專題18.6三角形的中位線【九大題型】

【人教版】

衣

型

F題1

k1利用三角形的中位線求角度】……?

型

r題4

k2利用三角形的中位線求線段長度】-

型

L題8

r3利用三角形的中位線求周長】……?

型

k題11

4利用三角形的中位線求面積】……

型

r題

L4

k5利用三角形的中位線求最值】……

型

r題18

k與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究】

型

題6

L22

r與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖】

型

題7

k27

r

型

題8三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用】....

k32

9與三角形中位線有關(guān)的證明】……

【知識(shí)點(diǎn)三角形的中位線】

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

【題型1利用三角形的中位線求角度】

【例1】（2022春?江蘇蘇州?八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形4BCD中，AD=BC,E、F、

G分別是的中點(diǎn)，若ND4c=17。，乙4c8=91。，則"EG等于（）

A.36°B.72°C.74°D.37°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到GE=GF,利用等腰三角形的性質(zhì)得到NFEG=NEFG,

延長FG交于點(diǎn)利用平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】如圖，延長尸G交于點(diǎn)

0X￡>=BC,E、F、G分別是ZB,CD,AC的中點(diǎn)，Z.DAC=17°,乙4cB=91。,

^Z.FEG=Z.EFG,Z.DAC=Z.FGC=Z.AGM=17°,/.AGE=Z.ACB=91°,

EINMGE=ZAGE-乙4GM=乙FEG+乙EFG=2AFEG=91°-17°=74°,

解得MEG=37°.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性

質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2022秋?福建泉州?九年級晉江市季延中學(xué)校考期末）如圖，在△48C中，D、

E分別是邊48、AC的中點(diǎn)，48=32。.現(xiàn)將AaDE沿DE折疊，點(diǎn)4落在三角形所在平面內(nèi)

的點(diǎn)為A,則N8D4的度數(shù)為（）

A.58°B.116°C.122°D.148°

【答案】B

【分析】如圖，證明乙證明。EEBC,得到0AOE=M=32。，即可解決問題.

【詳解】解：由題意得：SADE^'DE；

SD、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，

回￡出是EABC的中位線，

SDE//BC,

^ADE=/LA'DE=NB=32°,

^BDA'=180°-/LADE-^A'DE=116°.

故選B.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了翻折變換及其應(yīng)用問題；同時(shí)還考查了三角形的中位線定理等幾何

知識(shí)點(diǎn).

【變式1-2］（2022春?北京?八年級人大附中?？计谥校┤鐖D，四邊形4BCD的對角線AC平

分=90。,乙4。8=28。，且CD=AC,點(diǎn)。，E分別是AC,A。的中點(diǎn)，則NBOE

的度數(shù)為

D

【答案】112。##112度

【分析】利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證得OA^OB^OC,易得到ABAC=^OBA=62。,

利用角平分線的性質(zhì)得到NO4E=62。，利用三角形中位線定理證得OEWcn=|AC=AO,得

到/04E=/.AEO=62°,再利用四邊形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】連接08,

D

在RtAACB中，114cB=28。，點(diǎn)0是斜邊AC的中點(diǎn)，

^BAC=90°-28°=62°,OA=OB=OC=-AC,

2

^BAC=/.OBA=62°,

她。平分財(cái)A。，

^BAC=Z.OAE=62°,

團(tuán)點(diǎn)。，E分別是AC,AO的中點(diǎn)，且CD二AC,

^\OE=-CD=-AC=AO

22f

^OAE=AAEO=62°,

回4BOE=360°-/-OBA-ABAC-Z.OAE-Z-AEO=360°-4X62°=112°,

故答案為：112°.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)

用性質(zhì)和定理、準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2022春?山西太原?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AABC中，。，E分別是A3,

AC的中點(diǎn)，連接。E并延長至足使匹=?！?連接C?若回2=45。，則NF的度數(shù)為.

【分析】由條件可證得證得四邊形2。即為平行四邊形，即可求證.

【詳解】解：回點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

0Z）F0BC,JELBC=2DE.

^\EF=DE,

團(tuán)OF=2DE,

WF=BC,

回四邊形BCFD為平行四邊形，

=Z-B=45°.

故答案為：45°

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握三角形中

位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型2利用三角形的中位線求線段長度】

【例2】（2022春,湖北武漢?八年級校聯(lián)考期中）如圖，RtAABC中，ABAC=90°,AB=6,

BC=10,AD.4E分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)B作BG14D于G,交AC于F,連接EG,

則線段EG的長為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=8,證明△AGB=△4GF得到4B=AF=6,BG=FG,求得

CF=2,根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：RtAZBC中，AB=6,BC=10,

0XC=V102—62=8,

EIBG1AD,

SZ.AGB=Z.AGF.

