第十八章平行四邊形選填題壓軸突破壓軸突破1構(gòu)中位線或作高求邊長1.如圖,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,,D為△ABC內(nèi)一點，以AD為腰作等腰△DAE,使∠DAE=∠BAC,連接BE,CD.若M,N分別是DE,BC的中點,MNMN=3.如圖,在△ABC中,AD平分∠CAB交BC于點E.若∠BDA=90A.1B.53C.324.如圖,在矩形ABCD中,BD=2AB,將△BCD繞D點旋轉(zhuǎn)，使得點C的對應(yīng)點C'落在線段BD上，得到△B′C′D,在邊B'C'上取點M，使得(C'M=AB,5.如圖,PA=PB=PC=2,∠BPC=120A.22B.23C.3C6.如圖,在△ABC,△ADE中，∠BCA=∠DEA=90°,,A,C,E在一條直線上，且(1)求證:AD=2MN;(2)若∠ABC=45壓軸突破2平行四邊形與分類討論1.如圖,在?ABCD中,AC與BD交于點M,點F在邊AD上，AF=6cm,BF=12cm,∠FBM=∠CBM,,點E是BC的中點.若點P以1cm/s的速度從點A出發(fā),沿AD向點F運動;點Q同時以2cm/s的速度從點C出發(fā),沿CB向點B運動，點P運動到F點時停止運動，點Q也同時停止運動.當點P運動s時，以P，Q，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形.2.在面積為36的?ABCD中,M,F分別為AB,AD的中點,EF為BC邊上的高，若AD=6,CE=1,,則EM的長為.3.在?ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=25.則□ABCD的面積壓軸突破3平行四邊形中的路徑與最值(一)三邊關(guān)系求最值1.如圖,四邊形ABCD中,AD?CD于點D，BC=2,AD=8,CD=6,B、是AB的中點,連接DE,則DE的最大值是()A.6B.7C.8D.92.如圖,四邊形ABCD中,點E,F分別是邊AB,CD的中點,且.AD=6,BC=10,則線段EF的長可能為()A.7B.8.5C.9D.10壓軸突破4平行四邊形中的路徑與最值(二)垂線段最短求最值1.如圖,在?ABCD中,點M,N分別是AC和BC上的動點,AB=3,BC=6,∠D=60°,，在點M，N運動的過程中，BM+MN2.如圖是一張面積為10的△ABC紙片，其中BC=5,∠ABC=45°,DE是三角形的中位線，M，N分別是線段DE，BC上的動點.沿著虛線MN將紙片裁開，并將MN兩側(cè)的紙片按箭頭所示的方向分別繞點D，E旋轉(zhuǎn)183.如圖,?ABCD中，∠A=60°,AB=6,AD=2,,P為邊CD上一點,則3壓軸突破5平行四邊形中的路徑與最值(三)瓜豆原理求路徑長1.如圖,在△ABC中，∠B=90°,∠BAC=60°,AB=1,壓軸突破6矩形中的計算1.如圖,矩形ABCD中,AB=8,AD=2,,點E從D向C以每秒1個單位長度的速度運動，以AE為一邊在AE的左上方作正方形AEFG，同時垂直于CD的直線MN也從C向D以每秒2個單位長度的速度運動，設(shè)運動的時間為t秒，當點F落在直線MN上時,t的值為()A.1B.4C.1032.如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90A.16B.11C.14D.133.如圖,在△ABC中,∠A=60°,BD為AC邊上的高,E為BC邊的中點,點F在AB邊上,且∠EDF=60°,若AF=2,BF=10A.163B.833壓軸突破7矩形中的路徑與最值1.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=33,,P為BC上一點,以AP為邊構(gòu)造等邊△APQ(A,P,Q按逆時針方向排列),連接CQ,DQ,則(CQ+DQ的最小值為2.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,,E為AD的中點,F為線段EC上一動點,P為BF中點,連接PD,則線段PD長的取值范圍是.3.