第第頁(yè)江蘇省常州市金壇區(qū)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z1=iA．1?i2 B．1+i2 C．?1?i22．運(yùn)動(dòng)員甲10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)說(shuō)法不正確的是（）.A．眾數(shù)為7和9 B．平均數(shù)為7C．中位數(shù)為7 D．方差為s3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）.A．若m//n，m//α，則n//α B．若m⊥α，α⊥β，則m//βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α//β D．若m//n，α//β，m⊥α，則n⊥β4．甲、乙兩人獨(dú)立地解決某個(gè)數(shù)學(xué)難題，甲解決出該難題的概率為0.4，乙解決出該難題的概率為0.5，則該難題被解決出的概率為（）.A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.25．已知a=22(cos1°?A．b>a>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a6．設(shè)平面向量a，b滿足|a|=12，b=(2，5)，A．32 B．332 7．如圖，一個(gè)底面半徑為2a的圓錐，其內(nèi)部有一個(gè)底面半徑為a的內(nèi)接圓柱，且此內(nèi)接圓柱的體積為3πA．233πa3 B．838．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，若4S=(b+c)A．2π3 B．π2 C．π3二、多選題9．設(shè)向量a，b滿足|a|=|bA．?a，bC．|a?b10．某教育局對(duì)全區(qū)高一年級(jí)的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，他們的身高都處在A，B，C，D，E五個(gè)層次內(nèi)，根據(jù)抽樣結(jié)果得到統(tǒng)計(jì)圖表如下，則下列結(jié)論正確的是（）.A．男生人數(shù)為80人 B．B層次男女生人數(shù)差值最大C．D層次男生人數(shù)多于女生人數(shù) D．E層次女生人數(shù)最少11．已知復(fù)數(shù)z1=a+bi，復(fù)數(shù)z2=cosθ+isinθ，其中A．g(θ)=asinθ+bcosθ C．若f(θ)=2sin(π6?θ)，則a=1，b=3 D．若a=1，b=12．如圖，二面角α?l?β的大小為120°，點(diǎn)A，B在二面角的棱l上，過(guò)點(diǎn)A，B分別在平面α和β內(nèi)作直線l的垂線段AC和BD，且AC=6，BD=8，AB=43A．異面直線AC和BD的所成之角為120°B．CD=14C．點(diǎn)C到平面β與點(diǎn)D到平面α的距離之比為3D．異面直線AB和CD的之間距離是12三、填空題13．已知A，B是相互獨(dú)立事件，且P(A)=0.3，P(B)=014．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD和BC的中點(diǎn)，若λAB+μDC+2EF=15．在△ABC中，邊AB、AC的長(zhǎng)度分別為5、12，現(xiàn)在從{8，9，10，?，16．已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且滿足AB=BC=6，∠ABC=π2四、解答題17．一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)形狀大小和質(zhì)地完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，求“取出的兩球編號(hào)之和大于4”的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號(hào)x，將球放回，再?gòu)暮兄腥稳∫磺?，記下該球的編?hào)y，求事件“|x?y|≤2”發(fā)生的概率.18．已知a，b為平面向量，且a=(1（1）若a⊥b，且|b（2）若b=(?3，2)，且向量k19．某城市缺水問(wèn)題比較嚴(yán)重，市政府計(jì)劃對(duì)居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)，為了解家庭用水量的情況，相關(guān)部分在某區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100戶居民的月平均用水量（單位：噸）得到如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[1220.22[4xy[7160.16[10100.10[1360.06[1660.06[195z[2220.02[2520.02合計(jì)1001（1）求上表中x，y，z的值；（2）試估計(jì)該區(qū)居民的月平均用水量；（3）從上表中月平均用水量不少于22.5噸的4戶居民中隨機(jī)抽取2戶調(diào)查，求2戶居民來(lái)自不同分組的概率.20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//CD，∠BAD=π4，AB=AD=13CD=3（1）求證：PB//平面AEC；（2）求直線AE與平面PCD所成的角.21．如圖，AC是平面四邊形ABCD的一條對(duì)角線，且在△ADC中，2AD?DC=A（1）求角D的大??；（2）若∠BAD=π3，∠ABC=5π6，AB=2，22．如圖①，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，∠A=60°，∠ABD=90°，∠CBD=45°，如圖②，將△ABD沿邊BD翻折至△A'BD，使得平面A'BD⊥平面BCD，過(guò)點(diǎn)B作一平面與A（1）求證：BE⊥平面A'（2）求點(diǎn)E到平面A'

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵則z1在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為設(shè)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，由于點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴B即復(fù)數(shù)z為：1?i2故答案為：A.