財(cái)0平分NB/C,

^\Z-BAG=Z-FAG,

在△AGB和△/GF中

ZBAG=/.FAG

AG=AG,

^AGB=匕AGF

回△ZGB=AAGF

EL4B=AF=6,BG=FG,

0CF=2,

刻E是△ZBC的中線，

^\BE=CE,

回EG是△BCF的中位線，

1

BEG=-CF=1,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形

的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022秋?河南南陽?九年級期末）如圖，菱形4BCD的對角線相交于點(diǎn)。,

點(diǎn)E在。B上，連接4E,點(diǎn)尸為CD的中點(diǎn)，連接。F,若力E=BE,OE=3,OA=4,則線

段。F的長為（）

A.5B.2V5C.3V3D.6

【答案】B

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)找到RtAHOE和RtAAOB,然后利用勾股定理計(jì)算出菱形的邊

長的長，再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，求出。尸的長.

【詳解】已知菱形4BCD,對角線互相垂直平分，

EL4C1BD,在RtAAOE中，

SOE=3,。4=4,

酬艮據(jù)勾股定理得4E=V32+42=5,

0XE=BE,

0OF=AE+OE=8,

在RtAAOB中，4B=V42+82=4西，

即菱形的邊長為4西，

團(tuán)點(diǎn)廠為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)。為D8中點(diǎn)，

EIOF=-BC=2V5.

2

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形性質(zhì)，并

能結(jié)合勾股定理、中位線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022秋?河南新鄉(xiāng)?九年級校考期末）如圖，在A4BC中，2E平分N8AC,D

是BC的中點(diǎn)4E1BE,AB=5,AC=3,貝!的長為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】A

【分析】延長"C交BE的延長線于點(diǎn)F,易證明是等腰三角形，則得/F的長，點(diǎn)E是

的中點(diǎn)，求得CF的長，從而OE是中位線，即可求得DE的長.

【詳解】延長4C交BE的延長線于點(diǎn)F,如圖，

??,AE1BE,

???乙AEB=AAEF=90°,

???4E平分

??.Z.BAE=Z.FAE,

???Z-ABE=Z.AFE,

???△是等腰三角形，

AF=AB=5,點(diǎn)E是8尸的中點(diǎn)，

CF=AF-AC=5-3=2,0￡是4的中位線，

1

???DE=-CF=1.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)定理，關(guān)鍵是作輔助線

得到等腰三角形.

【變式2-3］（2022秋?安徽宣城?八年級?？计谥校┤鐖D，AABC的周長為26,點(diǎn)、D,E都在

邊上，/ABC的平分線垂直于2E,垂足為Q,N4C8的平分線垂直于4D,垂足為P,若BC=

10,貝葉Q的長為（）

A.-B.-C.3D.4

22

【答案】c

【分析】首先判斷小BAE、△CW是等腰三角形，從而得出B4=BE,CA=CD,由△ABC的

周長為26,及BC=10,可得DE=6,利用中位線定理可求出PQ.

【詳解】解：由題意得：BQVAE,BQ平分NABE,

回乙4BQ=NEBQ,4AQB=4BQE=90°,

又MQ=BQ,

B1AABQ=AEBQ（ASA）,

SAB=BE.AQ=QE,

回△BAE是等腰三角形，Q為4E的中點(diǎn)，

同法可得：C4=CD,△C4D是等腰三角形，P為ZD的中點(diǎn)，

0AABC的周長=AB+BC+AC=BE+BC+CD=BC+BC+DE=20+DE=26,

回DE=6,

回PQ=^DE=3；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的中位

線定理.根據(jù)已知條件，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵.

【題型3利用三角形的中位線求周長】

【例3】（2022春?河北唐山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在0ABe中，CC0A8于點(diǎn)。，E,尸分

別為AC,8C的中點(diǎn).AB=10,BC=8,DE=4.5,則回。跖的周長是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等腰斜邊的一半以及三角形中位線定理分別求出

的長度，結(jié)果可得.

【詳解】解：???E,/分別為AC,的中點(diǎn)，

1

???EF=-AB=5,

2

???乙CDB=90°,

??.△COB為直角三角形，

DF=-BC=4,

2

???△DEF的周長=DF+EF+DE=4+5+4.5=13.5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練

掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵.