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E為AB上一點,連接DE,將△ADE沿DE折疊,點A落在A'處,連接A'C,若F,G分別為A'C,BC的中點,則FG的最小值為()A.2B.72C.4.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點P為邊BC上一動點,PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F,點M為EF的中點,則PM的最小值為()A.5B.2.5C.4.8D.2.45.如圖,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,,E是AB邊的中點,F是線段BC上的動點，則.B'A.210?2B.6C.26.如圖,在矩形ABCD中,AB=7,AD=5,E為對角線BD上的一動點,以E為直角頂點,AE為直角邊做等腰Rt△AEF(A,E,F按逆時針方向排列),當點E從點D運動到點B時，點F的運動路徑長是()A.12B.237C.18D.27.如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=8,對角線AC,BD交于點O,E是線段OC上一動點,F是射線AD上一動點,若∠BEF=120°,則在點E運動的過程中，EF長度為整數(shù)的個數(shù)有()A.6個B.5個C.4個D.3個8.如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3，E為AD邊上的動點，連接BE,AF⊥BE于點F,G為BC的中點,連接FG,以FG為邊向右上方作等邊△FGH,連接CH，則CH長度的最小值為()壓軸突破8矩形多結(jié)論1.如圖,在矩形ABCD中,AD=2AB,∠BAD的平分線交BC于點E,過點D作AE的垂線,垂足為H,連接BH并延長,交CD于點F,連接DE交BF于點O.下列結(jié)論:①△ABE≌△AHD;②∠AED=∠CED;③BH=FH;④CD=FH;⑤BC--CF=HE.其中結(jié)論正確的是2.如圖,MB為IRt△AMN(∠A=90°)的角平分線，BC?AN交MN于點C，CD?AM于點D，BE?CN于點E,則下列結(jié)論:①BE=CD;②CE=MD;③BC=BN;④若ADAB=2,3.如圖,將矩形紙片ABCD沿EF翻折,使點A與點C重合,E,F分別在AB,CD上,下列結(jié)論:①△ECF為等腰三角形;②若AB=2BC,則AE:BE=5:3;③若△ECF為等邊三角形，則AB=32BC;壓軸突破9菱形中的計算1.如圖,矩形AEFG的頂點E,F分別在菱形ABCD的邊AB和對角線BD上,連接EG,CF,若EG=5,則CF的長為()A.4B.5C.5D.72.如圖,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,過點D作DE⊥BA,交BA的延長線于點E，則線段DE的長為()A125B185C.4D3.如圖,△ABC為等邊三角形,菱形ADFE的邊AE在線段AC上,且AD∥BC.若AD=4,AC=6,連接BF并取中點G,則AG的長為()A.221B.21C.34.如圖,四邊形ABCD為菱形,E為BC的中點,點F在CD上,若∠DAB=60°,∠DFA=2∠EAB,AD=4,則CF的長為()A.45B.453C.65如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點E,F分別在BC,CD邊上,且CE=DF,BF與DE交于點G.若BG=3,DG=5,則CD的長為.壓軸突破10菱形中的路徑與最值1如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120A.1B.3+1C.22.如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,AC=12,BD=16,點P在BC上,且點P不與點B,C重合,過點P分別作PE⊥AC于點E,PF?BD于點F,連接EF,則EF的最小值為.3.