2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考卷

基礎(chǔ)知識達(dá)標(biāo)測

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

考前須知：

1.本卷試題共24題，單選10題，填空6題，解答8題。

2.測試范圍：二次根式?勾股定理（人教版）。

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）若式子「2m-3有意義，則加的取值范圍是（）

2332

A.加工§B.m>~—C.加之,D.m<~—

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得：2m-320,

3

解得：m>~,

故選：C.

2.（3分）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.V2B.V15C.J|D.VOJ

【分析】對于一個二次根式，被開方數(shù)中不含分母或不含開得盡方的因數(shù)或因式，這種二次根式即為最簡

二次根式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：正不是二次根式，則4不符合題意；

代是最簡二次根式，則8符合題意；

中含有分母，則C不符合題意；

屈=&含有分母'則。不符合題意；

故選：B.

3.（3分）下列運算正確的是（）

百、［言=百

A.歷百=返B.9

D.724^1=6

C.VgxV2=12

【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：/、7?百=遍，故此選項錯誤；

B、9V3x=9^=9X-=3,故此選項錯誤；

C、V6xV2=2V3>故此選項錯誤；

D、V24*J1=V36=6,故此選項正確；

故選：D.

4.（3分）估算漁⑤的值（）

V2

A.在0與1之間B.在0與2之間

C.在2與3之間D.在3與4之間

【分析】求出原式=5-遍，先確定傘的范圍，再確定5-6的范圍，即可得出答案.

【解答】解：畫字亙=屈+6-2百十五

V2

=5-76-

,.-2<V6<3,

-2>一6>-3，

，5-2>5-V6>5-3,

即2<5-Vg<3,

故選：C.

5.（3分）已知°、b、c是△4BC的三邊，下列條件：①4=6,b=10,c=8；②/C=23°,/2=57°；

③NB-/C=N4；④°2-。2=廬，能夠判斷△/BC為直角三角形的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理求解即可.

【解答】解：①：62+82=102,

a2+c2=P,

...△ABC是直角三角形，

故本選項符合題意；

②：/C=23°,/2=57°,N/+/8+NC=180°,

AZ^=100°,

：./\ABC是鈍角三角形，

故本選項不符合題意；

（3）ZB-/C=N4

N/+/C=/2,

VZ^+Z5+ZC=180°,

.*.2/8=180°,

AZB=90°,

...△NBC是直角三角形，

故本選項符合題意；

（4）'.'a2-c2=b2,

。2=廬+。2,

△NBC是直角三角形，

故本選項符合題意；

綜上，能夠判斷△48C為直角三角形的有3個，

故選：D.

6.（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深幾何？”這是我國數(shù)

學(xué)史上的“葭生池中”問題.即ZC=5,0c=1,BD=BA,則2C=（）

A.8B.10C.12D.13

【分析】設(shè)8C=x,則80=84=尤+1,在RtZ\4BC中，由勾股定理得出方程求解即可.

【解答】解：設(shè)8C=x,貝1|8￡>=3/=》+1,

在Rt^NBC中，由勾股定理得，

222

AB=AC+BCf

即(x+1)2=52+X2,

解得x=12,

即BC=12f

故選：c.

7.(3分)如圖，三角形紙片/BC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=3,沿/。和將紙片折疊，使點5和

點。都落在邊5C上的點尸處，則的長是()

【分析】根據(jù)題意可得/尸=48=2,/B=/APB,CE=PE,/C=/CPE,可得N/尸E=90°,繼而設(shè)

AE=x,則CE=PE=3-x,根據(jù)勾股定理即可求解.

【解答】解：,??沿過點/的直線將紙片折疊，使點3落在邊5C上的點。處，

,AP=AB=2,NB=NAPB,

???折疊紙片，使點。與點。重合，

:,CE=PE,/C=/CPE,

VZBAC=90°,

：.ZB+ZC=90°,

ZAPB+ZC=90°,

：.ZAPE=90°,

:.AP2+PE2=AE2,

設(shè)

貝UCE=PE=3-x,

222

2+(3-x)=xf

13

解得了=—,

o

13

即4E=—,

6

故選：A,

8.（3分）已知〃+6=-6,ab=7.則代數(shù)式ajg+b的的值為（）

22223636

A.--V7B.—<7C.—V7D.--V7

【分析】根據(jù)題意得。<0,b<0,02+2X7+62=36,再利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可求解.