【變式3-11（2022春?浙江杭州?八年級杭州英特外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知矩形ABC。

的對角線/C的長為10cm,連接矩形各邊中點(diǎn)E、F、G、H得四邊形貝!J四邊形EFG”

的周長為（）cm.

A.10B.20C.30D.40

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形中位線定理易得四邊形EFGH的各邊長等于矩形對角線的一半，而矩形

對角線是相等的，都為10,那么就求得了各邊長，讓各邊長相加即可.

【詳解】解：連接BD,由矩形性質(zhì)可知，BD=AC=10cm,

回口、G是4。與CD的中點(diǎn)，

回GH是△4CD的中位線，

1

SGH=-AC=5（cm），

2

同理EF=5cm,EH=FG=^BD=5cm,

回四邊形EFGH的周長為20cm.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，能求出四邊形的各個(gè)邊的長是解

此題的關(guān)鍵，注意：矩形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的

一半.

【變式3-2］（2022春?河南信陽,八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D是AABC內(nèi)一點(diǎn)，BD1CD,

AD=11,BD=8,CD=6,點(diǎn)E,F,G,X分別是48,AC,CD,BD的中點(diǎn)，則四邊形

EBG8的周長是（）.

A

A.14B.18C.21D.24

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得四邊形HGFE是平行四邊形，"￡的長度；勾股定理可

得BC,進(jìn)而求得HG的長度，最后求得平行四邊形的周長.

【詳解】回點(diǎn)E,F,G,X分別是AB,AC,CD,的中點(diǎn)

-1

0FFIIBCS.EF=^BC

廠1

GH||BCS.GH^-BC

HE=-AD^—

22

0EF||HG且EF=HG

國四邊形HGFE是平行四邊形.

0BDECD,

0BC=1O

0HG=iBC=5

2

回平行四邊形HGFE周長是2HG+2HE=21

故答案為:C

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的周長，解題的關(guān)鍵是用三角形中位線定理和勾股定理求出

相關(guān)邊長.

【變式3-3](2022春?重慶?八年級重慶南開中學(xué)?？计谀?如圖，矩形ABC。的對角線AC,

BD交于點(diǎn)O,E為BC邊上一點(diǎn)，連接。E,尸為。E的中點(diǎn)，連接ORCF,若ABED的周

長為10,則AOCF的周長為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=^BD,0BCD=9O°,再由三角形中位線定理和

直角三角形的性質(zhì)，可得CF=|DE,OF=gBE,從而得到。尸+CF+OC=[(BE+DE+

BD),即可求解.

【詳解】解：回四邊形ABC。是矩形，

EL4C=BD,OC=-AC,EIBCQ=90°,

2

1

WC=-BD,

2

團(tuán)點(diǎn)廠為。E的中點(diǎn)，

0OF為回BOE的中位線，CF/DE,

0OF=-BE,

2

回ABED的周長為10,

^BE+DE+BD=10,

0OF+CF+OC=-BE+-DE+-BD=-(BE+DE+BD)=5,

2222、y

[?]△OCF的周長為5.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩

形的性質(zhì)，三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型4利用三角形的中位線求面積】

【例4】（2022春?山東德州?八年級?？计谀┤鐖D，△4BC的面積是12,點(diǎn)D,E,F,G分

別是BC,AD,BE,CE的中點(diǎn)，則△力FG的面積是

【分析】先根據(jù)等底同高可得SAAEF=L5,ShAEG=1.5,S^BCE=6再根據(jù)三角形中位線定

理可得SMGE=[SHBCE=L5,然后根據(jù)SAAFG=^AAEF+SAAEG+SAFGE即可得.

【詳解】解：的面積是12,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

?,?由等底問圖得：^^ABD~S〉A(chǔ)CD~^S2ABC=刁X12=6，

同理可得：S^ABE~S^DBE~2^^ABD~3，

S—CE=S^DCE~5s△4CO=3，

1

S.EF=^LABF=5s△/BE=1.5，

1

S"EG=S〉A(chǔ)CG~5s“CE=L5,

S^BCE=S^DBE+S^DCE=6，

???點(diǎn)廠是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，

??.FG是△BCE的中位線，

1

S^FGE—*ABCE—

則SMFG=S&4EF+S“EG+S^FGE=1,5+L5+1.5=4.5.

