第第頁浙江省杭州市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷一、單選題1．若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）A．1?i B．1+i C．?1+i D．?1?i2．“xy=0”是“x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)m∈(0，1)，若a=lgm，A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a4．函數(shù)y=xa(x≥0)A． B．C． D．5．為預(yù)防病毒感染，學(xué)校每天定時(shí)對(duì)教室進(jìn)行噴灑消毒．已知教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：mg）隨時(shí)間x（單位：?）的變化如圖所示，在藥物釋放過程中，y與x成正比；藥物釋放完畢后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=(A．當(dāng)0≤x≤0.2B．當(dāng)x>0.2C．2330小時(shí)后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降低到0D．1315小時(shí)后，教室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降低到06．已知a1，a2，…，A．3 B．4 C．5 D．67．如圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC?直角邊AB?AC，已知以直角邊AC?AB為直徑的半圓的面積之比為14，記∠ABC=θ，則sinA．-1 B．-2 C．0 D．18．設(shè)函數(shù)y=f(x)(x≠0)，對(duì)于任意正數(shù)x1，x2(x1≠x2)A．[?1，0)∪(0，C．(?∞，?1]∪[1，二、多選題9．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0A．a(chǎn)<0B．a(chǎn)+b+c>0C．不等式bx+c>0的解集為{x|x>6}D．不等式cx210．下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是（）A． B． C． D．11．已知a，b是單位向量，且A．|a+b|=2 B．a(chǎn)與b垂直 C．a(chǎn)與a?b12．在△ABC中，a，b，A．若asinB=bsinA，則△ABC為等腰三角形 B．若C．若a=bsinC+ccosB，則∠C=π4 D．若tanA+tanB+tanC<0，則三、填空題13．設(shè)a=log34，則14．函數(shù)y=cos(π2+x)cosx?co15．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家構(gòu)造的一個(gè)幾何模型．如圖1，正方體的棱長為2，用一個(gè)底面直徑為2的圓柱去截該正方體，沿著正方體的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一個(gè)牟合方蓋（如圖2）．已知這個(gè)牟合方蓋與正方體內(nèi)切球的體積之比為4：π，則正方體除去牟合方蓋后剩余部分的體積為 第15題圖 第16題圖16．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P以每秒π2的角速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿半徑為2的上半圓逆時(shí)針移動(dòng)到B，再以每秒π3的角速度從點(diǎn)B沿半徑為1的下半圓逆時(shí)針移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)O，則上述過程中動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為四、解答題17．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利工具．如圖筒車的半徑為4m，軸心O距離水面2m，筒車上均勻分布了12個(gè)盛水筒．已知該筒車按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，2分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，且當(dāng)筒車上的某個(gè)盛水筒P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0（1）將點(diǎn)P距離水面的距離z（單位：m．在水面下時(shí)z為負(fù)數(shù)）表示為時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)；（2）已知盛水筒Q與P相鄰，Q位于P的逆時(shí)針方向一側(cè)．若盛水筒P和Q在水面上方，且距離水面的高度相等，求t的值．18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為（1）求A；（2）在①a=2，②B=π3，③c=2若______，________，求△ABC的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．如圖，在△ABC中，已知CA=1（1）求B；（2）已知點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，滿足AD=λAB，點(diǎn)E是邊CB上一點(diǎn)，滿足BE=λBC，是否存在非零實(shí)數(shù)λ20．已知f(lo（1）求f(x)的解析式；（2）解關(guān)于x的方程f(x)=(a?1)?421．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=22，CD=2，AD=1，在等腰梯形CDEF中，EF=22，DE=5，將等腰梯形CDEF沿（1）求證：平面ADE⊥平面ABCD；（2）求直線BE與平面ADE所成角的正弦值．22．?dāng)?shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：sinx=x?x33!+x（1）證明：當(dāng)x∈(0，π2（2）設(shè)f(x)=msinx，當(dāng)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域也為[a，b]，則稱[a，b]為f(x)的“和諧區(qū)間”．當(dāng)

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i，

∴z=2i故答案為：B.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，求出復(fù)數(shù)z即可.2．【答案】B【解析】【解答】若xy=0，如x=0，y=1，則若x2+y2=0所以“xy=0”是“x2故答案為：B.

【分析】由特殊值法代入，結(jié)合充分和必要條件的定義即可得出答案3．【答案】C【解析】【解答】∵m∈(0，∴a=lgm<0，b=lg∴c>a>b.故答案為：C.