如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,將△ABD壓軸突破11菱形多結(jié)論1如圖，在?ABCD中，AD=2AB,CE?AB于點E,F,G分別是AD,BC的中點,連接CF,EF,FG,下列結(jié)論:①CE⊥FG;②四邊形ABGF是菱形;③EF=CF;④∠EFC=2∠CFD.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個壓軸突破12正方形的有關(guān)計算1如圖,在正方形ABCD的邊BC上取一點F,連接AF,線段AF的垂直平分線交對角線BD于點Q，連接FQ，若正方形ABCD的邊長為4，.BF=1,,則FQ的長是2.如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,E是BC的中點,F是CD上一點，DF=1,,連接AE,BF,P,Q分別為AE和BF的中點,則PQ的長為.3.如圖,在正方形ABCD中,O為對角線BD的中點,E為邊AB上一點，AF?DE于點F，OF=2A.3B.10C.2+24.如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5.如圖,分別以△ABC的邊AB，AC為邊向外作正方形ABEF與正方形ACGD,連接BD,CF,DF,若AB=1,AC=2,則BC2+D6.如圖,四邊形OAA1B1是邊長為1的正方形，以對角線OA1為邊作第二個正方形OA?A?B?,連接AA?,得到.△AA1A2;；再以對角線(OA2為邊作第三個正方形OA?A?B?,連接A?A?,得到.△A1AA.22020?12B.2壓軸突破13正方形多結(jié)論1.如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,∠ADB的平分線交AB于點E,交AC于點G.過點E作EF⊥BD于點F,∠EDM交AC于點M.下列結(jié)論：(①AD=2A.4個B.3個C.2個D.1個2.如圖,P是正方形ABCD的對角線BD上的一點,PE?BC,PF?CD,垂足分別為E,F,連接AP,EF.給出下列四個結(jié)論:①AP=EF;②∠PFE=∠BAP;③PD=2EF；④△APD一定是等腰三角形.其中正確的結(jié)論個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個3.如圖,正方形ABCD和正方形DEFG中,A,D,E在同一條直線上,AD=2DE,M為BC的中點,延長FG交AB于點N,連接MN,CN,CF,連接FM分別交CN,CD于點P,Q,下列說法:①△FQG≌△MQC;②∠BCN=∠MFG;③S△CFQ:S四邊形BMPN=3:7;④FQ=2PQ,其中結(jié)論正確的結(jié)論有()A.4個B.3個C.2個D.1個壓軸突破14正方形中的路徑與最值1.如圖,M,N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點,滿足AM=BN,連接AC交BN于點E,連接DE交AM于點F,連接CF,若正方形的邊長為2,則線段CF的最小值是()A.2B.1C.5?12.如圖,正方形ABCD的邊長為6,P為BC邊上一動點,以P為直角頂點，AP為直角邊作等腰Rt△APE,M為斜邊AE的中點，當點P從點B運動到點C時，點M運動的路徑長為.3.如圖,正方形ABCD的邊長為8,M為邊BC的中點,線段EF在邊AD上滑動,GE=GF=2,且∠EGF=90°,則第十八章平行四邊形壓軸突破1構(gòu)中位線或作高求邊長1.2解:延長BC至點M,使CM=CA,連接AM,過點C作CN⊥AM于點N,∵DE平分△ABC的周長,∴ME=EB,又AD=DB,∴DE=12∵CM=CA,∴∠ACN=60°,AN=MN,∴∠CAN=30°,∴CN=∴AM=2.2解:連接BD,取BD的中點F,連接FM,FN,∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD,即∠BAE=∠CAD,在△AEB和△ADC中,AE=AD,∠BAE=∠CAD,AB=AC,∴△AEB≌△ADC(SAS),∴BE=CD,∵M是ED的中點,F是BD的中點,∴FM是△BED的中位線,∴FM=∴∠DFM=∠EBD,同理得FN=∴FM=FN,∠FNB=∠DCB,∵∠DFN=∠DBC+∠FNB=∠DBC+∠DCB,∴∠MFN=∠DFM+∠DFN=∠EBD+∠DBC+∠DCB=18∴△FMN是等邊三角形,∴MN=FN=1,∴CD=2.3.D解:延長AC,BD交于點F,取BC的中點M,連接DM.