2023-2024學(xué)年上海市金山中學(xué)高三年級(jí)下學(xué)期

學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)試卷1

2024.3

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫

結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對得4分，7-12題每個(gè)空格填對得5分，否則一律得0分.

1.已知集合4={1,2,3,4,5},5={%|%42},則4B=.

【答案】{1,2}

【解析】AB={1,2}

2.已知是兩個(gè)不共線的向量，a=2el-e^,b=kel+e2,若。與b是共線向量，則實(shí)數(shù)

k=.

【答案】-2

k1

【解析】由題意知勺=—=>左=—2

2-1

3.一般的數(shù)學(xué)建模包含如下活動(dòng)過程：①建立模型；②實(shí)際情境；③提出問題；④求解模型；

⑤回歸實(shí)驗(yàn)實(shí)際；⑥檢驗(yàn)結(jié)果，請寫出正確的序號(hào)順序.

【答案】②③①④⑥⑤

【解析】略

4.2022年12月18日在卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷戰(zhàn)勝法國隊(duì)冠222卡塔爾世界杯也緩

緩落下來帷幕，下表是連續(xù)八屆世界杯足球賽的進(jìn)球總數(shù)：

年份19941998200220062010201420182022

進(jìn)球總數(shù)141171161147145171169172

則進(jìn)球總數(shù)的第60百分位數(shù)是.

【答案】169

【解析】8x60%=4.8

則進(jìn)球總數(shù)的第60百分位數(shù)是169

5.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x,恒有/（x+4）=/（%）,當(dāng)xw[0,2]

時(shí)/（x）=2x—?jiǎng)t“2024）=.

【答案】0

【解析】/（2024）=/（4x506）=/（0）=0

6.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)

率為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列

車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為.

【答案】0.98

【解析】—x0.97+—x0.98+—x0.99=0.98

404040

7.在AABC中，分別是角的對邊，若a=2,b=3,sinA=2sin3cosC,則

AABC外接圓的半徑為.

▼由y9A/2

【答案】一口

+b2-c2

【解析】a-2,=3,sinA=2sinBcosC,a=2bx=^c=3,cosC=-

lab3

3sinC2A/28

3

8.已知直線l:(加+l)x—2(機(jī)+2)y+3m+l=0恒過點(diǎn)P，點(diǎn)。在直線x+y+1=0上，則

|P2|的最小值為

/田、5&

【答案］——

2

【解析】+1)%—2(相+2)y+3m+1=0,...加(x—2y+3)+%—4y+l=0

x—2y+3-0x=—5/、

x-4y+l=Q=-1I)

則|PQ|的最小值為=述

yj22

9.已知無窮數(shù)列｛4｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，且。3-4=6,數(shù)列｛2｝滿足

|?！?1—,則數(shù)列也｝所有項(xiàng)的和為.

un

【答案】士3或士2

43

【解析】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q,則由題意，均為正整數(shù)

因?yàn)椤?-4=6，所以au(q-l)=6=lx2x3

Q]=3

解得《

a=3q=2

故a“=3"T或a“=3x2〃T(n^N

①當(dāng)a"=3"T時(shí)，|3"—3"T|=2X3"T」nb“=-^―

n11

bn2X3”T

1

則數(shù)列｛bn｝所有項(xiàng)的和為吃=|

1-3

②當(dāng)q=3x2"T("wN*)時(shí)，|3x2"—3x2"[=3x2"T—

43x2n

1

則數(shù)列也｝所有項(xiàng)的和為」[=I

1--

2

10.函數(shù)/(x)=<§x+1，蒼，°,若方程/(x)-方=0恰有3個(gè)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

|lnx\,x>0

【答案】—1

【解析】畫出函數(shù)/(%)的圖象，如圖所示:

若方程/(%)-依=0恰有3個(gè)根，則/(%)=以恰有3個(gè)根,

即函數(shù)y=/(x)與直線y=G；有3個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)a=g時(shí)，y=gx和y=/(x)有3個(gè)交點(diǎn)；

直線y=ox和/'（尤）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是（加/"〃），由（加v），=!，

x

故。=工，?him-1,解得：帆=1,

m

..1

故a=一，

e

故直線和/（x）相切時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，

e

綜上，aG—|

一3e）

11.普林斯頓大學(xué)的康威教授于1986年發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”

（Lookandsaysequence）,該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的"外觀描述”.例如：取

第一項(xiàng)為1,將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)為11;將11描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)

為21；將21描述為“1個(gè)2,1個(gè)1"，則第四項(xiàng)為1211；將1211描述為“1個(gè)1,1個(gè)

2,2個(gè)1"，則第五項(xiàng)為111221,…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描

述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng).則對于外觀數(shù)列｛%｝,下列說法正確的

有.

