第03講矩形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①矩形的定義及其性質(zhì)

1.理解矩形的定義，掌握矩形的性質(zhì)并能夠熟練應(yīng)用。

②直角三角形斜邊上的中線的

2.理解掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)并能夠熟練的應(yīng)用。

性質(zhì)

3,掌握矩形的判定方法，能夠在題目中選擇合適方法判定矩形。

③矩形的判定

思維導(dǎo)圖

矩形

姐先的判定與性質(zhì)綜合

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01矩形的定義與性質(zhì)

i.矩形的定義：

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

2.矩形的性質(zhì)：

①矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

特殊性質(zhì)：

②邊的特殊性：鄰邊.相互垂直。

③角的特殊性：四個(gè)角都是直角（或90°）。

④對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相等。即對(duì)角線相互平分且相等。

即：AC=BD,OA=OB=OC=OD。

由此可得：AOAB,△OBC,△OCD,△O/D均是等腰三角形。

⑤面積：等于仟意一組鄰邊的乘積。

⑥對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。

【即學(xué)即練1】

1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相平分

C.對(duì)邊相等D.對(duì)角相等

【分析】由矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：矩形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分且相等，兩組對(duì)角相等；

平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分，兩組對(duì)角相等；

故選項(xiàng)8、C、。不符合題意，/符合題意；

故選：A.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，矩形/BCD的對(duì)角線/C,BD交于點(diǎn)O,48=6,BC=8,過點(diǎn)。作交4D于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作斯，AD,垂足為尸，則OE+EF的值為（）

【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到△NOD的面積為12,再根據(jù)508=500￡+1以小，即可得到EO+E/

的值.

【解答】解：：/2=6,BC=8,

，矩形ABCD的面積為48,AC=AB2+BC2=V82+62=10,

1

.\A0=DO=-AC=5,

???對(duì)角線4C,BD交于點(diǎn)O,

的面積為12,

'：EOLAO,EFLDO,

11

:?S“OD=SUO吐SADOE，即12=-AOXEO+-D0xEF,

11

?，?12=5x5xEO+萬x5xEF,

24

：.E0EF=—.

故選：C.

【即學(xué)即練3】

如圖，延長矩形/BCD的邊3c至點(diǎn)E,使CE=BD,連接若N/D8=40°,則NE的度數(shù)為（

【分析】連接4C,由矩形性質(zhì)可得/E=ND4E、BD=AC=CE,知而NADB=/C4D

40°,可得NE度數(shù).

?.?四邊形/8C。是矩形，

J.AD//BE,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OA^OD,

?；ZADB=40°,

AZADB^ZCAD^40°,

ZE=ZDAE,

又,：BD=CE,

：.CE=CA,

：.NE=NCAE,

"：ZCAD=ZCAE+ZDAE,

：.ZE+ZE=40°,即/E=20°.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02直角三角形斜邊上的中線

1.直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)：

由矩形的對(duì)角線的性質(zhì)可知：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【即學(xué)即練1】

4.如圖，5。為斜邊4。上的中線，過點(diǎn)。作5C的垂線交5C于點(diǎn)過點(diǎn)5作的垂線交

的延長線于點(diǎn)產(chǎn)，AB=BE=1,貝1」。尸=2.5

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得8O=4D=CQ=pC,則NOA4=N4再根據(jù)。得

BE=CE=AB=L則BC=2,由此得4C=返，則8。=/。=。1)=亨，證明△/8C和全等得/C

=BF=Q然后在/中，由勾股定理即可求出。尸的長.

【解答】解：?.?5。為RtZXZBC斜邊4C上的中線，

1

：.BD=AD=CD=~AC,

：./DBA=/A,

■:DELBC,

:?BE=CE,

?：AB=BE=\,

:?AB=BE=CE=T,

在RtZXZBC中，AB=1,BC=2BE=2,

由勾股定理得：AC=JAB2+BC2=V5，

:?BD=AD=CD=^~,

2

VZACB=90°,BD±DF,

：.ZABC=ZBEF=90°,

:?/DBA+NDBC=90°,ZDBC+ZEBF=90°,

???/DBA=/EBF,

：./A=NEBF,

在△45。和△成尸中，

(Z-A=Z.EBF

]AB=BE,

VZ.ABC=乙BEF=90°

???△ABC/dBEF(ASA),

：.AC=BF=J5,

在Rt^RD尸中，由勾股定理得：。尸=看茁了薩=J（字＞+（唐＞=2.5.