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z1=?12．【答案】C【解析】【解答】由題意，這組數(shù)據(jù)中7和9都出現(xiàn)3次，其余數(shù)出現(xiàn)次數(shù)沒(méi)超過(guò)3次，故眾數(shù)為7和9，A正確，不符合題意；計(jì)算平均數(shù)為7+8+9+7+4+8+9+9+7+210將10次射擊成績(jī)從小到大排列為：2，4，7，7，7，8，8，9，9，9，則中位數(shù)為7+82方差為s2D正確，不符合題意，故答案為：C

【分析】根據(jù)眾數(shù)的含義可判斷A；計(jì)算出平均數(shù)判斷B，算出中位數(shù)判斷C；計(jì)算出方差判斷D.3．【答案】D【解析】【解答】A：m//n，m//α，則n//α或n?α，錯(cuò)誤；B：m⊥α，α⊥β，則m//β或m?β，錯(cuò)誤；C：α⊥γ，β⊥γ，則α，β相交或平行，錯(cuò)誤；D：m//n，m⊥α，則n⊥α，又α//β，故n⊥β，正確.故答案為：D

【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷A、B、C，由線面垂直、面面平行的性質(zhì)判斷D即可.4．【答案】C【解析】【解答】由題意可知甲不能解決該難題的概率為1-0.4=0.6，乙不能解決出該難題的概率為1-0.5=0.5，故該難題被解決出的概率為1?0.故答案為：C

【分析】求出甲乙兩人分別解決不了難題的概率，即可求得該難題不能被解決即甲乙兩人同時(shí)都解決不了該難題的概率，根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算，可得答案.5．【答案】B【解析】【解答】a=cosb=1?c=sin所以c>b>a.故答案為：B

【分析】利用和差角正弦公式及商數(shù)關(guān)系可得a=sin44°、b=sin6．【答案】A【解析】【解答】由題意可知：b在a上投影向量為a?故b在a上投影向量的模為|1故答案為：A

【分析】表示b在a上投影向量，結(jié)合已知條件即可求得答案.7．【答案】B【解析】【解答】作出該幾何體的軸截面如圖示：AB為圓錐的高，設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，而BC=2a，因?yàn)閮?nèi)接圓柱的體積為3πa3則?=3由于AB∥ED，故△CAB∽△CED，則?AB即3aAB=所以圓錐體積為V=1故答案為：B

【分析】作出該幾何體的軸截面，求出內(nèi)接圓柱的高，利用三角形相似求出圓錐的高，即可求的其體積.8．【答案】B【解析】【解答】由4S=(b+c)2?即2bcsinA=2bccos所以2sin因?yàn)锳∈(0，π)由于A∈(0，故答案為：B

【分析】由4S=(b+c)2?a29．【答案】C,D【解析】【解答】解：|a|=∴(∴a∴cos又0??a，b∴|a∴|a∴|a故答案為：CD．

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得(a?3b)210．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由條形圖知，抽取女生學(xué)生有18+48+30+18+6=120（人），所以抽取男生有200?120=80（人），選項(xiàng)A正確；B層次的男生有80×(1?10%?15%D層次的男生有12（人），女生有18人，男生人數(shù)少于女生，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；E層次的女生人數(shù)最少，選項(xiàng)D正確．故答案為：ABD．

【分析】根據(jù)條形圖求出抽取女生人，得出抽取男生人，再對(duì)照?qǐng)D表判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．11．【答案】A,C,D【解析】【解答】由題意知：z==acos故f(θ)=acosθ?bsin若f(θ)=2sin(π則a=1，b=3若a=1，b=3，且g(θ)=2，即g(θ)=即2sin(θ+π3)故答案為：ACD

【分析】根據(jù)z=z1z2=(a+bi)?(cosθ+isinθ)12．【答案】B,C,D【解析】【解答】對(duì)A，因?yàn)榫€線角的范圍為[0對(duì)B，過(guò)ABC作矩形ABEC如圖，則AC∥EB，故∠EBD=120°，且AB⊥平面EBD.由余弦定理，DE2=DB2+BE2?2DB?EB?(?對(duì)C，由題意，CA⊥l，BD⊥l，故點(diǎn)C到平面β與點(diǎn)D到平面α的距離之比為AC?sin對(duì)D，同B中圖，因?yàn)锳B∥CE，故AB//平面CDE，又CD?平面CDE，故異面直線AB和CD的之間距離即AB到平面CDE的距離.因?yàn)椤螮BD為二面角α?l?β，故AB到平面CDE的距離即B到平面ED的距離設(shè)為?，則根據(jù)三角形的面積公式有12BE?BD?sin12故答案為：BCD

【分析】對(duì)A，根據(jù)線線角的范圍判斷即可；

對(duì)B，過(guò)ABC作矩形ABEC，根據(jù)二面角的性質(zhì)結(jié)合余弦定理求解即可；

對(duì)C，根據(jù)二面角的性質(zhì)可得點(diǎn)C到平面β與點(diǎn)D到平面α的距離之比為AC?sin120°：BD?sin120°再計(jì)算即可；13．【答案】0.12【解析】【解答】由題意，P(B)=1?P(B)=0故答案為：0.12

【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可.14．【答案】-2【解析】【解答】解：∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴EA+ED又∵AB∴EF同理EF=由①+②得，2EF整理得：?AB又λ∴λ=μ=?1∴λ+μ=?2故答案為：-2.