①若q=3,則從％開始出現(xiàn)數(shù)字2；

②若4=上伏=1,2,3,9）,則eN*）的最后一個(gè)數(shù)字均為七;

③｛。"｝可能既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

【答案】②③

【解析】對①，q=3,a2=13,a,=1113,a4=3113,①錯(cuò)；

對②，由外觀數(shù)列的定義，每次都是從左到右描述，故一開始的上左=1,2,3,9）始

終在最右邊，即最后一個(gè)數(shù)字，②對；

對③，取q=22,則出=%==22,此時(shí)既為等差數(shù)列，也為等比數(shù)列，③正確

2

12.已知正數(shù)a,b滿足2/+7,,2（歷2a-/:活）+1,則/+廿=.

【答案】-

2

【解析】a,6都為正數(shù)，，2/+奈.2//仔=/2，

當(dāng)且僅當(dāng)2/=與，即必=1時(shí)，等號(hào)成立.

6

構(gòu)造函數(shù)/(x)=2lrvc-x2+1,x>0,

.-./,(X)=--2X=2(1+X)(1~%),令尸(x)=0,得x=l,

XX

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

可知/(x)在彳=1處取得最大值，故/(尤)”/(1)=0,即2/"X-Y+L,O,

/.%2..2lnx+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，

(―)2..2ln—+l=2(ln2a-bib)+1,當(dāng)且僅當(dāng)網(wǎng)=1時(shí)，等號(hào)成立，

bbb

22

2a4+..2(歷2a-歷Z?)+1,3^.2/+2(歷2a-歷Z?)+1,

：.2a4+4=2(ln2a-Inb)+1,且=—=1,

bb

即/=2,+Z?2=9.

22

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分)

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13,下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，正確的是()

A.復(fù)數(shù)，是最小的純虛數(shù)

B.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，模為1的復(fù)數(shù)共有1,-1,i和t?四個(gè)

C.i與T?是一對共輾復(fù)數(shù)

D.虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

【答案】C

【解析】對于A,復(fù)數(shù)不能比較大小，故A錯(cuò)誤，

對于3,令復(fù)數(shù)z='+@i,

22

則|z|=l,故3錯(cuò)誤，

對于C,由共輾復(fù)數(shù)的定義可得，i與T是一對共輾復(fù)數(shù)，故C正確，

對于D,虛軸上的點(diǎn)包括(0,0),該數(shù)為實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

14.對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得右側(cè)散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，下列結(jié)論正確的

是()

3535

3030

2525

2020

1515

1()10

55

0510152025303505101520253035

樣本相關(guān)系數(shù)為外樣本相關(guān)系數(shù)為小

30

25

20

15

10

5

05101520253035

樣不相關(guān)系數(shù)為小樣木相關(guān)系數(shù)為后

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）

A.弓B.〃＜石＜0＜八＜GC.弓＜々＜0＜弓＜4D.G＜〃＜0＜q＜G

【答案】B

【解析】由圖可知：4'4所對應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且4對應(yīng)的相關(guān)性比6對應(yīng)

的相關(guān)性要強(qiáng)，故0＜外＜4,所對應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況

可知〃〈弓＜0,因止匕4＜々＜0＜4＜4，

故選：B

15.函數(shù)/（元）=（＞2_尤）加|2x-3|在區(qū)間［一2,2］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】函數(shù)/（尤）=（--尤）歷|2x-3|在區(qū)間［-2,2］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程

（尤2一天）山|2工-3|=0在區(qū)間［-2,2］上的根的個(gè)數(shù)，

由C?-x）勿|2X-3|=0,得X2-X=0或/〃|2X-3|=0,

解得：x=0或x=1或x=2,

所以函數(shù)/（%）=（x2-尤加|2x-31在區(qū)間［-2,2］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：A.

16.已知平面向量a,6,c,滿足|6|=2,|。+切=l,c=Zz+〃b且4+2〃=1,若對每一個(gè)確定的

向量。，記的最小值為小,則當(dāng)d變化時(shí)，機(jī)的最大值為（）

A.-B.-C.-D.1

432

【答案】B

【解析】方法一：設(shè)。=(2,0),OA=a=(x,j),

|。+。|=1,.?.(%+2)2+/=1即點(diǎn)A的軌跡是以(―2,0)為圓心，1為半徑的圓，xe[-3,

-1]-

丸+2〃=1,

...c=4(cy)+〃(2,0)=(Ax+2ju,Ay)=(Ax+1—2,Ay)，

Ic|2=(Zx+1_4)2+(4y)2=[(%_])2+y2]42+2(%_[”+[=(_6x_2)/2+2(%—1)4+1,

XG[-3,-1],/.-6x-2>0,則關(guān)于幾的二次函數(shù)開口向上,

當(dāng)人已時(shí)'畫取得最小值’即

f+4-x+3

3%+1

令/(元)=『產(chǎn)+3ae~3,T),則((無)=(3：；5)(：1)

3尤+1(3x+1)

函數(shù)/(%)在[-3,—令上單調(diào)遞增，在(告-1]上單調(diào)遞減,

=/(--)=2,即根2-X-=-,

J皿39929

m的最大值為』.