故答案為：2.5.

【即學(xué)即練2】

5.如圖，在四邊形43CD中N/8C=//r）C=90°,￡為對(duì)角線NC的中點(diǎn)，連接8￡、ED、BD,若/B4D

=56°,則N8E。的度數(shù)為112°.

B

【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到推出/BAE=NABE,得到

ZADE+ZABE=ZBAD=56°,由三角形外角的性質(zhì)得到ZBEC=ZBAE+Z

ABE,即可推出N3ED=/8/Z）+N/OE+/A8E=56°+56°=112°.

【解答】解：??,//8C=N4DC=90°,￡是NC的中點(diǎn)，

11

.\DE=—AC,BE=—AC,

:.DE=BE=AE,

；?/DAE=NADE,/BAE=/ABE,

：.NADE+NABE=ZDAE+ZBAE=ZBAD=56°,

ZDEC=/DAE+/ADE,/BEC=/BAE+NABE,

：.NDEC+NBEC=NDAE+NADE+NBAE+NABE,

：.ZBED=ZBAD+ZADE+ZABE=560+56°=112°.

故答案為：112。.

知識(shí)點(diǎn)03矩形的判定

I.矩形的判定方法:

判定方法文字語言數(shù)學(xué)語言圖形

ZABC=ZBCD=Z

四個(gè)角（三個(gè)角）都是直角

直接判定CDA=ZADC=90°

的四邊形是矩形Dc

四邊形4BCD是矩形

,/在OABCD中，Z

平行四邊形有一個(gè)角是直角的平行四邊AB

ABC=90°

加特殊性形是矩形

四邊形/BCD是矩形

對(duì)角線相等的平行四邊形是;在口N8CZ）中，AD=BC

矩形???四邊形/BCD是矩形

【即學(xué)即練1】

6.如圖，在平行四邊形/BCD中，對(duì)角線NC、8。相交于點(diǎn)O.下列條件不能判定平行四邊形N5CD為矩

形的是（）

A.ZABC=90°B.AC=BDC.AD=ABD.ZBAD=ZADC

【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可解答.

【解答】解：4根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形N3C。為矩形，故此選項(xiàng)

不符合題意；

3.根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形/BCD為矩形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形能判定平行四邊形/BCD為菱形，不能判定平行四邊形/BCD為

矩形，故此選項(xiàng)符合題意；

平行四邊形/BCD中，AB//CD,

：.ZBAD+ZADC=^O°,

又：ZBAD=ZADC,

：.ZBAD=ZADC=90°,

根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形/BCD為矩形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【即學(xué)即練2】

7.如圖，在△N8C中，AB=BC,BD平分/ABC.四邊形4BED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)、F,連接

CE.

求證：四邊形8ECD是矩形.

【分析】根據(jù)已知條件易推知四邊形2ECD是平行四邊形.結(jié)合等腰“三線合一”的性質(zhì)證得8。

±AC,BPZ5Z）C=90°,所以由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”得到是矩形.

【解答】證明：:/呂二8。，BD平分/4BC,

：.BD±AC,AD^CD.

?.?四邊形瓦）是平行四邊形，

：.BE//AD,BE=AD,

：.BE=CD,

：.四邊形BECD是平行四邊形.

'：BD±AC,

：.NBDC=90°,

C.aBECD是矩形.

題型精講

題型01利用矩形的性質(zhì)求線段長度

【典例1】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，若N/C2=30°,48=2,則2。的長為（）

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得//8C=90°,CM=OC=O3=O。，則/。8C=N/C3=30°,進(jìn)而得N/8O

=60°,由此得△/08是等邊三角形，則。4=。5=/3=2,據(jù)此可得3。的長.