【解答】解：'：a+b=-6,ab=7,

：.a<0,b<0,次+2義7+62=36,

：.a2+b2=22,

-（a2+『）縹

ab

故選：A.

9.（3分）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點4B,C,D,E均在小正方

形方格的頂點上，線段48，CD交于點F,若/CFB=a,則//BE等于（）

【分析】過8點作8G〃CD,連接EG,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N/BG=/CF8=a.根據(jù)勾股定理求出

B&=17,BE2=17,EG2=34,那么5G2+8爐=醺落根據(jù)勾股定理的逆定理得出NG8E=90°,進(jìn)而求

出N48E的度數(shù).

【解答】解：如圖，過8點作2G〃CD,連接EG,

"BG//CD,

：.ZABG=ZCFB=a.

V5G2=12+42=17,2E2=12+42=17,^G2=32+52=34,

:.BgBE^Ed1,

:.ABEG是直角三角形，

：.ZGBE=90°,

ZABE=ZGBE+ZABG=90°+a.

故選：C.

10.（3分）如圖，四邊形/BCD中，AB=AD,ZBAD=90°,NBCD=30°,BC=2,NC=舊，則CD

的長為（）

A

B

A.4B.2V7C.5D.V10

［分析】把△4BC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4DE,連接CE,作EFl.CD于F,則AC=AE=V14>

結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得NNOE+NADC=240°,在RtaED尸中，NDEF=3Q°,然后利用含30°角的直角三

角形性質(zhì)及勾股定理列方程求解即可.

【解答】解：如圖，把△/8C繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到△4DE,連接CE,過點E作即，CD延長線

于點尸，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：AE=AC=?,ED=BC=2,ZABC=ZADE,

根據(jù)四邊形48。的內(nèi)角和=360°,

AZABC+ZBCD+ZADC+ZDAB^36Qa,

:NBAD=90°,/BCD=3Q°,

ZABC+ZADC=240°,

AZADE+ZADC=2.40°,

，NCZ)E=120°,

:.NEDF=60°,

在RtZkED尸中，DE=2,

：.DF=1,EF=G

在RtZ\4EC中，CE=^AC=2電

CF=VCE2-EF2=<28-3=5,

:.CD=CF-DF=5-1=4.

故選：A.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）比較下列兩個數(shù)的大小：-3^1>-4.JI.（用或填空）

【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將根號外的數(shù)字3和4,分別放入根號內(nèi)，再比較大小即可求解.

［解答］解:_34=—直-4^1=-2

?：<-^3

44，

故答案為：>.

12.（3分）讀材料：我們規(guī)定，若〃+6=-1,則稱。與6是關(guān)于-1的平衡數(shù)，若4+2百與加是關(guān)于-1

的平衡數(shù)，則用=—―5-2y_.

【分析】根據(jù)新定義列出算式計算即可.

【解答】解：由題意，得：m=-I-4-2V3=-5-2V3-

故答案為：-5—

13.（3分）如圖，從一個大正方形中裁去面積為8c源和18c/的兩個小正方形，則留下的陰影部分面積和

為24cm2

【分析】直接利用正方形的性質(zhì)得出兩個小正方形的邊長，進(jìn)而得出大正方形的邊長，即可得出答案.

【解答】解：：兩個小正方形面積為8c/和18cm2,

...大正方形邊長為：Vs+V18=2V2+=5V2（cm）,

...大正方形面積為（5五）2=50（。加2）,

二留下的陰影部分面積和為：50-8-18=24（cm2）.

故答案為：24c加2.

14.（3分）如圖，庭院中有兩棵樹，小鳥要從一棵高10加的樹頂飛到一棵高4加的樹頂上，兩棵樹相距8加,

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長即可.