【分析】由E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，根據(jù)相反向量的定義，易得EA+ED=0，F(xiàn)B+15．【答案】2【解析】【解答】由題意可知：7<BC<17，從{8，9，要使△ABC為鈍角三角形，需滿足：52+BC即BC<119或BC>13故△ABC為鈍角三角形的概率為69故答案為：2

【分析】計(jì)算出使得△ABC為鈍角三角形時(shí)，BC的可能取值有多少種，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算16．【答案】16π【解析】【解答】如圖示：由題意知△ABC是等腰直角三角形，AC為截面圓的直徑，則外接球的球心O在截面ABC上的射影為AC的中點(diǎn)D，當(dāng)P，O，D三點(diǎn)共線，且P，O位于截面ABC的同一側(cè)時(shí)，棱錐體積最大，此時(shí)棱錐的高為PD，且高此時(shí)最大，故13×1設(shè)外接球半徑為R，則OD=3?R，在Rt△ODC中，DC=12AC=解得R=2，所以外接球的表面積為4πR故答案為：16π

【分析】確定三棱錐體積取最大值時(shí)頂點(diǎn)的位置，根據(jù)體積求得其高，繼而利用勾股定理求得外接球的半徑，即可求得答案.17．【答案】（1）解：從盒中任取兩球的所有等可能基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，記取出的兩球編號(hào)之和大于4的事件為A，則事件A包含(1，4)，(2，3)，所以P(答：從盒中任取兩球，取出的兩球編號(hào)之和大于4的概率為2（2）解：有放回地連續(xù)抽取兩球的所有等可能基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，記|x?y|≤2的事件為B，則事件B包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，所以P(答：事件“|x?y|≤2”發(fā)生的概率為78【解析】【分析】（1）列舉出從盒中任取兩球的所有等可能基本事件，再列出取出的兩球編號(hào)之和大于4的事件，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案；

（2）列出有放回地連續(xù)抽取兩球的所有等可能基本事件，列出事件“|x?y|≤2”發(fā)生的所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.18．【答案】（1）解：設(shè)b=(x，y又因?yàn)閍⊥b，所a?由①②聯(lián)立得x2+y2=2則所求向量b的坐標(biāo)為(4，2)（2）解：因?yàn)閍=(1，?2)所以ka?b又因?yàn)橄蛄縦a?b與a解之得k=?【解析】【分析】（1）設(shè)b=(x，y)，根據(jù)平面向量垂直和平面向量的模長(zhǎng)公式可得出關(guān)于x、y的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出向量b的坐標(biāo)；

（2）計(jì)算出向量19．【答案】（1）解：由題意可得x=100?(則y=x又z=1?（2）解：利用組中值估計(jì)該區(qū)居民的月平均用水量為x+24×0（3）解：記從上表中月平均用水量不少于22.5噸的4戶居民中隨機(jī)抽取2戶調(diào)查，且2戶居民來(lái)自不同分組的事件為A，設(shè)[22.5，25.5)中的2戶為A，B，[25.5【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)和為100計(jì)算可得x=31，進(jìn)而根據(jù)概率求得y=0.31，再根據(jù)頻率和為1求得z=0.05；20．【答案】（1）證明：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，因?yàn)樵诘酌鍭BCD中，AB//CD，所以BFFD=AB則在△BDP中，BFFD故EF//PB，又因?yàn)镋F?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB//平面AEC（2）解：過(guò)點(diǎn)A作直線CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)EG，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，又AG，AD?平面所以AG⊥PD，AD⊥PD，又因?yàn)锳G⊥CD，且PD∩CD=D，PD，CD?平面所以AG⊥平面PDC，則∠AEG即為直線AE與平面PDC所成的角，又因?yàn)镋G?平面PDC，所以AG⊥EG，又在直角三角形ADE中，AE=A在直角三角形AGD中，AG=AD×sin在直角三角形AGE中，sin∠AEG=因?yàn)椤螦EG∈(0，即所求直線AE與平面PCD所成之角為π6【解析】【分析】（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，由AB//CD，結(jié)合BFFD=PEED=13，得到EF//PB，再利用線面平行的判定定理證明；

（2）過(guò)點(diǎn)A作直線CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)EG，易證AG⊥平面PDC21．【答案】（1）解：因?yàn)樵凇鰽DC中，2AD?DC=所以AD2即在△ADC中，由余弦定理得，AD2則由①②兩式得，cosD=又因?yàn)樵凇鰽DC中，D∈(0（2）解：在△ACD中，