故答案為：4.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的應(yīng)用、三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定

理求出AFGE的面積，是解題關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022春?廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末）如圖，所是EA8C的中位線，點(diǎn)、。是EF

上一點(diǎn)，且滿足OE=2OF,貝US48c的面積與0Aoe的面積之比為（）

C

E

A.2:1B.3:2C.5:3D.3:1

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF//BC,EF=lBC,

再求出OE與的關(guān)系，然后利用三角形的面積公式解答即可.

【詳解】解：是AABC的中位線，

J.EF//BC,EF=^BC,

?：0E=20F,

i21

OE=-X—BC=-BC

21+23f

設(shè)點(diǎn)A到的距離為加

貝SAABC=-BC*/z,S/\AOC=-OE^=-X-BC9h=-BC9h,

22236

」.△ABC的面積與△AOC的面積之比=3：1.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，三角形的面積,

熟記定理并用BC表示出OE是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2022春?河北石家莊■八年級統(tǒng)考期末）如圖，在給定的中，動(dòng)點(diǎn)。從

點(diǎn)8出發(fā)沿8c方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，QEIIAC交A8于點(diǎn)E,DFII4B交AC于點(diǎn)足O是EF

的中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，I3O8C的面積的大小變化情況是（）

A.不變B.一直增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，。的軌跡是財(cái)BC的中位線，到BC

的距離相等，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，即可判斷回OBC的面積的不變.

【詳解】解:0D￡0AC,DF13AB,

回四邊形AEO尸是平行四邊形，

回。是斯的中點(diǎn)，

回。也是的中點(diǎn)，

如圖，取的中點(diǎn)M,AC的中點(diǎn)N,則MN為點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡,

團(tuán)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，。的軌跡是a48c的中位線，

???MN||BC,

團(tuán)點(diǎn)。到線段BC的距離為定值（兩條平行線間的距離處處相等），

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，回。BC的面積始終是以BC為底，兩條平行線間的距離為高，

根據(jù)同底等高的三角形面積相等可知：回OBC的面積不變，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，得出。的軌跡是回ABC的中位線是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2022春?江蘇蘇州?八年級?？计谀┤鐖D，在AABC中，D,E分別是A8,

AC的中點(diǎn)，尸是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。E,EF,FD.若AABC的面積為18cm2,

則ADE尸的面積是__cm2

【分析】連接BE,根據(jù)AABC的面積求出AAEB的面積，進(jìn)而求出△。即的面積，根據(jù)三角

形中位線定理得到DEIIBC,得到△DEB的面積=A￡?E2的面積，得出答案.

【詳解】解：連接8E,

國點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AABC的面積的為18cm

的面積=^XAA2C的面積=9（cm2）,

回點(diǎn)。是48的中點(diǎn),

H3OEB的面積=(XA4EB的面積=4.5(cm2),

SD,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，

SiDEWBC,

甌/定尸的面積=A￡)￡B的面積=4.5(cm2),

故答案為：4.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、三角形的面積、三角形中線的性質(zhì)，掌握三角形

的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【題型5利用三角形的中位線求最值】

[例5](2022秋?山東泰安?八年級?？计谀?如圖，在菱形2BC0中,乙B=45°,BC=2值,

E,尸分別是邊CD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接4E和EF,G,H分別為4E,EF的中點(diǎn)，連接GH,

則GH的最小值為()

【答案】B

【分析】連接4F,得到G”是AAEF的中位線，GH=1AF,當(dāng)4FJ.BC時(shí)，4F最小，GH得

到最小值，則乙4尸8=90。，證得AABF是等腰直角三角形，求出4尸即可.

【詳解】連接4F,如圖所示：

0XF=BC=2V3,

EG,H分別為4E,EF的中點(diǎn)，

IBGH是AAEF的中位線，

^\GH=-AF,

2

當(dāng)時(shí)，4尸最小,GH得到最小值,貝!|乙4尸3=90。,

azB=45°,

回△/8F是等腰直角三角形，

EL4F==yX2A/3=瓜,

0G/7=y,即GH的最小值為當(dāng)

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2023秋?河南南陽?九年級南陽市第三中學(xué)校考期末）如圖，點(diǎn)力，B的坐標(biāo)分

別為4（2,0；,BC0,2）,點(diǎn)C為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,點(diǎn)M為線段2C的中

點(diǎn)，連接。M,則。M的最小值為（）

A.2V2—1B.2V2+1C.V2H—D.V2

22

【答案】D

【分析】連接4B,取4B中點(diǎn)N,連接。N,MN,根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊求最

值即可.