【解答】解：如圖，由題意可知，AC=AD-CD=10-4=6（m）,BC=8m,

在RtZUBC中，由勾股定理得，

AB=yjAC2+BC2=62+82=1°（加），

則小鳥至少要飛10m,

故答案為：10.

15.（3分）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古

1.11,21

代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)。，b,c,其中a,b均小于c,a=5〃廣一5,c-—m+—,m

于1的奇數(shù)，則b=m(用含m的式子表示).

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義解答即可.

1.11291

【解答】解：b,。是勾股數(shù)，其中。，b均小于c,。=”2一］，c=-m_|-

b2=c2-a2

1111

=(~m2+~)2-(~m2—~)2

111111

=~TYT+—+~m2-(Tm4+———7772)

442442

1.11.1.11.

=4W+4+2m4m4+2m

=m2,

??,冽是大于1的奇數(shù)，

??6=冽.

故答案為：m.

16.(3分)如圖，在四邊形中，AB=AD,ZBAD=90°,/C=g,BC=2后,CD=6,則

2Vli一

【分析】作4E=AC,連接EC,延長EB交CD于點F,構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等，再結(jié)合勾股定理求解.

【解答】解：作4EL/C,AE=AC,連接EC,延長E2交C。于點R

\'AE±AC,NB4D=90°,

：.ZBAE=ZDAC,

:AE=AC,AB=AD,

,△ABE咨AADC（SAS）,

：.BE=CD=6,ZAEB=ZACD,

VZ1=Z2,

：.ZCFB=ZCAE=90°,

在RtZkZEC中，EC=6AE=2歷,

在RtABCF中，RtA￡CF中，有（2百7）2-（6+BF）2=（2V10）2-SF2,

解得：BF=6,

：.CF=2,FD=4,

.*?在RtABDF中，BD=:36+16=2V13，

故答案為：2后.

三.解答題（共8小題，滿分72分）

17.（8分）計算：

（1）（3西一1）（3百+1）—（2百一1）2；

（/2）、Q位L—JR?、x?_一V270+V12.

【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式計算即可；

（2）先計算乘除，再計算加減.

【解答】解：⑴原式=（3百）2-1-（12-4百+1）

=27-1-12+4百一1

=13+4^3；

（2）原式=27Iix遙一]：*遍一7^7十西一71i一百

=126一6一3-2

=1172-5.

18.（8分）先化簡，再求值：底J+xR-44|-；口，其中x=/y=4.

【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再合并得到原式=歷，然后把x、y的值代入計算.

1

【解答】解：??"=§>0,歹=4>0,

原式+y[xy~^y[xy~y[xy

=Vxy?

當(dāng)x=g，y=4時，原式=4=當(dāng)3-

19.（8分）如圖，在四邊形ABC。中，NB=90°,N2=3,8c=4,點。是RtZ\48C外一點，連接C7）,

AD,且CD=12,40=13.求四邊形48co的面積.

【分析】根據(jù)勾股定理計算/C,根據(jù)勾股定理的逆定理判定△/DC是直角三角形，根據(jù)面積公式計算即

可.

【解答】W：VZS=90°,AB=3,BC=4,

--AC=4AB1+BC2=V32+42=5，

VCZ>=12,4D=13,AC=5,

且CD2+AC2=52+122=132=AD2,

：.ZACD=90°,

11

，四邊形Z2CZ）面積為：-BC-AC+-DC-AD

11

=~x5x12+-x3x4=36.

20.（8分）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩端從C移

動到E,繩子始終繃緊且繩長保持不變.

（1）若C尸=7米，4F=24米，48=18米，求男子需向右移動的距離；（結(jié)果保留根號）

（2）此人以0.5米每秒的速度收繩，請通過計算回答，該男子能否在30秒內(nèi)將船從N處移動到岸邊點尸

的位置？

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求NC、BC的長，然后作差求解即可;

（2）求出從4處移動到岸邊點尸的時間，再比較即可.