【分析】先判斷l(xiāng)gm<0，進(jìn)而可比較大小。4．【答案】C【解析】【解答】y=xa(x≥0)必過(0，A選項(xiàng)：由y=ax圖像知a>1，由y=xB選項(xiàng)：由y=ax圖像知0<a<1，由y=xC選項(xiàng)：由y=ax圖像知0<a<1，由y=x故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意由冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象，對(duì)a分情況由此對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。5．【答案】D【解析】【解答】當(dāng)0≤x≤0.2時(shí)，設(shè)y=kx，則1=0.2k，故k=5，即當(dāng)x>0.2時(shí)，把(0.2，1)代入令(18)x?0.2<0故答案為：D．

【分析】根據(jù)題意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，結(jié)合已知條件由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由此對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。6．【答案】C【解析】【解答】依題意，設(shè)單位向量ai，a因?yàn)閍i所以ai?aj=|根據(jù)題意，正整數(shù)n的最大值為2ππ故答案為：C.

【分析】由已知條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，整理化簡(jiǎn)即可求出cosθ<7．【答案】A【解析】【解答】以直角邊AC，AB為直徑的半圓的面積分別為：12×π×(由面積之比為14，得：(AC)2(AB)在Rt△ABC中，tanθ=tan∠ABC=故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合圓的面積公式得出以直角邊AC，AB為直徑的半圓的面積，由面積之比為14得出ACAB的值，在Rt△ABC中結(jié)合正切函數(shù)的定義得出tanθ8．【答案】B【解析】【解答】函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1，0)成中心對(duì)稱，故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，記g(x)對(duì)于任意正數(shù)x1，x2(x1≠x2)，都x23f(x1當(dāng)x>0時(shí)，f(x)?x當(dāng)x<0時(shí)，f(x)?x故f(x)?x3的解集為故答案為：B

【分析】首先由奇偶性的定義即可判斷出函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合已知條件即可得出函數(shù)g(x)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，再由不等式的解法求解出x的取值范圍，從而得出不等式的解集。9．【答案】A,B,D【解析】【解答】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0所以?3和2是方程ax2+bx+c=0所以?3+2=?ba，?3×2=c因?yàn)閍+b+c=a+a?6a=?4a，又a<0，所以a+b+c>0，B符合題意；不等式bx+c>0可化為ax?6a>0，因?yàn)閍<0，所以x<6，C不符合題意；不等式cx2+bx+a<0可化為?6a所以?6x2+x+1>0，即6故答案為：ABD.

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法和已知條件，再結(jié)合韋達(dá)定理和根與系數(shù)的關(guān)系，從而找出說法正確的選項(xiàng)。10．【答案】A,D【解析】【解答】解：在A中，連接AC，則AC∥MN，由正方體性質(zhì)得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，A成立；對(duì)于B，若下底面中心為O，則NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB與面MNP不平行，B不成立；對(duì)于C，過M作ME∥AB，則E是中點(diǎn)，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，∴AB與面MNP不平行，C不成立；對(duì)于D，連接CE，則AB∥CE，NP∥CD，則AB∥PN，∴AB∥平面MNP，D成立.故答案為：AD.

【分析】根據(jù)題意做出輔助線由中的的性質(zhì)即可得出線線平行，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得出線線平行，利用平行的傳遞性結(jié)合正方體的幾何性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。11．【答案】B,C【解析】【解答】|a因?yàn)閍，b是單位向量，且|a+b|2|a?bcos?a，a?b?=故答案為：BC

【分析】由向量模、數(shù)量積以及向量的坐標(biāo)公式，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果由此對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。12．【答案】A,C,D【解析】【解答】A選項(xiàng)，因?yàn)閍sinB=b由正弦定理得：a2=b2，所以B選項(xiàng)，因?yàn)閍cosB=b由正弦定理得：sinAcosA=所以2A=2B或2A+2B=π，故A=B或A+B=π則△ABC為等腰三角形或直角三角形，B不符合題意；a=bsinC+ccosB，由正弦定理得：sinA=又因?yàn)閟inA=sin(B+C)=因?yàn)锽∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinC=cosC因?yàn)镃∈(0，π)，所以因?yàn)閠anC=?tan所以tanC?tanCtan因?yàn)閠anA+tanB+tanC<0，所以tanC結(jié)合A+B+C=π，所以tanC，tanAD符合題意.故答案為：ACD

【分析】根據(jù)題意由正弦定理整理化簡(jiǎn)已知條件，由此得出三角形的形狀，從而判斷出選項(xiàng)A與B的正誤；利用兩角和的正弦公式整理化簡(jiǎn)原式，由此得出sinC=cosC進(jìn)而求出角的大小，由此判斷出選項(xiàng)C正確；由二倍角和兩角和的正切公式，整理化簡(jiǎn)不等式結(jié)合三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，由正切函數(shù)的性質(zhì)即可得出角的大小，由此得出三角形的形狀，由此對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。13．【答案】16【解析】【解答】由a=log34故答案為：16

【分析】首先由指對(duì)互化公式，整理化簡(jiǎn)已知條件由此計(jì)算出結(jié)果。14．【答案】π【解析】【解答】因?yàn)閥=cos(=?所以T=2π故答案為：π

