分解，再進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于利用公式進(jìn)行計(jì)算．15．（22-23八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期中）小明將展開(kāi)后得到，小李將展開(kāi)后得到，若兩人計(jì)算過(guò)程無(wú)誤，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式可得，再利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可．【詳解】解：展開(kāi)可得：展開(kāi)可得：∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算”是解本題的關(guān)鍵．16．（22-23七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）先提公因數(shù)，再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.【詳解】（1）解：；（2）解：.【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法因式分解的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式17．（22-23七年級(jí)下·山西太原·階段練習(xí)）觀察下列各式，解答問(wèn)題：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；…第n個(gè)等式：______．（n為整數(shù)，且）【嘗試】(1)根據(jù)以上規(guī)律，寫(xiě)出第4個(gè)等式：______；【發(fā)現(xiàn)】(2)根據(jù)這個(gè)規(guī)律寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式，并說(shuō)明其正確性；【應(yīng)用】(3)利用以上規(guī)律，直接寫(xiě)出的值為_(kāi)_____．(4)利用以上規(guī)律，求的值．【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析；(3)4045；(4)9800【分析】（1）根據(jù)規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)規(guī)律可以得到第n個(gè)等式為，再根據(jù)整式的運(yùn)算即可證明結(jié)論正確性；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論即可得到；（4）逆用規(guī)律將原式變形為，再去括號(hào)進(jìn)行計(jì)算得到，利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)以上規(guī)律，第4個(gè)等式為；故答案為：；（2）解：根據(jù)這個(gè)規(guī)律猜想第n個(gè)等式為；證明：，∴猜想正確；（3）解：根據(jù)以上規(guī)律，；故答案為：4045；（4）解：=．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，整式的規(guī)律性問(wèn)題，整式的運(yùn)算，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算等知識(shí)，理解題意，找出規(guī)律是解題關(guān)鍵．18．（23-24八年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期中）整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種思想方法．下面是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的解題思路：將“”看成一個(gè)整體，令，則原式．再將“x”還原為“”即可．解題過(guò)程如下：解：設(shè)，則原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．問(wèn)題：(1)①該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒(méi)完成，請(qǐng)你直接寫(xiě)出最后的結(jié)果；②請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；(2)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試計(jì)算：．【答案】(1)①該同學(xué)沒(méi)有完成因式分解；最后的結(jié)果為；②(2)2024【分析】本題考查公式法分解因式，理解整體思想是解決問(wèn)題的前提，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征和必要的恒等變形是正確解答的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)因式分解的意義進(jìn)行判斷，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用換元法進(jìn)行因式分解即可；（2）設(shè)，，則原式，整體代入計(jì)算即可．【詳解】（1）①該同學(xué)沒(méi)有完成因式分解；設(shè)，則原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．∴最后的結(jié)果為．②設(shè)，原式．；（2）設(shè)，，則，，原式．題型四：因式分解的應(yīng)用19．（23-24八年級(jí)上·四川內(nèi)江·期中）若，則代數(shù)式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，由，，的代數(shù)式，求出，，的值，原式利用完全平方公式變形后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，，，，，，則，當(dāng)，，時(shí)，原式．故選：D．20．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期中）對(duì)于正整數(shù)，若（，且為整數(shù)），當(dāng)最小時(shí)，則稱(chēng)為的“最佳分解”，并規(guī)定如：12的分解有，，，其中，為12的最佳分解，則．若關(guān)于正整數(shù)的代數(shù)式也有同樣的最佳分解，則下列結(jié)果不可能的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了因式分解，關(guān)鍵是根據(jù)最佳分解列出方程確定方程有無(wú)解．是的最佳分解，再根據(jù)新定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】，，n為正整數(shù)，，，是的最佳分解，，A、當(dāng)時(shí)，，，是矛盾的則不可能存在，故此選項(xiàng)符合題意；B、當(dāng)時(shí)，，則選項(xiàng)可能存在，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，，則選項(xiàng)可能存在，故此選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，，則選項(xiàng)可能存在，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．21．（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期中）已知，，則的值為（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】本題考查了因式分解，二次根式的混合運(yùn)算．先將代數(shù)式化為，再把、的值代入計(jì)算，即可得到答案．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故選：B．22．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期中）已知，．求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（）化簡(jiǎn)，因式分解，把化簡(jiǎn)后的的值代入計(jì)算即可求解；（）把轉(zhuǎn)化為，再把化簡(jiǎn)后的的值代入計(jì)算即可求解；本題考查了因式分解，分母有理化，掌握平方差公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴，；（2）解：，，，，，，，．23．（23-24八年級(jí)上·北京東城·期中）【例題講解】因式分解：．