【詳解】解：連接48,取48中點(diǎn)N,連接ON,MN,

SOM>ON-MN,

回當(dāng)。M取最大值時(shí)，0、M、N、三點(diǎn)共線，即M在。N之間,

即。M=ON—MN,

0M,N分別是AC,4B的中點(diǎn)，

11

=-BC=-,

22

團(tuán)。Z=OB,OA1OB,

團(tuán)48=70Az+OB2=2V2,

WN=BN=近,

0OM=ON-MN=V2--,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，中位線定理，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與幾何，勾股定

理，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2023秋?陜西西安?九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,

E為力B的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動(dòng)點(diǎn)，P為DF中點(diǎn)，連接PB,貝!]PB的最小值是.

【分析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段「止2,再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BP1

P1P2時(shí)，PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP】LPiPz，故PB的最小值

為BP】的長，由勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖：

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在Pi處，CPr=DP1,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2=DP2,

鳴「2畫且桃2=1CE-

當(dāng)點(diǎn)尸在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP=FP.

由中位線定理可知：PiPIIEC且RP=^CF.

團(tuán)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段。止2，

0當(dāng)BP±。止2時(shí)，PB取得最小值.

國矩形4BCD中，AB=8,AD=4,E為2B的中點(diǎn)，

0ACBE.LADE.ABCP]為等腰直角三角形，CP】=4.

"DE=乙CDE=4CP]B=45°,乙DEC=90°.

回乙DP2Pl=90°.

=45°.

EINP2P/=90°,即BP11P』2,

SPB的最小值為BP1的長.

在RtABCP1中，CPr=BC=4,

回BP】=4V2,

回PB的最小值是4&.

故答案是：4A/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的最值問題，中位線定理，勾股定理以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是找出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡.

【變式5-3］（2022春?甘肅蘭州,八年級校考期末）已知菱形ABC。的兩條對角線分別為6

和8,M、N分別是邊BC、的中點(diǎn)，P是對角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值是（）

4/---------------ND

B.5遮c.5V2D.不能確定

【答案】A

【分析】作M關(guān)于8。的對稱點(diǎn)。連接NQ,交BD于P,連接MP,此時(shí)MP+NP的值最

小，連接AC,求出CP、BP,根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC,即可得

出答案.

【詳解】解：作M關(guān)于8。的對稱點(diǎn)Q,連接N。，交BD于P,連接此時(shí)MP+NP的

值最小，連接AC,則P是AC中點(diǎn)，

回四邊形ABC。是菱形,

0ACHBZ),SQBP=SMBP,AB^BC,

即。在AB上,

團(tuán)M為BC中點(diǎn),

回。為中點(diǎn),

0A/03BD,

0XCIIMQ,

回N為中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形,

WQWCD,BQ=CN,

回四邊形BQNC是平行四邊形，

回PQIIBC,

0PQIMD,

而點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

故P。是的中位線，即點(diǎn)P是8。的中點(diǎn)，

同理可得，是0ABe的中位線，

故點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，

即點(diǎn)P是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)，

回四邊形A2CD是菱形，

則&BPC為直角三角形，

團(tuán)CP=-AC=3,BP=-BD=^,

22

在RtOBPC中，由勾股定理得：BC=5,

即NQ=5,

SMP+NP=QP+NP=QN=5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股

定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出尸的位置.

【題型6與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究】

【例6】（2022春?遼寧丹東,八年級?？计谀┤缦聢D，在邊長為a的等邊△ABC中，分別

取△ABC三邊的中點(diǎn)Bi，得△4/16；再分別取AdiBiCi三邊的中點(diǎn)為，%,C2,

得42c2；這樣依次下去,經(jīng)過弟2022次操作后得△^2022^2022^-2022,則△^2022^2022^2022

的面積為.

【分析】先根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，再總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AZMBC于點(diǎn)￡>,如圖所示：

A

團(tuán)朋3C為等邊三角形，

團(tuán)BZ）=

CD=-2a,

222

0X￡>=y/AB-BD=Ja-6了=^a,

回點(diǎn)&、Bi分別是C4、CB的中點(diǎn)，

回點(diǎn)A%是財(cái)8。的中位線，

回=|71B=|a,

同理可得：A2B2=^A1B1=0a,

2022

?a,

2022/n

?xya,

1/l、2022,i、20228

叫陽22%。22%22=5X(j)XUXT@=巫-必

24046

故答案為：潟

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形中位線定理,勾股定理，三角形面積的計(jì)算，等邊三角形

的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2022秋?浙江湖州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，將A4BC沿著過4B中點(diǎn)。的直線

折疊，使點(diǎn)2落在BC邊上的4處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為拉1；還原紙片