易證△ADB≌△ADF,∴DF=DB,AF=AB=7.∵M為BC的中點,∴CF∥DM,CF=2DM.易證△ACE≌△DME,∴AC=DM,∴CF=2AC,∴AF=AC+CF=3AC=7,∴AC=74.3∴CD=∵BD=2AB=2CD=22∴BD=2∵∠BCD=9.CD=DC∴∵∴∵∠C∴△MCD的面積=S△DCC5.A解:過點D作DE⊥BC于點E,交AP于點G,過點P作PF⊥BC于點F,∵∠PBC=∠PCB=∠APB=30°,∴DE=DG+GE=1+1=2,PG=2-3CE=CF+EF=∴DE=CE,∴△CDE為等腰直角三角形,∴CD=6.解:(1)延長AE至點G,使NG=AN,連接BG,∵AM=MB,AN=NG,∴MN=12∵N為CE的中點,∴CN=NE,∴AE=GC,∵∠AED=∠GCB=90°,DE=BC,∴△DAE≌△BGC(SAS),∴AD=BG,∴AD=2MN;(2)設(shè)BC=DE=x,在Rt△ACB中,∠ABC=45°,∴AC=BC=x,∵BC=DE,BC∥DE,∴四邊形BCED為矩形,∴CE=BD=2,∴AE=x+2,在Rt△ADE中,∠ADE=60°,∴∠DAE=30°,∴AD=2DE=2x,由勾股定理，得AE=則3x=x+2,解得∴AD=2x=2壓軸突破2平行四邊形與分類討論1.3或5解:易證AD∥BC,AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,∵∠FBM=∠CBM,∴∠FBD=∠FDB,∴FB=FD=12cm,∵AF=6cm,∴AD=18cm,∵E是BC的中點,∴CE=要使以點P，Q，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，則PF=EQ即可,設(shè)當點P運動ts時,以P,Q,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形，根據(jù)題意，得6-t=9-2t或6-t=2t-9,解得t=3或t=5.2.5或34解:∵EF·AD=36,∴6EF=36,∴EF=6.(1)當點E在BC上時,如圖1,延長EM,DA交于點N,則△EBM≌△NAM,∴MN=EM,AN=BE=6-1=5,∴NF=NA+AF=5+3=8,∴NE=(2)當點E在BC的延長線上時,如圖2,由△EBM≌△NAM,∴MN=EM,AN=BE=6+1=7,∴NF=NA+AF=7+3=10,∴NE=∴EM=12NE=3.20或4解:分兩種情況:①如圖1所示:∵在?ABCD中,BC邊上的高AE為4,AB=5,AC=25∴EC=∴BC=2+3=5,∴□ABCD的面積=BC·AE=5×4=20;②如圖2所示,同①得:EC=2,BE=3,∴BC=3-2=1,∴?ABCD的面積=BC·AE=1×4=4,綜上所述,□ABCD的面積為20或4.故答案為20或4.壓軸突破3平行四邊形中的路徑與最值(一)三邊關(guān)系求最值1.A解:連接AC,取AC的中點為M,連接DM,EM,∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.∵AD=8,CD=6,∴AC=∵M是AC的中點,.∴DM=∵M是AC的中點,E是AB的中點,∴EM是△ABC的中位線,∵BC=2,∴EM=12.A解:連接BD,取BD的中點H,連接HF,HE,∵點E,H分別是邊AB,BD的中點,∴EH是△ABD的中位線,.∴EH=12AD=3,同理可得FH=壓軸突破4平行四邊形中的路徑與最值(二)垂線段最短求最值1.33解：延長BA到點E,使EA=AB,過點E作EH⊥BC于點H,連接EM,EC.在□ABCD中,∠D=60°,∴∠ABC=∠D=60°,∵△ABC中,AB=3,EA=AB=3,∴BE=BC=6,∴△EBC是等邊三角形,∴EC=BC=6.∵EA=AB,∴CA⊥AB,∴EM=BM,BM+MN=EM+MN≥EH.