圓第四節(jié)圓周角與圓心角的關系精選練習基礎篇基礎篇一、單選題1．（2021·福建九年級二模）如圖，是的直徑，點，為上的點．若，則的度數(shù)為（）．A．70° B．100° C．110° D．140°【答案】C【分析】先得出∠ACB=90°，再計算出∠B,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出結(jié)果【詳解】解：∵AB是直徑∴∠ACB=90°,∠CAB=20°∴∠B=70°∵四邊形ADCB是圓內(nèi)接四邊形∴∠B+∠D=180°∴∠D=110°故選：C【點睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊的性質(zhì)．熟練記憶定理、性質(zhì)是關鍵．靈活使用相應的定理性質(zhì)是重點．2．（2021·陜西西北工業(yè)大學附屬中學九年級其他模擬）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為，，，則的度數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC，根據(jù)勾股定理逆定理判斷△AOB是等腰直角三角形，得出，根據(jù)垂徑定理得出，再由角的余弦求出，從而得出，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出的度數(shù)．【詳解】解：連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC，垂足為點E，如圖，∵∴∴△AOB是等腰直角三角形，且OA=OB∴∵∴又∴∴∵四邊形內(nèi)接于⊙O，∴∴故選：B．【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾腰定理，解直角三角形以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，求出是解答本題的關鍵．3．（2021·陜西西安市·九年級二模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，DE∥CB交⊙O于點E，若∠CBA＝20°，則∠AOE的度數(shù)為（）

A．120° B．80° C．110° D．100°【答案】D【分析】連接OD，設AB與CD垂足為F點，首先根據(jù)垂徑定理和圓周角定理推出∠AOD，∠FDO，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠CDE，從而推出∠ODE，結(jié)合OD=OE，即可得到△ODE為等邊三角形，從而得到∠DOE，最后由∠AOD+∠DOE即可得到結(jié)論．【詳解】如圖所示，連接OD，設AB與CD垂足為F點，則由題意，∠CFB=∠DFB=90°，∴在△BCF中，∠BCF=90°-∠CBA=70°，由垂徑定理得：，則∠AOD=2∠ABC=40°，∴在△FOD中，∠FDO=90°-∠AOD=50°，又∵DE∥CB，∴∠BCD+∠CDE=180°，∴∠CDE=180°-∠BCD=180°-70°=110°，∴∠ODE=∠CDE-∠FDO=110°-50°=60°，∵OD=OE，∴△ODE為等邊三角形，則∠DOE=60°，∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=40°+60°=100°，故選：D．

【點睛】本題考查圓的綜合問題，涉及到垂徑定理，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)等，熟記相關定理，靈活構(gòu)造輔助線進行推理計算是解題關鍵．4．（2021·陜西九年級其他模擬）如圖，在⊙O中，點A、B、C均在圓上，連接OA、OB、OC、BC、AC，若ACOB，OC＝4，AB＝5，則BC＝（）A．5 B． C． D．8【答案】B【分析】如圖，連接DC，由ACOB，得，則AB=CD，根據(jù)OC＝4，得到BD=8，根據(jù)BD是直徑，得到∠DCB=90°，由AB＝5，得CD=5,根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】如圖，連接DC，∵ACOB，∴，∴AB=CD，∵AB＝5，∴CD=5，∵OC＝4，∴BD=8，∵BD是直徑，∴∠DCB=90°，根據(jù)勾股定理,得BC=,故選B．【點睛】本題直徑上的圓周角是直角，夾在兩平行弦之間的線段相等，勾股定理，熟練掌握夾在兩平行弦之間的線段相等是解題的關鍵．5．（2020·浙江九年級期末）如圖，點在上，是的直徑．若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠BAC與∠B的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵BC是⊙O的直徑，∠D=36°，∴∠BAC=90°，∠B=∠D=36°，∴∠BCA=90°-36°=54°．故選：C．【點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵．6．（2020·浙江九年級期末）如圖，為的內(nèi)接三角形，為直徑，，則的度數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由AD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圓周角定理，可得∠D=∠ABC=50°，繼而求得答案．【詳解】解：連接CD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠ABC=48°，∴∠CAD=90°-∠D=42°．故選：B．