后，再將△力DC沿著過4。中點(diǎn)必的直線折疊，使點(diǎn)4落在DE邊上的4處，稱為第2次操作,

折痕4%到BC的距離記為拉2；按上述方法不斷操作下去,經(jīng)過第4次操作后得到的折痕。3當(dāng)

到BC的距離記為%*若上=1，則％4的值是（）

A

【答案】C

【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=D4=DB,從而可得NADA=2NB,結(jié)合

折疊的性質(zhì)，^ADAr=2^ADE,可得乙4DE=NB,繼而判斷DEI3BC,得出DE是EIABC的

中位線，證得4411BC,得到44i=2,求出6=2—1=1,同理后=2—［，色=2—|x|=

2-/，于是經(jīng)過第4次操作后得到的折痕D3E3到BC的距離心=2-/；

【詳解】連接，

由折疊的性質(zhì)可得：AA11DE,DA=D4,

EID是AB的中點(diǎn)，

回DA=DB,

團(tuán)DB=DA1,

團(tuán)￡.BArD=Z.B,

0Z.ADA1=2(B,

團(tuán)ZTlO/i=2Z-ADE,

0Z-ADE=乙B,

團(tuán)DE0BC,

團(tuán)A4i1BC,

團(tuán)AA1=2,

回七=2-1=1,

i111

團(tuán)九2二2—,九3=2—X—=22-

“2D222

于是經(jīng)過第4次操作后得到的折痕。3邑到BC的距離3=2-*=蔡；

故選：C.

A

B

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段定理,

找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵

【變式6-2]（2022秋?山東濟(jì)南?九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形,

分別取AC、BC邊的中點(diǎn)。、E,連接DE,作EFII4C得到四邊形它的周長記作的；分

別取EF,BE的中點(diǎn)心，E],連接名第,作E/illEF,得到四邊形當(dāng)心?心，它的周長記作

C2,....照此規(guī)律作下去，則。2022等于.

【答案】蔡？

【分析】根據(jù)三角形中位線定理可求出C1的值，進(jìn)而可得出的值，找出規(guī)律即可得出C2022

的值.

【詳解】解：國點(diǎn)3、E為AC、BC邊的中點(diǎn)，EFWAC,

EIDE是AABC的中位線,

0Z)F=AD,

EIEFIIAC,

回四邊形ED4F是菱形,

團(tuán)Ci=4X1=2；

同理求得：。2=4x蠢=1；

Cn=4X表=1

2n~2,

11

回。202222022-2-22020,

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)；熟練掌握三角形

中位線定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2022秋?江蘇連云港?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在A4遇24中，乙生44=90°,

乙42=30。，414=L、』5分別是，1，2、4243的中點(diǎn)，連接Z3/4、^4^5?人6、人7分別

是&力4、44的中點(diǎn)，連接為46、“6”7；按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△4202142022,2023中最

短邊的長度為.

【答案】嬴##?

【分析】根據(jù)已知條件和圖形的變化可得前幾個(gè)圖形中最短邊的長度，找出規(guī)律，可得結(jié)論.

【詳解】解：在△①&公中，=90°,=30°,4遇3=1，An+3是4n+lAi（n=

1,2,3,…）的中點(diǎn)，

BArA2=2AtA3=2,

△/1Z24中最短邊的邊長為/通3=1=/，

1

△AAtA中最短邊的邊長為44=|

21

中最短邊的邊長為公必=；1

SA々n-l42n4271+1中最短邊的邊長為壺，

則440214202242023中最短邊的邊長為四行

故答案為：就小

【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律型，圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形變化尋找規(guī)律.

【題型7與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖】

【例7】（2022春?浙江杭州?九年級期末）如圖，在6X6的方格紙中，線段的兩個(gè)端點(diǎn)

分別落在格點(diǎn)上，請按要求畫圖：

（1）在圖1中畫一個(gè)格點(diǎn)四邊形力PBQ,且力B與PQ垂直.

（2）在圖2中畫一個(gè)以力B為中位線的格點(diǎn)ADEF.

【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可（答案不唯一）；

（2）根據(jù)要求作出圖形即可（答案不唯一）.

【詳解】（1）（答案不唯一，有理即可）

（2）（答案不唯一，有理即可）

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)要求作出符合條件的圖形，關(guān)鍵是理解題意，靈活利用相關(guān)知識(shí)解決.