3

方法二：令OA=Q,OB=b,OC=c,OB'=—OB,

則Ia+Z?HOA+OB|=OA-OB1|HBrA\=1,

.?.點(diǎn)A的軌跡是以&為圓心，1為半徑的圓,

取05的中點(diǎn)石,

c=Aa+jLtb,

OC=WA+]uOB=WA+IJLLOE,

Z+2〃=1,

.?.點(diǎn)C在直線/IE上,

當(dāng)0（7_14￡時(shí)，|05取到最小值，止匕時(shí)"2=|0E|-sinNA￡B'=sinNAEB',

而當(dāng)直線AE與圓B'相切時(shí)，/4￡B'最大，也即sinNAEB，最大，為四■L』,

\B'E\3

.??根的最大值為J.

3

故選：B.

三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的

規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟

17.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

直角梯形ABCD中，ADI/BC,NCBA=9。，尸A，平面ABC。,AB=3C=工AD=1.

2

（1）求證：PCLCD-,

（2）已知三棱錐A-尸⑺的體積為工，求直線PC與平面所成角的大小.

3

【答案】（1）見解析；（2）arctan——

2

【解析】（1）在梯形ABCD中，AD//BC,ZCBA=90,AB=BC=^AD=\,

解得4。=8=夜，

滿足4。2+。。2="）2,所以a。，8,

B4上面ABC。，所以Q4LCD,

因?yàn)镻A,AC是面PAC的兩條相交直線，

所以CD上面PAC,

尸Cu面QAC,

所以CDLPC.

（2）^A-PCD=^P-ACD-2^X^X^X^~3,

解得1%=1,面A3C。，所以

因?yàn)镹CBA=90,因?yàn)槭敲鍷43的兩條相交直線,

所以CD,面

故是PC在面75AB上的投影，

所以ZCPB即為直線PC與面所成的角，

在AR4B中，解得尸5=J5,tanNCPB=—,

PB2

也

所成角大小為arctan——.

2

18.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

己知函數(shù)/（x）=sin^Zx+^+Zsin2x+1

（1）求函數(shù)/（尤）的對稱中心和單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若將的圖象向右平移2個(gè)單位’得到函數(shù)g。）的圖象’求函數(shù)gW在區(qū)間

[0,-]上的最大值和最小值

2

>?7Tk/C.?jrSTT

【答案】(1)----1-----,2；^+-,^+—,keZ（2）最大值為3,最小值為

1122)36

6+2

-------rZ

2

【解析】

61

小)=sinf2x+^-j+2sin2x+1=——sin2x+—cos2x+l-cos2x+l

22

=—sin2x--cos2^+2

22

=sinf2%-^-j+2

令2x」-=k兀,kcZ,貝=2+hlL,keZ,

6122

所以/（x）的對稱中心為（0十-^-,2）,k^Z,

7萬75萬

42x--e2^^-+—,2k7i+-=>%wK7l-\——.K7l-\-----

62236

7T、冗

所以/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間為k兀?—,k?i-\-----,keZ

36

當(dāng)xe[O,芻時(shí)，2%-工e

23L33J

所以當(dāng)=即x=!|時(shí)，/（x）取得最大值3；

當(dāng)2犬一5=-三，即x=0時(shí)，“X）取得最小值—#+2.

19.（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

某公司男女職工人數(shù)相等，該公司為了解職工是否接受去外地長時(shí)間出差，進(jìn)行了如下調(diào)查:

在男女職工中各隨機(jī)抽取了100人，經(jīng)調(diào)查，男職工和女職工接受去外地長時(shí)間出差的人數(shù)

分別為40和20.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值1=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否

認(rèn)為是否接受去外地長時(shí)間出差與性別有關(guān)聯(lián)？

長時(shí)間出差的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

附表：

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

%

附：/=------認(rèn)識(shí)一兒)-------,其中〃=Q+b+c+d

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

3

【答案】（1）有關(guān)聯(lián)；（2）-

2

【解析】

(1)依題意，列出2x2列聯(lián)表如下:

性別接受不接受合計(jì)

男4060100

女2080100

合計(jì)60140200

零假設(shè)為H。：是否接受去外地長時(shí)間出差與性別相互獨(dú)立，即是否接受去外地長時(shí)間出差

與性別無關(guān),

200x(40x80-20x60)2200

所以“=?9.524>7.879=x，

100x100x60x140210005

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立,

即認(rèn)為是否接受去外地長時(shí)間出差與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005；

(2)由題意，接受去外地長時(shí)間出差的頻率為四=』，

20010

所以接受去外地長時(shí)間出差的概率為』.