【解答】解：???四邊形/5CD是矩形，且對(duì)角線交于點(diǎn)。，

AZABC=90°,OA=OC=OB=OD,

VZACB=30°,AB=2,

：.ZOBC=ZACB=30°,

；.NABO=NABC-/OBC=90°-30°=60°,

.?.△/OB是等邊三角形，

：.OA=OB=AB=2,

:?BD=2OB=4.

故選：D.

【變式1】如圖，￡是矩形/BCD的對(duì)角線8。的中點(diǎn)，尸是N5邊的中點(diǎn)，若/8=10,EF=3,則線段

CE的長為（)

A.7B.4C.2D.V§4

【分析】先證跖是△N8D的中位線，即可求出的長，再根據(jù)勾股定理即可求出8。的長，最后根據(jù)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出CE的長.

【解答】解：連接斯，

是矩形/BCD的對(duì)角線3。的中點(diǎn)，廠是48邊的中點(diǎn)，

；.EF是AABD的中位線，

1

：.OE=~AD,

,:EF=3,

：.AD=6,

???四邊形/BCD是矩形，

AZA^ZBCD^90°,

在RtZUBD中，AD=6,AB=10,

由勾股定理得，BD="辟+=J］。？+62=2后,

在RtZXBCD中，E是AD的中點(diǎn)，

1,_

:@=視=亞,

故選：D.

【變式2】如圖，在矩形48co中，已知NELAD于￡,/BDC=60：BE=1,則AD的長為（）

A.3V2B.2V3C.2D.V3

【分析】由矩形的性質(zhì)得/8〃C￡>,ZBAD=90°,則NN3O=/8OC=60°,而AELBD于E,則/

BAE=ZADB=900-ZABD=3>0°,所以4B=2BE=2,BD=2AB=4,求得AD=y/次—極=2百,

于是得到問題的答案.

【解答】解：：四邊形/BCD是矩形，NBDC=60°,

J.AB//CD,ZBAD=90a,

：.ZABD=ZBDC=60°,

?:AELBD于E,BE=\,

:.NAEB=90°,

:./BAE=NADB=9Q°-/ABD=30°,

:.AB=2BE=2,

：.BD=2AB=4,

.".AD=ylBD2-AB2=V42-22=2百，

故選：B.

【變式3】如圖，P是矩形48CD的對(duì)角線5D上一點(diǎn)，AB=3,BC=5,PELBC于點(diǎn)、E,PFLCD于點(diǎn)

F,連接/P,EF,則/P+M的最小值為（）

【分析】連接。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到斯=。，4P+E尸的最小值即為4P+C尸的最小值，當(dāng)/，尸，C

三點(diǎn)共線時(shí)，NP+CP的值最小，且為/C的長度，根據(jù)勾股定理得到4c=房2+BC2=J32+52=

V34-于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接CP,

:四邊形/8C。是矩形，

:.EF=CP,

：.AP+EF的最小值即為4P+CP的最小值，

當(dāng)/,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，NP+CP的值最小，且為NC的長度，

.四邊形/8CD是矩形，

--AC=AB2+BC2=V32+52=V34，

C.AP+EF的最小值為百Z，

故選：C.

【變式4】如圖，矩形48co中，AB=5,8c=12,對(duì)角線/C、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是線段上任意

60

一點(diǎn)，PEUC于點(diǎn)E,PFLBD于點(diǎn)、F,則PE+P尸等于

【分析】首先連接。P由矩形N3CD的邊N8=5,8c=12,可求得。/=。。=彳，然后由

AOP+^ADOP求得答案.

【解答】解：連接P。，

'S矩形/BS=NB,8C=5X12=60,OA=OC,OB=OD,AC=BD,AC=y/AB2+BC2=Vs2+122=

13,

1113

S^AOD=ABCD=15,OA=OD=-AC=~,

111113

S^AOD^S^OP+S^DOP=^OA'PE+~OD'PF=~OA(PE+PF)=-x—X(PE+PF)=15,

60

：.PE+PF=—,

60

故答案案為：—?

題型02利用矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)

【典例1】如圖，點(diǎn)E在矩形45CZ）的邊/。上.若△E5C是等邊三角形，則的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：???△E8C是等邊三角形，

：.ZCBE=60°,

?..四邊形N8CD是矩形，

：.AD//BC,

：.ZAEB=ZCBE=6Q°.