【點睛】此題考查了圓周角定理．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．7．（2020·浙江九年級期末）如圖，在中，為直徑，在圓周上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．8．（2021·西安市鐵一中學九年級其他模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，且點C為弧BAD的中點，連接CD、CB、OD，CD與AB交于點F．若∠AOD＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】先根據(jù)鄰補角的性質(zhì)求出∠BOD，再根據(jù)點C為弧BAD的中點，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠ABC的度數(shù)．【詳解】∵∠AOD＝100°，∴∠BOD=180°-∠AOD＝80°，∵點C為弧BAD的中點∴∠BOC=∠DOC=（360°-80°）=140°∵OC=OB∴∠ABC=∠BCO=（180°-140°）=20°故選B．【點睛】此題主要考查圓內(nèi)角度求解，解題的關鍵是熟知圓心角、弧的關系．二、填空題9．（2021·四川省宜賓市第一中學校九年級月考）如圖，弦、相交于點，若，，則等于______．【答案】74°【分析】由∠BAC=27°，∠BEC=64°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠B的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得∠AOD的度數(shù)．【詳解】解：∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC=∠C+∠BAC，∵∠BAC=27°，∠BEC=64°，∴∠C=∠BEC-∠BAC=64°-27°=37°，∴∠AOD=2∠C=2×37°=74°．故答案為：74°．【點睛】此題考查了圓周角定理與三角形外角的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用．10．（2020·浙江九年級期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，點C是中點．若，則的長________．【答案】【分析】連接、，它們相交于，如圖，利用圓周角定理得到，則利用勾股定理可計算出，再根據(jù)垂徑定理得到，，接著計算出得到，然后利用勾股定理可計算出的長．【詳解】解：連接、，它們相交于，如圖，為直徑，，在中，，點是中點．，，，，在中，．故答案為．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理．11．（2021·江蘇揚州市·九年級一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，、的延長線相交于點，、的延長線相交于點．若，，則______°．【答案】35【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，∴∠EDC+∠FBC＝180°，∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，∵∠E＝45°，∴∠F＝35°，故答案為：35．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補、圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角是解題的關鍵．12．（2020·浙江九年級期末）如圖，一塊含角的直角三角板，它的一個銳角頂點A在上，邊分別與交于點D，E，連接，則的度數(shù)為________．【答案】90°【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠A=45°，∴∠DOE=2∠A=90°．故答案為：90°．【點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵．提升篇提升篇三、解答題13．（2020·蘇州市金閶實驗中學校九年級期中）如圖，是半圓O的直徑，C，D是半圓O上的兩點，且，與交于點E．若，求的度數(shù)．【答案】【分析】由題意易得∠CAB=20°，∠DOA=∠B=70°，則有∠DAO=55°，進而問題可求解．【詳解】解：∵是半圓O的直徑，∴，∵，∴∠CAB=20°，∵，∴∠DOA=∠B=70°，∵OD=OA，∴∠DAO=∠ADO，∴，∴．【點睛】本題主要考查圓周角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角的性質(zhì)是解題的關鍵．14．（2020·浙江九年級期末）如圖，四邊形內(nèi)接于為直徑，和交于點．（1）求的度數(shù)；（2）過點B作的平行線，交于點F，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，請按照要求作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（不要求尺規(guī)作圖），并寫出線段之間滿足的等量關系：_______；（3）若，求四邊形的面積．【答案】（1）45°；（2）畫圖見解析，；（3）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=90°，再根據(jù)圓周角定理可得∠ADB的度數(shù)；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明≌，得到EF=MF，再證明∠FCM=90°，利用勾股定理可得AE、CF、EF的關系；（3）延長DC至點N，使CN=AD，證明△BAD≌△BCN，得到BD=BN，∠ABD=∠CBN，利用S四邊形ABCD=計算結(jié)果．【詳解】解：（1）∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=45°，∴∠ADB=∠ACB=45°；（2）設△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△CBM，連接FM，∴△ABE≌△CBM，，BE=BM，AE=CM，∠BAE=∠BCM=45°，，，，，，在和中，，∴≌，，，，在Rt中，，；（3）延長DC至N，使得CN=AD，，，，在和中，，∴△BAD≌△BCN，，，，，，∴S四邊形ABCD=．【點睛】本題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相應定理，添加輔助線構(gòu)造全等三角形．15．（2020·浙江九年級期末）如圖，已知是半徑為2的直徑，C是圓上一點，D是延長線上一點，過點D的直線交于E點，且為等邊三角形．（1）求證：是等腰三角形；（2）若，求的長度；（3）若，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）由是直徑，得到，由于為等邊三角形，得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形求出、、根據(jù)勾股定理求出即可；（3）過點作