【變式7-1］（2022秋?山西晉城?九年級統(tǒng)考期末）請?jiān)谌鐖D所示的正方形和等邊三角形網(wǎng)

格內(nèi)，僅用無刻度的直尺完成下列作圖，過點(diǎn)P向線段AB引平行線.

【答案】見解析

【分析】利用正方形網(wǎng)格以及等邊三角形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的位置關(guān)系以及格點(diǎn)連線的位置關(guān)

系進(jìn)行作圖即可.

【詳解】如圖所示，PQ即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定以及等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)首先要理解題意，

弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖?

【變式7-2】（2022?浙江溫州??？级＃┤鐖D，在所給的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長

都是1,四邊形4BCD是平行四邊形，連結(jié)4C（點(diǎn)4B,C,。均在格點(diǎn)上），請按要求完

成下列作圖任務(wù).要求：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作圖痕跡?

（1）在圖1中作AABC的中位線EF,且AC=2EF；

（2）在圖2中取邊4。上點(diǎn)G,以4G,4C為鄰邊作團(tuán)G4CH,且團(tuán)G4cH的面積等于△4BC的

面積.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【分析】（1）利用網(wǎng)格的特點(diǎn)，以及矩形的對角線互相平分，確定AB和BC的中點(diǎn)，即可

畫出圖形；

（2）根據(jù)題意可知，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作GHEAC,交BC延長線于點(diǎn)H,則得到的

EIGACH的面積等于△4BC的面積.

【詳解】解：（1）如圖1,取AB和BC的中點(diǎn)E、F,則EF為E1ABC的中位線，且4C=2EF；

圖1

（2）如圖2,根據(jù)題意可知，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，則回G4CH的面積等于AABC的面積.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，三角形的中位線，線段的中點(diǎn)，以及在網(wǎng)格中作圖,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì).

【變式7-3］（2022?四川樂山?三模）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A、8均在格點(diǎn)上,

請按要求完成下列解答：

（注：作圖僅能使用無刻度的直尺，且要求保留作圖痕跡.請你借助網(wǎng)格圖完成第（2）、

（3）、（4）小題的作圖）.

A

⑴直接寫出線段A8的長為；

（2）在網(wǎng)格圖中找一個(gè)格點(diǎn)C,連接BC,使BQ3AB；

⑶在網(wǎng)格圖中，用正確的方法畫出線段AB的中點(diǎn)。；

⑷連接AC并在線段AC上找一點(diǎn)E,連接OE,使DEIIBC.

【答案】（1）同

（2）見解析

⑶見解析

⑷見解析

【分析】(1)可以將A3置于直角三角形當(dāng)中，利用勾股定理求得；

(2)利用一線三直角模型的全等模型，可以快速找到點(diǎn)C,從而畫出2C；

(3)可以利用矩形的對角線互相平分來找，也就是讓是矩形的對角線，畫出另一條對

角線找48的中點(diǎn)；

(4)點(diǎn)。是線段的中點(diǎn)，所以可以找AC的中點(diǎn)E,利用中位線定理可以論證DEIIBC.

(1)

解：如下圖R/0A而W,兩條直角邊分別是1和3,斜邊是AB,

國線段的長=，/+32=

故答案為：V10.

(2)

利用如下一線三直角模型，可以找到點(diǎn)C位置是點(diǎn)B往上三格往左一格.

從而得到下圖:

點(diǎn)C是所找的格點(diǎn)，8c即為所求作線段.

(3)

選取下圖粗線框矩形，畫出另一條對角線，則兩條對角線交點(diǎn)是A2的中點(diǎn).

從而得到下圖:

點(diǎn)。即為AB的中點(diǎn).

（4）

連接AC,發(fā)現(xiàn)A與C之間存在一個(gè)格點(diǎn)，顯然這個(gè)點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，也就是點(diǎn)E,利用中

位線定理可以論證。EIIBC.

從而得到下圖：

AC,即為所求作線段，E點(diǎn)即為所求作點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中的作圖，涉及全等三角形的判定，一線三直角模型，中位線定理,

矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，牢記網(wǎng)格中的一線三直角模型是解題的關(guān)鍵.注意以上過程

是為了更好的解析，做題時(shí)畫在同一圖形中，也就是只畫最后一圖，但注意要說明你所求作

的是哪個(gè)點(diǎn)，哪條線，哪個(gè)圖形，非所求作的線也就是輔助線畫虛線可不標(biāo)記，所求作的線

畫實(shí)線要標(biāo)記.

