5.2簡單的軸對稱圖形第五章

圖形的軸對稱

第3課時

角平分線

1.掌握角的平分線有關(guān)性質(zhì).2.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.3.會用尺規(guī)作角的平分線.探究新知思考：角是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸是什么？探究新知如果把∠AOB沿OC翻折，使得AO與BO重合，發(fā)現(xiàn)OC平分∠AOB，即∠AOC

=∠BOC.OBAC結(jié)論：角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.角平分線的性質(zhì)

如圖所示OP是∠AOB的平分線，點C是OP上的任意一點。在∠AOB中畫出以O(shè)P所在直線為對稱軸的一組對應(yīng)點D和D',連接CD和CD'。(1)你認(rèn)為線段CD和CD'之間有什么關(guān)系?說說你的理由。思考

DOCD'ABP(2)特別地，當(dāng)CD⊥OA時(如圖所示),CD'與OB有怎樣的位置關(guān)系?為什么?此時，線段CD和CD'之間還有(1)中的關(guān)系嗎?由此你能得到什么結(jié)論?DOCD'BAP驗證猜想已知：如圖，

∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.試說明：PD=PE.CAOBPDE角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.幾何語言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）因為如下左圖，AD平分∠BAC（已知），

所以

=

，

BDCDBADC(2)因為如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

所以

=

,

BDCDBADC練一練（1）

如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE（2）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，

AB=14.則點P到AB的距離為_______.ABCDEF

例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且∠B=∠C，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分別為E，F(xiàn).試說明：EB=FC.如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.試說明：PM＝PN.變式訓(xùn)練思考如圖所示,已知∠AOB如何作出它的平分線?OAB（2）如何確定這條射線上除端點之外的一個點?用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具試一試。如果只用尺規(guī)呢?與同伴進(jìn)行交流。假設(shè)∠AOB的平分線已作出，那么（1）這條射線有什么特征?利用尺規(guī)，作∠AOB的平分線．已知：∠AOB．求作：射線

OC，使∠AOC=∠BOC．下面我們探究用尺規(guī)作角的平分線2．分別以D，E為圓心．大于

DE的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于C．作法：1．在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD=OE．3．作射線OC．OC就是∠AOB的平分線．

OBACED你能說說這樣做的道理嗎？角平分線性質(zhì)定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段(距離)相等輔助線添加過角平分線上一點向兩邊作垂線段尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握課堂小結(jié)2．如圖，點P是∠AOB的平分線OC上一點，PD⊥OB，垂足為D。若PD＝2，則點P到邊OA的距離是(

)A．4B．3C．2D．11．如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E。若PD＝6，則PE的長為(

)A．5B．6C．7D．8課堂練習(xí)3.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AC，垂足為點E，若BD=3，則DE的長為（

）A．3

B．1.5

C．2

D．64.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是(

)AOBPA.PA=PB

B.PO平分∠APBC.OA=OB

D.AB垂直平分OP5.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASA

C.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCO6.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3BCEAD7.如圖所示，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA=2，則PQ的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4OANPMQ·8.小穎想要制作一個如圖①所示的風(fēng)箏，她抽象出風(fēng)箏外形如圖②所示，中間骨架(OC)是兩邊骨架(OA和OB)構(gòu)成的夾角(銳角)的平分線，且OC兩側(cè)彩色條紋DE⊥OA，DF⊥OB，已知OE＝30

cm，DF＝25

cm，若小穎打算給陰影部分涂上顏色，則涂色部分的面積為

cm2.9．如圖，已知AB＝AC，BC＝6，按尺規(guī)作圖痕跡可求出BD的長為(

)A．2B．3C．4D．510．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC。若BC＝8，則△DEC的周長是

。

11.如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，在BA，BC上分別截取線段BE，BF，使BE=BF；分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于

EF的長為半徑畫弧，在∠ABC內(nèi)，兩弧交于點P，作射線BP，交AD于點M，過點M作MN⊥AB于點N.

若MN=2，AD=4MD，則AM=

.EF12.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若AB=10，BC=8，AC=6，求BE，AE的長和△AED的周長.ECBAC13．如圖，∠1＝∠2，AE⊥OB于點E，BD⊥OA于點D，AE與BD相交于點C。AC與BC相等嗎？為什么？

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，若AE＝6，DE＝3，BD＝5。(1)求CD的長；(2)求△ADB的面積。

15.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).試說明：CE=CF.

16．兩個城鎮(zhèn)A，B與一條公路CD，一條河流CE的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊，要求該山莊到A，B的距離必須相等，到CD和CE的距離也必須相等，且在∠DCE的內(nèi)部，請畫出該山莊的位置P。(尺規(guī)作圖：保留作圖痕跡，不寫作法)解：如圖所示，點P即為所求。答圖

17.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.因為

AD∥BC，所以MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.因為AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，所以PM=PE.同理，PN=PE.所以PM=PN=PE=3.所以MN=6.即AD與BC之間的距離為6.

所以點P到BC的距離為4。所以PA＝PD＝PE＝4。因為PA＋PD＝AD＝8，所以PA＝PE，PD＝PE。所以PE＝PA＝PD。因為BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，因為AB∥CD，PA⊥AB，所以PD⊥CD。答圖解：如圖，過點P作PE⊥BC于點E。18．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點P，且與AB垂直，若AD＝8，求點P到BC的距離。答圖19．【思想方法·輔助線】如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，請說明：AD＝CD。