故選：C.

【變式1】如圖，將兩個(gè)矩形疊合放置，如果Nl=115°,那么/2等于（）

【分析】設(shè)兩個(gè)矩形分別為矩形/BCD和矩形EFGH,則N4DC=NE=90°,求得NE4D=65°,由/

2+ZADE=90°,ZEAD+ZADE=90°,得/2=/￡4。=65°,于是得到問題的答案.

【解答】解：二?四邊形/BCD和四邊形EFG”都是矩形，

AZADC=ZE^90°,

VZ1=115°,

ZEAD=1800-Zl=180°-115°=65°,

,：Z2+ZADE^90°,NEAD+/ADE=90°,

：.Z2=ZEAD=65°,

故選：C.

G

【變式2】如圖，在矩形45CD中，對(duì)角線4C,AD相交于點(diǎn)。，CELBD,且N5C￡：ZDCE=2：1,則

C.30°D.35°

【分析】則N5CD=90°,OD=OC,根據(jù)NBC￡：ZDCE=2：1,求出NOCE=30°,根據(jù)題意，則

ZDEC=90°,求出NEDC,得到△OQC是等邊三角形，即可求出N4CE.

【解答】解：?.,在矩形45CQ中，對(duì)角線4C,5。相交于點(diǎn)O,ZBCE：ZDCE=2：1,

AZBCD=90°,AC=BD,OD=OC,/BCE=2/DCE,

：.ZBCE+ZDCE=2ZDCE+ZDCE=90°,

；?/DCE=30°,

■:CE工BD,

:?/DEC=90°,

AZEDC=60°,

???△ODC是等邊三角形，

AZDCO=60°,/DCE=/OCE,

VZACE+ZDCE=60°,

AZACE=30°.

故選：C.

【變式3】如圖，長方形45CZ）中，尸是D4延長線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，并且N4CG=N/GC,ZGAF

=ZF.若/BCE=20°,則N4C5的度數(shù)為60°,

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得N4GC=2NR從而得到N4CG=2

NF,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NEC5=NR再求出N4C5=3NR從而得解.

【解答】解：在Z\/G/中，ZAGC=ZF+ZGAF=2ZFf

9：/ACG=/AGC,

：./ACG=2/F,

■:AD〃BC,

：./ECB=/F,

：./ACB=NACG+NBCE=3NF,

:?NACB=3/ECB=60°；

故答案為：60°.

題型03利用矩形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形O42C的頂點(diǎn)/,C的坐標(biāo)分別是（4,-2）,（1,

2），點(diǎn)8在無軸上，則點(diǎn)2的橫坐標(biāo)是（）

A.4B.2V5C.5D.472

【分析】由兩點(diǎn)距離公式可求ZC的長，由矩形的性質(zhì)可求O5=/C=5,即可求解.

【解答】解：連接/C,

"-AC=V(4-l)2+(-2-2)2=5,

.四邊形43CO是矩形，

；?OB=AC=5,

...點(diǎn)2的橫坐標(biāo)為5,

故選：C.

【變式1】已知矩形N8CD的頂點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)分別為/(1,4),8(5,4),C(5,1),將該矩形

向右平移3個(gè)單位長度得到矩形"CD',則點(diǎn)。'的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(1,4)C.(4,1)D.(-2,1)

【分析】先由矩形的性質(zhì)及48、C三點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，確定點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根據(jù)平移即可確定點(diǎn)。'的坐

標(biāo)；

【解答】解：已知矩形48CD的頂點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)分別為/(1,4),B(5,4),C(5,1),

.?.45〃x軸，42=4；BC_Lx軸，BC=3；

?.?四邊形/BCD為矩形，

；.AD_Lx軸，CZ)〃x軸，CD=4B=4,AD=BC=3,

：.D(1,1),

???矩形/BCD向右平移3個(gè)單位長度得到矩形HB'CD',

：.D'(4,1),

故選：C.