【分析】由誘導(dǎo)公式以及二倍角的正、余弦公式，整理化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再由正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算出答案即可。15．【答案】8【解析】【解答】正方體的體積為V1=23=8，正方體的內(nèi)切球體積為故答案為：8

【分析】由已知條件結(jié)合球與正方體的幾何性質(zhì)，由球與正方體的體積公式即可得出牟合方蓋的體積公式，代入數(shù)計(jì)算出結(jié)果即可。16．【答案】y=【解析】【解答】由三角函數(shù)的定義可得：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在半徑為2的上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t∈(0，2]，終邊OP對(duì)應(yīng)的角度為π2t，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在半徑為1的下半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t∈(2，5]，終邊OP對(duì)應(yīng)的角度為π3所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(cos綜上：動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式為y=2故答案為：y=

【分析】當(dāng)P在大圓上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出∠POA，由任意角的三角函數(shù)的定義求得P的縱坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在小圓下半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出∠POB，進(jìn)一步求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，則答案可求．17．【答案】（1）解：以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(由題意，得ω=π，所以z=4sin(πt?（2）解：易知，點(diǎn)Q縱坐標(biāo)y=4sinπt，點(diǎn)P縱坐標(biāo)y=4sin(πt?π由題意，得sinπt=sin(πt?π所以πt=πt?π6+2kπ解得t=k+7由盛水筒P和Q在水面上方，得4sinπt>?2，所以2sπ?π所以t=2s+7因?yàn)閠>0，所以t=2s+【解析】【分析】(1)由已知條件建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合正弦型函數(shù)的解析式，由特殊值法代入計(jì)算出ω和φ的取值，由此即可得出函數(shù)的解析式。

(2)根據(jù)題意把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由整體思想即可得出x的取值范圍，以及取得最值時(shí)t的取值。18．【答案】（1）解：由正弦定理asinA=b∴sin(A+C)=sinA(sinC+cosC)，整理得cosAsinC=sinA又0<A<π，所以A=（2）解：方案一：選①和②．由正弦定理asinA=b由余弦定理b2=a所以△ABC的面積S=3+方案二：選①和③．由余弦定理a2=b解得b=2．∴c=22∴a2+所以△ABC的面積S=2【解析】【分析】(1)首先由正弦定理整理化簡(jiǎn)原式，結(jié)合兩角和的正弦公式計(jì)算出tanA的值，進(jìn)而得出角A的大小。

(2)方案一：選①和②，根據(jù)題意由正余弦定理整理化簡(jiǎn)原式，由此計(jì)算出c的值，并代入到三角形的面積公式由此計(jì)算出答案。

方案二：選①和③，首先由余弦定理整理化簡(jiǎn)計(jì)算出b與c的取值，結(jié)合勾股定理計(jì)算出線線垂直，從而判斷出三角形的形狀，由直角三角形的面積公式，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。19．【答案】（1）解：在△ABC中，AB=CB?則AB2顯然有|AB|2+|所以B=3（2）解：假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)λ，使得AE⊥CD，由AD=λ則CD=又BE=λBC，則于是得AE=4λ(1?λ)?λ+(1?λ)2?(1?λ)=?3所以存在非零實(shí)數(shù)λ=23【解析】【分析】(1)由已知條件結(jié)合向量加減和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)整理化簡(jiǎn)，由勾股定理計(jì)算出線線垂直，結(jié)合三角形的內(nèi)角和形狀即可得出角B的大小。

(2)結(jié)合向量垂直的性質(zhì)由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合已知條件計(jì)算出λ的取值，再代入驗(yàn)證即可得出答案。20．【答案】（1）解：令log2x=t則f(t)=a?∴f(x)=a?（2）解：由f(x)=(a?1)?4x化簡(jiǎn)得：2當(dāng)a<0時(shí)，方程無解當(dāng)a≥0時(shí)，解得2若0≤a<1，則x=lo若a≥1，則x=lo綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，方程無解當(dāng)0≤a<1，則x=若a≥1，則x=【解析】【分析】(1)結(jié)合指對(duì)互化公式整理化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用整體思想即可得出函數(shù)的解析式。

(2)由已知條件利用整體思想整理化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再對(duì)a分情況討論結(jié)合指對(duì)互化公式，由此求解出方程的根。21．【答案】（1）證明：∵E，F(xiàn)在平面ABCD上的射影恰好與∴AE⊥平面ABCD，又∵AE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD（2）解：如圖1，分別延長AD，BC交于點(diǎn)如圖2，過C，D作邊AB的垂線，垂足為由等腰梯形的性質(zhì)得AN=2又∵AD=1，∴∠AND=45而CM∥DN，∴AD⊥BC，即又∵平面ADE∩平面ABCD=AD，平面ADE⊥平面ABCD，AG?平面∴BG⊥平面ADE，∴直線BE與平面ADE所成角為∠BEG，且∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∴BG=2BC=2，由AE⊥平面ABCD，又∵DE=5∴