【解答】解：（1）,/尸=24米，CF=7米，

.".AC-VAF2+CF2~V242+72=25（米），

?：AB=1S米，

：.BF=AF-AB=14-18=6（米），

：.BC=VBF2+CF2=762+72=^85（米），

：.CE=AC-BC=（25-V85）米，

答：男子需向右移動的距離為（25-廂）米；

（2）由題意知，需收繩的繩長為：AC-CF=25-7=18（米），

18

,此人的收繩時間為36（秒），

V36>30,

該男子不能在30秒內(nèi)將船從工處移動到岸邊點F的位置.

21.（8分）如圖是由小正方形組成的9X7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，△/8C的三個頂點都是格

點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列要求完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示.

（1）在圖1中按下列步驟完成畫圖.

①畫出△4BC的高CD；

②畫的角平分線AE；

③畫點Z）關(guān)于4C的對稱點￡>'；

（2）如圖2,P是網(wǎng)格線上一點，過點P的線段"N分別交N8,于點M,N,豆PM=PN,畫出線段

MN.

②取2C的中點￡,連接4E即可；

③作點8關(guān)于NC的對稱點"，T關(guān)于4c的對稱點廠，連接C7交AB'于點。'，點。'即為所求;

(2)連接AP并延長交網(wǎng)格線于點0,則8尸=尸0,連接4P并延長交網(wǎng)格線于點乙則/尸=尸3連接

3交8C于點N,延長NP交于點則線段"N即為所畫的線段.

【解答】解：(1)①如圖1中，線段CD即為所求；

②如圖1中，線段即為所求；

③如圖1中，點。'即為所求.

(2)如圖2,線段即為所求.

22.(10分)如圖，在△/BC中，ZABC=90°,AC=17,BC=15,點尸從點N出發(fā)，以每秒3個單位長

度的速度沿折線C-8-/運動.設(shè)點尸的運動時間為f(/>0).

(1)AB=8；

(2)求斜邊NC上的高線長；

…1732

(3)①當(dāng)尸在BC上時，C尸的長為3—17,，的取值范圍是—三(用含/的代數(shù)式表

示)

143

②若點P在/BCA的平分線上，則t的值為

【分析】(1)利用股定理即可求解；

(2)過點8作8。_L4c于點。，利用面積法求解即可；

(3)①根據(jù)點尸的運動路徑及速度表示出C尸即可解答；

②過點尸作尸￡_L/C于E,利用角平分線的性質(zhì)可知P5=P￡,再證RtZXBCP2RtZXECP,推出

EC=BC,最后利用股定理解RtZUEP即可.

【解答】解：(1)在△/8C中，ZABC=90°,AC=17,8c=15,

'-AB=AC2-BC2=V172-152=8?

故答案為：8.

(2)如圖所示，過點5作BDLAC于點0,

11

=-AB?BC=~ACBD,

0/\ABC

8x15120

即BD

AC17~17~

???斜邊/C上的高線長為—.

(3)①???點。從點/出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿折線/-C-5-4運動，4c=17,

J當(dāng)?在5c上時，CP=3t-AC=3t-17.

ACAC+BC1717+15

V—<t<,BP—<t<---

1732

1732

故答案為：3%-17,<t<

②當(dāng)點P在N5C4的角平分線上時，過點尸作PELAC于E,如圖所示,

?：CP平分NBCA,ZB=90°，PELAC,

：.PB=PE.

又?：PC=PC,

.*.RtA5CP^RtA￡CP（HL）.

：.EC=BC=15,貝！JAE=AC-CE=17-15=2.

由（2）易知/尸=40-3bBP=3t-32,

：.PE=3t-32.

在RtZX/EP中，AP2=AE2+EP2即（40-3力2=22+（3廠32）2,

143

解得t=~lT,

143

???點P在N氏4C的平分線上時，t=—.

143

故答案為：［2.

23.（10分）（1）如圖1,在RtZUBC和中，ZBAC=ZDAE=90°，AB=AC,AD=AE,且點

。在5C邊上滑動（點。不與點叢。重合），連接EC.求證：BD2+CD2=2AD2；

EA

［拓展延伸］

(2)如圖2,在四邊形48。中，/ABC=NACB=NADC=45°.若BD=17cm,CD=8cm,求的

長；

(3)如圖3,把斜邊長都為18c加的一副三角板的斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的

距離AB長為煙—皿

【分析】(1)證明鄉(xiāng)△C4E(S4S),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BZ>=CE,NACE=NB,得到/

DCE=9Q0,根據(jù)勾股定理計算即可；

(2)作4E_L4D,使4E=4D,連接C￡,DE,證明△砌。絲得到8O=CE=17c〃z,根據(jù)勾股定

理計算即可.

