（共6（共6頁(yè)第1頁(yè)）吉林大學(xué)2015~2016學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)AI》試卷2015年1月6日一二三四總 分得分一、單項(xiàng)選擇題（共6道小題，每小題3分，滿(mǎn)分18分）得分y2x3sinxcosx

的水平漸近線(xiàn)是（ B ）（A）y0. （B）y2. （C）y3. （D）y4.設(shè)yx2arctan1，則x0為函數(shù)的（ A ）x（A）跳躍間斷點(diǎn). （B）可去間斷點(diǎn).（C）無(wú)窮間斷點(diǎn). （D）振蕩間斷點(diǎn).sin2x,

x0

f(x)a,

x

在點(diǎn)x0處連續(xù)，則常數(shù)a=（ C ）3x,

x0（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.d2ydx2設(shè)方程eyxyeyd2ydx2

x0=（ C ）（A）1. （B）1. （C）1e2

. （D）1.e2函數(shù)y4(x2的單調(diào)增加且為下凸的區(qū)間是（ C ）x2（A）(,

（B）(3,

（C）(2,

（D）(0,).f(x)xa的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且limf(xf(a)1，則f(x)xaxa (xa)2（ D ）（A）不可導(dǎo). （B）可導(dǎo)且f(a)0.（C）取得極小值. （D）取得極大值.得分二、填空題（共6道小題，每小題3分，滿(mǎn)分18分）.得分設(shè)limtanxsinx1，則k 3 .x0 xk 2設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且limf(x)1，則f(0) 1 .x0 x0 F(x)x2eu2u，則F(x)2xe0

dx.(sinxcos

x)dx834. 2 5 40x1t3

.15 165.曲線(xiàn)yln(2

在對(duì)應(yīng)t1處的切線(xiàn)方程是y2x5.26.2

x2arcsinx1x4 dx 0 .得分三、解答題（共6道小題，每小題8分，滿(mǎn)分48分）.得分1．求lim(1 1 ).x0x

ex1=lim

ex1xx

3分x0

x(e1)=limx0

ex1xx2

2分=x0=12

ex12x

212yx2xln(x

x24),求dy .dxx0x24解：dy2xx2xln2 x24

4分dydxdydxx0 2

4分3.設(shè)函數(shù)f(3.設(shè)函數(shù)f(x)

1sin x

x0,討論當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).

x0,xsin10解：1時(shí)f(0)lim x limxsin10 x0

x

x0xf(0)0

∴f(0)0

3分x0f(xxsin1xcos11x x x2xsin1x2cos1x x

3分∴當(dāng)2limf(x0x0

f(0)f(x)在x0連續(xù)． 2分xn14.設(shè)函數(shù)y sin2x，nx1

,y(n)(x).y(n)(x)2nsin(2x

n2

8分x xex5.求

)dx.1x211x21x21x2

dx

xexdx1ex(令t

1exxln(t2d1ex21x2d(121x2

2tt21

dt)

2ln(t21)dt

4分1x222tln(t21)1x22t211x22tln(t21)4t1x21ex11ex1ex11ex1

3分1x21ex1x21ex

4 2ln

C...1分xex2,1 6.設(shè)f(x)1 ,1cosx解：令x2t，則42 042 0 1 2(x2)dx f(t)dt dt111cost00sec2xdx12ex2d(x2)12220

x0,1x

求1f(x2)dx.4xex2dx4

320tanx0

1ex2

2分221 2 02tan11e4)2 2

1分得分得分四、按要求解答下列各題（共2道小題，每題8分，滿(mǎn)分16分）.1．設(shè)函數(shù)f(x)的[2,4]上連續(xù)，在(2,4)內(nèi)可導(dǎo)，且滿(mǎn)足f(2) 4(xf(x)dx，3證明在(2,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f)2f)．f(x在[3,4]上連續(xù)，在(3,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)4(x1)2f(x)dx(1)2f()

4分3 1 1F(x)(xf(xF(x的[2,]上連續(xù)，在(2,)內(nèi)可導(dǎo)，1F(2)f(2)F

12分Rolle(2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)F0，即在(2,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使)2ff，即)f)2f

2分2.（1）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式

ln(11)1

成立；n1 n n（2）x1111lnn

(n，證明lim

存在．n 2 3

nn（1）ftn1tft在[0,xLagrangef'()即有

f(x)f(0)x0由于0x，則有

11

ln(1x)xx1x

ln(1x)x取x1(n1,2,)，則有n1 ln(11)

4分n1 n n（2）先證單調(diào)性：n1

1nln(nln

=1n

ln(11)0n故數(shù)列{xn}單調(diào)減少.再證有界性：x11