【題型8三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用】

【例8】（2022春?湖北?八年級?？计谥校┤鐖D，某花木場有一塊如四邊形A8CD形狀的空

地，其中力。〃=N8CD,其各邊中點(diǎn)分別是叢F、G、H,測得對角線AC=10m,

現(xiàn)想利用籬笆圍成四邊形EFGH場地，則需籬笆的總長度是（）

AHD

【答案】c

【分析】過點(diǎn)A作AMHDC交BC于點(diǎn)M,連接2。，則可得四邊形AMCO是平行四邊形，

從而AB=AM=￡)C；可證她8。33。。3,則可得8￡>=AC=10m；再由￡、F、G、H分別為中點(diǎn),

由三角形中位線定理，可得四邊形EFGH是平行四邊形，則可求得籬笆的總長度.

【詳解】過點(diǎn)A作AMHDC交BC于點(diǎn)M,連接3。

則回。

S^\DCB=^ABC

B3\AMB=^iABC

^AM=AB

0AD0BC,AMS\DC

回四邊形AMCD是平行四邊形

^\AM=DC

^\AB=DC

在朋BC與團(tuán)。C3中

AB=DC

乙ABC=乙DCB

BC=CB

m^BC^\DCB(SAS)

^\BD=AC=Wm

團(tuán)E、F、G、H分別為A3、BC、CD、AO的中點(diǎn)

i1

SGH=EF=-AC=5m,EH=FG=-BD=5m

22

回四邊形所GH是平行四邊形

則籬笆的總長度為2(GH+EH)=20(m)

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，三角形中位線定理，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，掌握它們是關(guān)鍵.

【變式8-1］（2022春?廣東惠州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，A,2兩點(diǎn)被池塘隔開，在

外選一點(diǎn)C,連接AC和BC.分別取AC,的中點(diǎn)。，E,測得E兩點(diǎn)間的距離為20m,

則A,B兩點(diǎn)間的距離為m.

【答案】40

【分析】先判斷出是0ABe的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第

三邊的一半可得AB=2DE,問題得解.

【詳解】解：國點(diǎn)。，E分別是BC和AC的中點(diǎn)，

回?！晔?ABC的中位線，DE=20m,

EL4B=2DE=2x20=40（m）.

故答案為：40.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理并準(zhǔn)確

識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2］（2022春?重慶南岸?八年級統(tǒng)考期末）某地為了更好地保護(hù)紅軍歷史博物館，

經(jīng)過精心的籌備規(guī)劃，決定把原來博物館的平面圖擴(kuò)大.如圖，已知原來博物館的平面圖是

^ABCD,規(guī)劃后博物館的平面圖是四邊形EFGH,其中點(diǎn)4,3,C,D分別是邊EF,FG,GH.HE

的中點(diǎn).如果原來博物館的平面圖回48CD的面積為300m2,則規(guī)劃后博物館的平面圖EFGH

占地面積為m2.

H

D

FBG

【答案】600

【分析】連接FH、EG、OD,設(shè)CD與FH交于點(diǎn)M,AD與EG交于點(diǎn)N,根據(jù)中位線的判定

和性質(zhì)可以得到SAHDM=SAODM，同理得到SADEN=SAODN，從而得至!JS四邊彩DNOM=|SAE0H）最終得

到S四邊彩ABCD=（S四邊彩EFGH，即可求解.

【詳解】解：連接FH、EG、OD,

設(shè)CD與FH交于點(diǎn)M,AD與EG交于點(diǎn)N,

回點(diǎn)C、D分別是HG、EH的中點(diǎn)，

0CD是EIEHG的中位線，

0CD0EG,

團(tuán)點(diǎn)M是OH的中點(diǎn)，

0SAHDM=SAODM，

同理可得SADEN=SAODN,

團(tuán)S四邊形DNOM=|SAEOH，

同理可得：S四邊形ABCD=1S四邊形EFGH，

國平行四邊形ABCD的面積為300m2,

回四邊形EFGH的面積為600m2.故答案為：600.

【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，通過連接四邊形的對角線，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形,

充分利用三角形的中位線的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【變式8-3］（2022秋?陜西商洛?八年級統(tǒng)考期末）如圖（1）,要在燃?xì)夤艿?上修建一個(gè)

泵站，分別向A、8兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

A

B

諭B

圖(1)圖⑵圖(3)

聰明的小華通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問題的正確方法.她把管道/看成一條直線

(圖2),問題就轉(zhuǎn)化為：要在直線/上找一點(diǎn)P,使AP與8尸的和最小，她的做法是這樣

的：

①作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)B'；

②連接A3'交直線/于點(diǎn)尸，則