【變式2】如圖，矩形4BCD中，BD=2運(yùn),48在x軸上.且點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為-1,若以點(diǎn)/為圓心，對(duì)

角線NC的長為半徑作弧交x軸的正半軸于則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

C.(2V5-b0)D.(2心0)

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出8Z)=ZC=2后由題意可知：AM=AC=2y/5,再根據(jù)點(diǎn)/坐標(biāo)進(jìn)而可以

解決問題.

【解答】解：???四邊形/BCD是矩形，

:.BD=AC=2近,

由題意可知：AM=AC=2y/s>

"：OA=\-l|=b

OM=AM-04=2標(biāo)一1,

.,.點(diǎn)初的坐標(biāo)為(2遍—1,0),

故選：C.

【變式3】如圖，矩形0N2C在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)2的坐標(biāo)為（1,3）,則對(duì)角線/C的長為（）

B.V10C.V13D.2V2

【分析】連接2。，由矩形的性質(zhì)得到/。=。比再由坐標(biāo)系中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離計(jì)算公式求出的長即

可得到答案.

【解答】解；連接。瓦如圖所示,

???四邊形。N8C是矩形,

：.OB=AC,

?:B(1,3),

：.AC=0B=712+32=V10.

故選：B.

題型04直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)應(yīng)用

【典例1】如圖，在△48C中，/48C=90°,點(diǎn)。是NC的中點(diǎn).若NC=6,則8。的長為（）

C.3D.4

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得解.

【解答】解：:點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，AC=6,

1

.?.8D=yC=3,

故選：C.

【變式1】如圖，在△/2C中，是高，E,尸分別是48,/C的中點(diǎn)，若/2=10"7,AC^cm,則四邊

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別求出?！?、。尸，根據(jù)四邊形的周長公式計(jì)算即可.

【解答】解：尸分別是/C的中點(diǎn)，4B=10cm,AC8cm,

111

.\AE=^AB=~xW=5cm,AF=—AC=4cm,

,：AD是A4BC的高，

：./ADB=N4DC=90°,

在RtZ\/Z)B中，E是的中點(diǎn)，

11

則?！?5/8=5x10=5cw,

1

同理可得：DF=-AC=4cm,

四邊形AEDF的周長=AE+DE+AF+DF=5+4+5+4=18(cm),

故答案為：18.

【變式2】如圖，在△4BC中，點(diǎn)D,E分別是邊N2,/C的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是線段上的一點(diǎn).連接/下,

BF,/4FB=90°,且/2=8,2c=14,則￡尸的長是()

【分析】根據(jù)三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：丁點(diǎn)。，E分別是邊45,NC的中點(diǎn)，

；.￡)￡■是△/2C的中位線，

:2。=14,

1

:.DE=^BC=Q,

VZAFB=90°,AB=8,

1

：.DF=~AB=4,

：.EF=DE-DF=1-4=3,

故選：B.

【典例1］如圖，在RtA45C中，N4cB=90°，。為43的中點(diǎn).若N5=50°,則NOC3的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

1

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得OC=OB=-AB,然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得NOC5

=ZB=50°,即可解答.

【解答】解：在中，ZACB=90°,。為48的中點(diǎn)，

1

???OC=OB=-ABf

：,/OCB=/B=50°,

故選：B.

【變式1】如圖，在△48。中，N4C5=90°,點(diǎn)。是邊48的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，CD的長為半徑畫弧,

與線段相交于另一點(diǎn)連接CE.若NA=NDCE,則N/的度數(shù)為（）

【分析】設(shè)N4=x°,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得。。=八4,從而可得N4=NOC4=x0

再利用三角形的外角性質(zhì)可得NCDE=2x°,然后利用三角形內(nèi)角和定理可得NCED=180°-3x°,再

根據(jù)題意可得：CD=CE,從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得NCED=NCZ)E,進(jìn)而列出關(guān)于％的方程，進(jìn)

行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：設(shè)NN=x。，

VZACB=90°，點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，

1

:?DC=DA=~ABf

：.ZA=ZDCA=x°,

ZCDE是△DC4的一個(gè)外角，

AZCDE=ZDCA+ZA=2x°,

/A=/DCE,

NA=NDCE=x°,

：.ZCED=1SO°-ZACE-Z^=180°-3x°,

由題意得：CD=CE,

：.ZCED=ZCDE,

180-3x=2x,

解得：x=36,

AZA=36°,

故選：C.