10

隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,5,

3

由題意，得X?3(5,—),

10

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=〃0=5x元=5.

20.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

22

已知A、5分別是橢圓C:會(huì)+方=1(。〉6〉0)的左右頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|A@=6,

點(diǎn)在橢圓C上.過點(diǎn)P(0,—3)的直線/交橢圓C于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)8落在以線段為直徑的圓的外部，求直線/的傾斜角。的取值范圍；

(3)當(dāng)直線/的傾斜角。為銳角時(shí)，設(shè)直線4以、AN分別交y軸于點(diǎn)S、T,記

PS=APO,PT=^PO,求2+〃的取值范圍

九2丫？2兀72(4

【答案】(1)------1-----1；(2)(arctan—,一)I(arctan—，?！猘rctan-)；(3)I-,2

95342313

【解析】

(1)因?yàn)閨AB|=6,所以a=3；

52

又點(diǎn)(2,|］在圖像C上即1,所以。=JG,

b2

22

所以橢圓C的方程為土+匕=1；

95

(2)由(1)可得5(3,0)

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí),\MN\=2yf5,以線段MV為直徑的圓交x軸于(J?,0)

點(diǎn)8(3,0)在以線段MN為直徑的圓的外部，符合，此時(shí)。=90°,

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/：y^kx-3,設(shè)N(%,%)，

y=kx-3

2

由<Y-Y得(5+gk?)》？—54A%+36=0,

—+工=1

[95

22

△=(54左)2—4><36><(5+9左2)>0解得左〉—或左<——(i)

33

V點(diǎn)5(3,0)在以線段MN為直徑的圓的外部，則?QN>0,

54左

又《

36

「二5

QM-QN=(石一3,%)(9—3,%)=(1+公)xix2-3(1+%)(石+%2)+18>0

7

解得左<1或左〉一(ii)

2

27

由(i)、(ii)得實(shí)數(shù)女的范圍是一〈人<1或左〉一,

32

。。

由①、②得直線/的傾斜角的范圍是?！?"ctan耳,：)l(arctan—,7t-arctan—)；

2

(3)設(shè)直線/：y=kx-3,又直線/的傾斜角。為銳角，由(2)可知左〉

X

記”(西，％)、N(x,y),所以直線AM的方程是：y=(x+3),直線AN的方程

22%+3

曰v—

祖、+3(x+3).

(3)

令x=0,解得>=+，所以點(diǎn)S為0,；同理點(diǎn)T為0，T

、%+3,

所以PS=1。,%、

+3,Pt=0,-^+3,PO=(0,3).

I玉+3

J7I9+3J

由PS=XP。，PT=MPO,可得：券+3=34,熱+3=3〃，

所以％+〃=上、+*7+2

%1+3x2+3

+,、，曰54%36

由⑵倚藥+々=3,中2=3,

所以X+〃二-----1----1-2==-------)("、—―----P2

玉+3x2+3玉9+3(玉+々)+9

2k.—I6—+3()1-l)f^^1-18

9左2+5、左？+5j10k+1

36154+=~^Xk2+2k+l+

9k~+51942+5)

10*(%+1)101

+2——X+2G

9(k+以9左+1

綜上所以2+〃的范圍是2

21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)

已知函數(shù)/(x)=aex-be~x~{a+I)x(a、beR).

(1)當(dāng)4=2,6=0時(shí)，求函數(shù)圖像過點(diǎn)(o,/(o))的切線方程；

(2)當(dāng)b=1時(shí)，/(?既存在極大值，又存在極小值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(3)當(dāng)ae(0,l),6=1時(shí)，%、%分別為/(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且

/(^)+^(x2)>0,求實(shí)數(shù)左的取值范圍

【答案】(1)x+y-2=0;(2)(0,1)(l,4w)；(3)(—8,1]

【解析】

(1)已矢口/(x)=ae"-加-“-(a+1)%(a、beR),函數(shù)定義域?yàn)镽,

當(dāng)a=2,6=0時(shí)，/(x)=2e*-3x,

可得八無)=2"-3,

此時(shí)廣(0)=-1,

易知/(0)=2,

所以函數(shù)/(尤)過點(diǎn)(0,f(0))的切線方程為y-2=-(x-0),

即為x+y—2=。；

(2)當(dāng))=1時(shí)，/(x)=aex-e~x~(a+l)x,

~r用，，/、%-%八—(a+l)e"+1(^CLex—l)(^x—1)

可得/(x)=aex+ex-(za+l)=--------------=------------，

exex

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)既存在極大值，又存在極小值，

所以尸(%)=0必有