(3)延長到點尸，使NP=MB,先證△WWB名得43=4P,ZNAM=ZBAP,據(jù)此可得NR4尸

=NMAN=90°,由勾股定理知/52+4p2=3p2,繼而可得24"=(MB+BN)2；由直角三角形的性質(zhì)知

BN=9cm,MB=9對cm,代入計算即可得答案.

【解答】(1)證明：:/BAC=/DAE=90°,

：.ZBAC-ZDAC=NDAE-ZDAC,即ZBAD=ZCAE,

在△8/D和中，

AB=AC

\(^BAD=^CAE,

VAD=AE

:.LBADmACAE(SAS),

:.BD=CE,NACE=/B,

：.ZDCE=9Q°,

:.CE2+CD2=ED2,

在RtZUOE中，AD2+AE2^ED2,

又AD=AE,

：.BD1+CD1=2AD1-,

(2)解：AE±AD,使/￡=/￡),連接CE,DE,如圖2,

E

A

圖2

.：/BAC+/CAD=NDAE+NCAD,

即NBAD=/CAE,

在△氏4。與中，

CAB=AC

\￡.BAD=Z.CAE,

VAD=AE

??.△BAD義ACAE(SAS),

；?BD=CE=17cm,

VZADC=45°,ZEDA=45°,

ZEDC=90°,

DE=VCE2-CD2=V172-82=15cm,

VZDAE=90°,

：.AD=AE=^^-cm,

2

(3)解：如圖3,延長5N到點P使NP=MB,

圖3

VAMAB=90°,/MBN=90°,

：.ZAMB+ZANB=180°,

VZANP+ZANB=1SO°,

J/AMB=/ANP,

■:AM=AN,NP=MB,

:?叢AMB"叢ANP(SAS),

：.AB=AP,ZMAB=ZNAP,

：.ZBAP=ZBAM=90°,

222

：.BA+AP=BPf

：.2AB2=QMB+BN)2,即4B=￥(M8+BN)；

?：MN=18cm,4BMN=30°,

1

:.BN=—MN=9cm,

MB=MN2-BN2=V182-92=95cm

--AB=爭9百+9)=96/^煙地,

故答案為：9片煙.

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點/(0,a)在y軸上，點B(b,0)、。在x軸上，OB=OC,

圖1圖2圖3

(1)如圖1,則點/坐標(biāo)(0,1),點8坐標(biāo)(-3,0),ZABC=30°；

(2)如圖2,若點。在第一象限且滿足NDAC=90°,線段2。交y軸于點G,求線段2G的

長；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若在第四象限有一點￡,滿足/BEC=NBDC.請?zhí)骄緽E、CE、AE之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】(1)先根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出。的值，然后再求出，的值，取48的中點連接

證明△CMM為等邊三角形，得出NCM2=60°,求出NN8C=90°-60°=30°,即可得出答案；

(2)求出4c=J+=2,BPAB=AC,可得N4BD=NADB,接著求出NR4G=120°,證明△

BAO^/XCAO,即有/&4。=60°=ACAO,可得NGAD=180°-ADAC-ZOAC=30°,得出NR4D=

ZBAG+ZGAD=15O°,進(jìn)而有N/8Z>=N/Z>3=15°,可得NG50=N/8Z>+N/80=45°,即有NG8O

=N2GO=45°,問題隨之得解；

(3)由(2)可知：NADB=15°,可得N2_DC=NAD2+NADC=60°,進(jìn)而有/2￡C=N8DC=60°,

延長E8至尸，使BF=CE,連接4斤，過/點作㈤W_LE尸于M點，根據(jù)NO/8=/O4C=60°,即有N

A4c=120°,進(jìn)一步有NA4C+/8EC=180°,即可證明N4B尸=