【變式2】在△48C中，NA4c為鈍角，AF,CE都是這個(gè)三角形的高，尸為/C的中點(diǎn)，若/2=42°,

則ZEPF的度數(shù)為96°.

11

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N2CE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到尸尸=pC=PC,PE=pC=

PC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】M：'：CE±BA,NB=42°,

；./BCE=48°,

'：AF±BC,CEIBA,尸為/C的中點(diǎn)，

11

：.PF=~AC=PC,PE=~AC=PC,

：.ZPFC=ZPCF,ZPEC=ZPCE,

:.NEPF=2/PCF+2NPCE=2NBCE=96°,

故答案為：96°.

題型05矩形的判定與性質(zhì)綜合

【典例1】如圖，菱形4BCD的對(duì)角線/C,AD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)3作2E〃/C,過點(diǎn)C作CE〃。&BE

與CE相交于點(diǎn)￡.

(1)求證：四邊形2EC0是矩形；

(2)連接。E,若/2=5,/C=6,求DE的長.

【分析】(1)先說明四邊形BECO是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得/3OC=90°,即可得出答案;

(2)根據(jù)菱形得性質(zhì)得O/=OC=3,OB=OD,ACLBD,再根據(jù)勾股定理得。B="B?-0鄧=4,進(jìn)

而得出8。，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出答案.

【解答】(1)證明：CE//DB,

...四邊形BECO是平行四邊形.

:四邊形/BCD是菱形，

C.ACLBD,

：.ZBOC=90°,

平行四邊形3EC。是矩形；

(2)解：如圖，

:四邊形/BCD是菱形，AC=6,

11

OA=OC=~AC=—x6=31OB=OD,ACJLBD,

OB=AB2-OAZ-4,

：.BD=2OB=S.

???四邊形是矩形,

：.BE=OC=3.

■■DE=VBD2+BE2=<64+9=V73-

【變式1】在平行四邊形48CD中，對(duì)角線/C,2。相交于點(diǎn)。，4DLAD,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接。￡,

過點(diǎn)C作CFLOE,交OE的延長線于點(diǎn)尸.

(1)求證：四邊形。尸C2是矩形；

(2)若/。=8,DC=\2,求四邊形。尸C8的面積.

【分析】(1)證。￡是△BCD的中位線，WOE//BC,再證明O8〃CF,則四邊形OFC8是平行四邊形,

由CFLOE,即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理得出。8,進(jìn)而利用矩形的面積公式解答即可.

【解答】(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.BO=DO,

丁點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，

；.OE是ABCD的中位線，

：.OE//BC,BPOE//AD,

"JADLBD,

：.OF.LBD,

"：CF.LOE,

：.OD//CF,BPOB//CF,

四邊形OFCB是平行四邊形，

'：CF±OE,四邊形?是矩形；

(2)解：'：AD=8,0c=12,

：.BC=8,

:NCBD=NADB=90°,

,：BD2=CD2-BC2,

BD=>JCD2-BC2=V122-82=4仁

1廠

/.OB=]BD—2V5,

，矩形OFCB的面積=OB?BC=8x2訴=16V5.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，在矩形NBCD中，對(duì)角線NC與8。相交于點(diǎn)。，則下列結(jié)論一定正確的是（）

【分析】由矩形的性質(zhì)分析每個(gè)選項(xiàng)，從而可得答案.

【解答】解：:四邊形/BCD是矩形，

11

:.AC=BD,ZADC=90°,AD=BC,AD//BC,OA^-AC,OB-~BD,

J.OALOB,NA4c不一定成立，OA=OB,一定成立，48=40一定不成立，

故選：C.

2.如圖，四邊形/2CD的對(duì)角線ZC與BD相交于點(diǎn)O,下列條件中，能判定四邊形/2CD是矩形的是（）

A.AB//DC,4B=CDB.AB//CD,AD//BC

C.AC=BD,ACLBDD.0A=0B=0C=0D

【分析】根據(jù)矩形的判定方法，一一判斷即可解決問題.