∵為三次二項(xiàng)式，若能因式分解，則可以分解成一個(gè)一次二項(xiàng)式和一個(gè)二次多項(xiàng)式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，即，展開(kāi)等式右邊得：，∴恒成立．∴等號(hào)左右兩邊的同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，即，解得，∴．【方法歸納】設(shè)某一多項(xiàng)式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)，利用當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式為恒等式時(shí)，同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數(shù)法．【學(xué)以致用】(1)若，則__________；(2)若有一個(gè)因式是，求k的值及另一個(gè)因式．【答案】(1)1(2)，另一個(gè)因式為：．【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式的乘法，因式分解等知識(shí)，掌握題干給出的待定系數(shù)法，是解答本題的關(guān)鍵．（1）將展開(kāi)，結(jié)合多項(xiàng)式的恒等關(guān)系即可求解；（2）設(shè)多項(xiàng)式另一個(gè)因式為，利用題干給出的待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，（2）設(shè)多項(xiàng)式另一個(gè)因式為，則，，，，，，即另一個(gè)因式為：．24．（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期中）閱讀以下文字并解決問(wèn)題：對(duì)于形如這樣的二次三項(xiàng)式，我們可以直接用公式法把它分解成的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式，就不能直接用公式法分解了．此時(shí)，我們可以在中間先加上一項(xiàng)9，使它與的和構(gòu)成一個(gè)完全平方式，然后再減去9，則整個(gè)多項(xiàng)式的值不變．即：，像這樣，把一個(gè)二次三項(xiàng)式變成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．(1)利用“配方法”因式分解：．(2)若，，求：①，②的值．(3)如果，求的值．【答案】(1)(2)①19②343(3)8【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次冪，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解本題的關(guān)鍵．（1）原式變形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式變形，代入計(jì)算即可；（3）已知等式左邊配方后，利用完全平方公式變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，，；，，，，；（3）解：，，，，，．題型五：因式分解的綜合問(wèn)題25．（19-20八年級(jí)下·四川成都·期中）已知，，為有理數(shù)，且多項(xiàng)式能夠?qū)懗傻男问剑?）求的值．（2）求的值．（3）若，，為整數(shù)，且，試求，，的值．【答案】（1）；（2）；（3），，．【分析】（1）因?yàn)槭堑囊粋€(gè)因式，所以方程的解方程的解，代入解即可求得；（2）根據(jù)（1）中a、b、c的關(guān)系即可求得；（3）根據(jù)（1）中a、b、c的關(guān)系，和，，為整數(shù)，即可求得．【詳解】（1）是的一個(gè)因式，，即，是方程的解，，得：③，．（2）由③得：④，④代入①得：⑤，．（3），，，解得：，又，均為大于的整數(shù)，可取的值有，，，，，又為正整數(shù)，，，則，，，．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式的因式和一元二次方程，掌握多項(xiàng)式與因式之間的關(guān)系并正確求出系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．（23-24八年級(jí)上·北京西城·期中）我們有公式：．反過(guò)來(lái)，就得到可以作為因式分解的公式：．如果有一個(gè)關(guān)于的二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式，它的常數(shù)項(xiàng)可以看作兩個(gè)數(shù)與的積，而它的一次項(xiàng)的系數(shù)恰是與的和，它就可以分解為，也就是說(shuō)：當(dāng)，時(shí)，有．例如：；；；．下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過(guò)程．解：設(shè)，則原式．(1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？（填“是”或“否”）．若不徹底，請(qǐng)直接寫(xiě)出因式分解的最后結(jié)果．(2)請(qǐng)你運(yùn)用上述公式并模仿以上方法，嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)否，(2)【分析】本題考查了十字相乘法，掌握整體思想是解題關(guān)鍵．（1），故可繼續(xù)分解；（2）設(shè)，原式可分解為；將代入可繼續(xù)分解．【詳解】（1）解：設(shè)，則原式故答案為：否，（2）解：設(shè)，則原式，∴27．（23-24八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）閱讀材料：把代數(shù)式因式分解，可以如下分解：(1)探究：請(qǐng)你仿照上面的方法，把代數(shù)式因式分解；(2)拓展：求當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，代數(shù)式．【答案】(1)(2)1或【分析】本題主要考查了因式分解，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式．（1）根據(jù)題目中給出的方法分解因式即可；（2）先將分解因式得出，根據(jù)得出或，求出的值即可．【詳解】（1）解：；（2）；，當(dāng)或時(shí)，，或時(shí)，，或時(shí)，．28．（23-24八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(7)；(8)；(9)．【答案】【小題1】【小題2】【小題3】【小題4】【小題5】【小題6】【小題7】【小題8】【小題9】【分析】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．（1）先提取公因式再利用公式法分解因式即可；（2）直接利用公式法分解因式即可；（3）直接找出各式的公因式進(jìn)而提取公因式分解因式即可；（4）直接找出各式的公因式進(jìn)而提取公因式分解因式即可；（5）直接利用公式法分解因式即可；（6）直接利用公式法分解因式即可；（7）直接利用公式法分解因式即可；（8）直接利用公式法分解因式即可；（9）直接利用公式法分解因式即可．【詳解】（1）；（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）29．（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期中）閱讀以下材料：目前我們掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．對(duì)于，它不是完全平方式，所以無(wú)法用公式法進(jìn)行因式分解．現(xiàn)在介紹一種“湊數(shù)法”對(duì)此類(lèi)代數(shù)式在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：第一步，因式分解是整式乘法的逆過(guò)程，最高含有的二次項(xiàng)，所以看作由得到；第二步，去括號(hào)，和對(duì)比發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)為1，二次項(xiàng)由和相乘得出，所以（為了計(jì)算簡(jiǎn)便，往往取整數(shù)）；第三步，繼續(xù)把和對(duì)比，發(fā)現(xiàn)，兩數(shù)之積為2，和為3，就不難湊出，，檢驗(yàn)一下：，換個(gè)方向?qū)懢褪且蚴椒纸饬耍?qǐng)使用上述方法回答下列問(wèn)題：(1)因式分解：①；②；(2)對(duì)關(guān)于的多項(xiàng)式因式分解：．【答案】(1)①②(2)【分析】本題