[重點(diǎn)保分兩級(jí)優(yōu)選練]A級(jí)一、選擇題1．(2017·南開(kāi)模擬)下列命題正確的是()A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行答案C解析若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯(cuò)誤；一個(gè)平面內(nèi)不共線且在另一個(gè)平面同側(cè)的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面，兩平面可以平行，也可以相交，故D錯(cuò)誤；故選C.2．下列命題中，錯(cuò)誤的是()A．三角形的兩條邊平行于一個(gè)平面，則第三邊也平行于這個(gè)平面B．平面α∥平面β，a?α，過(guò)β內(nèi)的一點(diǎn)B有唯一的一條直線b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α，β，γ，δ的交線為a，b，c，d，則a∥b∥c∥dD．一條直線與兩個(gè)平面成等角是這兩個(gè)平面平行的充要條件答案D解析D錯(cuò)誤，當(dāng)兩平面平行時(shí)，則該直線與兩個(gè)平面成等角；反之，如果一條直線與兩個(gè)平面成等角，這兩個(gè)平面可能是相交平面，如圖，α⊥β，直線AB與α，β都成45°角，但α∩β＝l.故選D.3．(2017·福建聯(lián)考)設(shè)l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α；②若m⊥l，m⊥α，則l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，則l∥m.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析對(duì)①，兩條平行線中有一條與一平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直，故①正確；對(duì)②，直線l可能在平面α內(nèi)，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，三條交線除了平行，還可能相交于同一點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷其正確．綜上①④正確．故選B.4．(2017·昆明七校模擬)一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N，則MN與平面BDH的關(guān)系是()A．MN∩平面BDH＝M B．MN?平面BDHC．MN∥平面BDH D．MN⊥平面BDH答案C解析連接BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OM，OH，AC，BH，MN，如圖所示．∵M(jìn)，N分別是BC，GH的中點(diǎn)，∴OM∥CD，且OM＝eq\f(1,2)CD，NH∥CD，且NH＝eq\f(1,2)CD，∴OM∥NH，OM＝NH，則四邊形MNHO是平行四邊形，∴MN∥OH，又MN?平面BDH，OH?平面BDH，∴MN∥平面BDH.故選C.5．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則△A′B′C′與△ABC面積的比為()A．2∶5B．3∶8C．4∶9D．4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′與△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.故選D.6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，若A1M＝AN＝eq\f(2a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定答案B解析連接CD1，在CD1上取點(diǎn)P，使D1P＝eq\f(2a,3)，∴MP∥BC，PN∥AD1.∴MP∥平面BB1C1C，PN∥平面AA1D1D.∴平面MNP∥平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.故選B.7．(2018·宜昌一模)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，過(guò)MN作一平面交底面三角形ABC的邊BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則()A．MF∥NEB．四邊形MNEF為梯形C．四邊形MNEF為平行四邊形D．A1B1∥NE答案B解析在平行四邊形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1.所以AM綊BN，所以MN綊AB，又MN?平面ABC，AB?平面ABC，所以MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，所以MN∥EF，所以EF∥AB，顯然在△ABC中，EF∥MN，EF≠M(fèi)N，所以四邊形MNEF為梯形．故選B.8．(2017·安徽阜陽(yáng)一中模擬)過(guò)平行六面體ABCD－A1B1C1D1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面DBB1D1平行的直線共有()A．4條 B．6條C．8條 D．12條答案D解析如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N，P，Q分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，容易證明平面EFGH，平面MNPQ均與平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ中分別有6條直線(相應(yīng)四邊形的四條邊和兩條對(duì)角線)滿足要求，故共有12條直線符合要求．故選D.9．(2018·河南三市聯(lián)考)如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動(dòng)，始終保持MN∥平面DCC1D1，設(shè)BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()答案C解析過(guò)M作MQ∥DD1，交AD于Q，連接QN.∵M(jìn)N∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，又平面ABCD與平面MNQ和DCC1D1分別交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x.∵eq\f(MQ,AQ)＝eq\f(DD1,AD)＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，∴函數(shù)y＝f(x)的圖象為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上支的一部分．故選C.10．