【解答】解:4、AB//DC,AB=CD,得出四邊形/BCD是平行四邊形，無法判斷四邊形/8CD是矩

形.故錯(cuò)誤；

B、AB//CD,AD//BC,得出四邊形/8CD是平行四邊形，無法判斷四邊形/8CO是矩形.故錯(cuò)誤；

C、AC=BD,AC±BD,無法判斷四邊形/BCD是矩形.故錯(cuò)誤；

D、O4=O8=OC=OD可以判斷四邊形/BCD是矩形.正確；

故選：D.

3.在口4BCD中,AC.AD是它的兩條對(duì)角線，添加下列其中一個(gè)條件就能使口/BCD成為矩形，那么添

加的條件是（）

A.AC=BDB.ACLBD

C.AB=BCD.AC^ZBAD

【分析】由矩形的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、由能判定口N8CD為菱形，故此選項(xiàng)符合題意;

B、由能判定口”"）為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、由43=8。能判定口/BCD為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、NC平分/A4。，能判定口45。。為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意;

故選：A.

4.將長方形紙片N8CD的兩個(gè)直角/N和沿直線EM折疊，得到如圖，則互為余角的是（

A./AEN與/A，ENB.NBEM與/B'EM

C.ZA'EA與/A'EBD./AEN與/B'EM

【分析】根據(jù)角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，角的計(jì)算逐一判斷即可.

【解答】解：A、根據(jù)題意得EN,NAEN與NA，EN相等，故/選項(xiàng)不符合題意;

B、根據(jù)題意得48皿/=/"EM,NBEM與NB，相等，故5選項(xiàng)不符合題意；

C、根據(jù)題意得N/'EA+ZA'￡8=180°,NWEA與NA，班互補(bǔ)，故C選項(xiàng)不符合題意；

11

D、由題意得：^AEN=/.A'EN=-Z.A'EA,乙BEM=4B'EM=萬乙A'EB,

EA+ZA'￡8=180°,

1111

:.乙AEN+Z-B'EM=-Z.A'EA+~z.A'EB=~^A'EA+Z.A'EB）=~x180°=90°,

:.NAEN與NB，EM互為余角，故。選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

5.已知口4BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，分別添加下列條件：①N4BC=90°；@AC±BD；③AC=BD；④

CM=0。.使得口48co是矩形的條件是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：①：四邊形/8CD是平行四邊形，ZABC=9Q°,

...□/BCD是矩形；

②：四邊形48CD是平行四邊形，ACLBD,

...口/BCD是菱形；

③?..四邊形4BCD是平行四邊形，AC=BD,

.?.□48CD是矩形；

④?..四邊形ABCD是平行四邊形，

11

：.OA=OC^-AC,OB=OD=~BD,

'：OA=OD,

：.AC=BD,

...口/BCD是矩形；

綜上所述，使得口N3CZ）是矩形的條件為①③④，

故選：D.

6.小米同學(xué)在喝水時(shí)想到了這樣一個(gè)問題：如圖，矩形N3CD為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面

與4D的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底面48與水平面的夾角為37°時(shí)，NCE。的大小為（）

D

A.27°B.37°C.53°D.63°

【分析】過點(diǎn)/作交BC于F,由平行線的性質(zhì)可得NE48=N/8N=37°,可求/。/尸=

53°,即可求解.

【解答】解：過點(diǎn)4作/尸〃3”,交BC于尸,

AZFAB=ZABN=37°,

VADAB=90°,

AZDAF=53°,

'JEC//BH,AF//BH,

J.AF//EC//BH,

：.NCED=NDAF=53°,

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。/2C的頂點(diǎn)2的坐標(biāo)為（2,3）,則對(duì)角線NC的長為（）

【分析】由兩點(diǎn)間距離公式可求。8的長，由矩形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：???點(diǎn)2的坐標(biāo)為（2,3）,

：.OB=722+32=V13.