(2018·昆明模擬)在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為()A.eq\f(45,2) B.eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)答案A解析取AC的中點(diǎn)G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因?yàn)镾B∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點(diǎn)，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).故選A.二、填空題11．如圖，四邊形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中點(diǎn)，BD與平面α交于點(diǎn)N，AB＝4，CD＝6，則MN＝________.答案5解析∵AB∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是AC的中點(diǎn)，∴MN是梯形ABDC的中位線，故MN＝eq\f(1,2)(AB＋CD)＝5.12．如圖所示，在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．答案平面ABC、平面ABD解析連接AM并延長(zhǎng)，交CD于E，連接BN，并延長(zhǎng)交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，連接MN，由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.13．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1cm，過(guò)AC作平行于對(duì)角線BD1的截面，則截面面積為_(kāi)_______cm2.答案eq\f(\r(6),4)解析如圖所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F為AC與BD的交點(diǎn)，∴E為DD1的中點(diǎn)，∴S△ACE＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),4)(cm2)．14．如圖，在正四棱柱A1C中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)答案M位于線段FH上(答案不唯一)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.B級(jí)三、解答題15．(2018·石家莊質(zhì)檢二)如圖，在三棱柱ABC－DEF中，側(cè)面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABE＝eq\f(π,3)，BC＝eq\f(\r(21),2).點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，且點(diǎn)G在AE上，F(xiàn)G＝eq\r(3)，點(diǎn)M在線段CF上，且CM＝eq\f(1,4)CF.(1)證明：直線GM∥平面DEF；(2)求三棱錐M－DEF的體積．解(1)證明：∵點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE.又BC＝eq\f(\r(21),2)＝EF，F(xiàn)G＝eq\r(3)，∴GE＝eq\f(3,2).∵四邊形ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABE＝eq\f(π,3)，∴AE＝2，∴AG＝eq\f(1,2).如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AD交DE于點(diǎn)H，連接FH.則eq\f(GH,AD)＝eq\f(GE,AE)，∴GH＝eq\f(3,2)，由CM＝eq\f(1,4)CF得MF＝eq\f(3,2)＝GH.易證GH∥AD∥MF，∴四邊形GHFM為平行四邊形，∴MG∥FH.又GM?平面DEF，∴GM∥平面DEF.(2)由(1)知GM∥平面DEF，連接GD，則有VM－DEF＝VG－DEF.又VG－DEF＝VF－DEG＝eq\f(1,3)FG·S△DEG＝eq\f(1,3)FG·eq\f(3,4)S△DAE＝eq\f(3,4)，∴VM－DEF＝eq\f(3,4).16．(2018·鄭州質(zhì)檢二)如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝eq\f(1,3)AB＝1，M為AB的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB，AC.(1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD∥平面MPC?(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離．解(1)當(dāng)AP＝eq\f(1,3)AB時(shí)，有AD∥平面MPC.理由如下：連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP.在梯形MBCD中，DC∥MB，eq\f(DN,NB)＝eq\f(DC,MB)＝eq\f(1,2)，∵△ADB中，eq\f(AP,PB)＝eq\f(1,2)，∴AD∥PN.∵AD?平面MPC，PN?平面MPC，∴AD∥平面MPC.(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，平面AMD中AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD.∴VP－MBC＝eq\f(1,3)×S△MBC×eq\f(AM,2)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).在△MPC中，MP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(5),2)，MC＝eq\r(2)，又PC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋12)＝eq\f(\r(5),2)，∴S△MPC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),4).∴點(diǎn)B到平面MPC的距離為d＝eq\f(3VP－MBC,S△MPC)＝eq\f(3×\f(1,6),\f(\r(6),4))＝eq\f(\r(6),3).17．(2018·簡(jiǎn)陽(yáng)市模擬)如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥PC；(2)求證：平面MNQ∥平面PBC.證明(1)由題意：P－ABCD是四棱錐，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別是PA，BD，PD的