?.?四邊形O/8C是矩形，

：.AC=OB^V13>

8.如圖，菱形/BCD的對(duì)角線NC,5。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸為48邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)/,8重合），PEL

CM于點(diǎn)E,于點(diǎn)尸，若NC=16,50=12,則￡尸的最小值為（）

A.8B.6C.4.8D.2.4

11

【分析】連接OP,作于點(diǎn)”，由菱形的性質(zhì)得力UL8O,OA=OC=~AC^8,OB^OD=~BD

,----------11

=6,由勾股定理得48=4。42+。辟=io,由5X10O〃=5X8X6=S&4OB，求得O〃=4.8,再證明四

邊形PEO尸是矩形，則所=OP,因?yàn)椤20X,所以斯24.8,則EF的最小值為4.8,于是得到問題

的答案.

【解答】解：連接0尸，作。以，/2于點(diǎn)X,

.四邊形/8CD是菱形，對(duì)角線/C、AD相交于點(diǎn)。，

1111

：.ACLBD,OA=OC=~AC=~x16=8,OB^OD=~BD=~X12=6,

/.ZAOB=90°,

??AB=VOA2+OB2=V82+62=10,

11

?；4?OH=《OA?OB=S“OB，

11

x10(9//=5x8X6,

解得O"=4.8,

?：PELOA于點(diǎn)、E,PF_LOB于點(diǎn)、F,

：.ZPEO=ZPFO=ZEOF=90°,

???四邊形PEO歹是矩形，

：.EF=OP,

：,OP,OH,

???M24.8,

???￡產(chǎn)的最小值為4.8,

9.如圖，在矩形45CD中，AB=30cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)沿45邊以5CM/S的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)0

從點(diǎn)。出發(fā)沿CD邊以1cm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸和點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一

)s時(shí)，四邊形/尸。。是矩形.

D.6

【分析】由題意得，AP=5tcm,CQ=tcm,進(jìn)而由矩形的性質(zhì)可得(30-t)cm,即可得5f=30-

t,解方程即可求解，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【解答】解：由題意得，CQ=tcm,AP=5tcm,

???四邊形/BCD是矩形，

CD=AB=30cm,

.'.DQ=(30-t)cm,

當(dāng)四邊形4尸0。是矩形時(shí)，DQ=AP,

.*.30-t=5t,

??-6/=30,

*.t=5

故選：C.

10.如圖，一張等腰直角三角形NBC紙片，已知/8=5C=20c加，先裁剪出①號(hào)長方形BEAR然后在剩

余的大紙片三角形/ED中剪出②號(hào)長方形G//MN,且滿足W=DE,當(dāng)①號(hào)長方形的面積為64c加2時(shí),

則②號(hào)長方形的面積為（）

2

C.(64V2-32)cmD.(32丘-8)京

【分析】由條件判定△DEC、△NOG、△EHG是等腰直角三角形，設(shè)DE=xcm,得到ECjffiWZGNn

xcm,FD=BE=(20-x)cm,GD-Vzx(cm),FG=(20-x—V2x)cm,HG-41FG=(20V2—V2

x-2x)cm,由長方形面積公式得到(20-無)尤=64,求出x=4或x=16(舍去)，即可求出長方形A/NGH

的面積=G”?GN=20缶-(2+V2)/=(64V2-32)cm1.

【解答】解：:△A8C是等腰直角三角形，

.?.//=/C=45°,

,四邊形AEDF,GHMN是長方形,

J.FD//BC,GH//AC,ZDEB=ZBFD=ZMNG=90°,HM=GN,FD=BE,

；.NGZW=NC=45°,NHFG=NA=45°,

VZDEC=ZDNG=ZHFG=90°,

:.XDEC、△NOG、△FffG是等腰直角三角形，

設(shè)DE=xcm,

"：HM=DE,

：.EC=HM=GN=xcm,

.'.FD=BE=(20-x)cm,GD=V^GN=&x(cm),

:.FG=(20-x—V2-V)cm,

：.HG=五FG=(20V2-V2X-2x)cm,

;長方形3FDE的面積(20-x)x=64,

；.x=4或x=16(舍去),

.,.長方形跖VGX的面積=G77?GN=(20V2-V2x-2x)x=20匹;-(2+V2)/=(64近一32)cm2.

故選：C.

11.如圖，把兩個(gè)全等的矩形48co和矩形CE