∴BM+MN的最小值即為EH的長,Rt△EBH中,∠BHE=90°,∠ABC=60°,BE=6,∴∠BEH=3∴BM+MN的最小值為332.97∴∴四邊形M'M"N"N'是平行四邊形,∴四邊形M'M'N"N'的周長=2MN+10,如圖,連接BE,過點A作AH⊥BC于點H,取HC的中點J,連接EJ,則EJ‖AH,EJ=12AH,∴∠EJB=∠AHB=90∵∠ABC=45°,∴AH=BH=4,∴CH=CB-BH=5-4=1,∴JH=JC=1∴EJ=∴BE=當MN⊥BC時，MN的值最小，此時拼成的四邊形紙片周長的值最小，最小值為14，當MN與線段BE重合時，MN的值最大，此時拼成的四邊形紙片周長的值最大，最大值為97+10,∴拼成的四邊形紙片周長的最大值與最小值的差為3.63解:過點P作PH⊥AD,交AD的延長線于點H,∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD,∴∠A=∠CDH=60°,∵HP⊥AD,∴∠DPH=30°,∴DH=∵∴當點H,P,B三點共線時,HP+PB有最小值,即3PD+2PB∴∠ABP=30°,∴AH=12AB=3,BH=壓軸突破5平行四邊形中的路徑與最值(三)瓜豆原理求路徑長壓軸突破6矩形中的計算1.C解:過點F作FH⊥CD,交直線CD于點H,則∠EHF=90°,∵四邊形ABCD為矩形,∴∠ADE=90°,∴∠ADE=∠EHF,在正方形AEFG中,∠AEF=90°,AE=EF,∴∠AED+∠HEF=90°,∵∠HEF+∠EFH=90°,∴∠AED=∠EFH,∴△ADE≌△EHF(AAS),∴EH=AD=2,∵AB=CD=8,根據(jù)題意,得t-2+2t=8,∴t=102.C解:連接DG,∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°,∵∠ACB=90°,G是EF的中點,∴CG=DG=∵AC=BC,∠ACB=90°,且CD為邊AB上的中線,∴CD⊥AB,CD=AD,∴∠CDG+∠HDG=90°,∠DCH+∠DHC=90°,∵CG=DG,∴∠HCD=∠CDG,∴∠CHD=∠HDG,∴GH=GD,∴GH=CG=∵CH=10,∴CG=5,∴EF=10,∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=45°,∠ACD=45°,∠DCF=45°,∴∠A=∠DCF,∵∠EDF=∠ADC=90°,∴∠ADE=∠CDF,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴CF=AE=6,在△ECF中,根據(jù)勾股定理,得CE=8,∴AC=AE+CE=6+8=14,故選C.3.D解:過點D作DM⊥AB,垂足為M,取AB的中點H,連接EH,DH,∵AF=2,BF=∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠CDB=90°,∵∠A=60°,∴∠ABD=90°-∠A=30°,∴AD=∵點H是AB的中點,∴AH=BH=∴AD=AH,∴△ADH是等邊三角形,∴AD=DH,∠ADH=∠AHD=60°,∴AM=MH=∵AF=2,∴MF=AF?AM=2?∴DF=∵點H是AB的中點,點E是BC的中點,∴EH是△ABC的中位線,∴EH∥AC,∴∠DHE=∠ADH=60°.∵∠EDF=∠ADH=60°,∴∠ADH-∠FDH=∠EDF-∠FDH,∴∠ADF=∠HDE,∴△ADF≌△HDE(ASA),∴DE=DF=∵∠CDB=90壓軸突破7矩形中的路徑與最值1.33解:連接AC,取AC的中點O,連接BO,OQ.在矩形ABCD中,∠ABC=90°,AD=BC=33,AB=3,∴AC=∵點O是AC的中點,∠ABC=90°,∴AO=BO=CO=3,∴AB=AO=BO=3,∴△ABO是等邊三角形,∴∠BAO=60°,∵△APQ是等邊三角形,∴AP=AQ,∠PAQ=∠BAO=60°,∴∠BAP=∠QAC,∵AB=AO,AP=AQ,∴△ABP≌△AOQ(SAS),∴∠ABP=∠AOQ=90°,∴OQ是AC的垂直平分線,∴AQ=CQ,∴CQ+DQ=AQ+QD,∴當A,Q,D三點共線時,CQ+DQ的最小值為AD的長,∴CQ+DQ的最小值為332.22∴MN?//12CE,∴點P在線段MN上運動.當點F與點C重合時，點P與點N重合，此時DP的最小值為DN=23.D解:連接A'B,則FG=12A'4.D解:連接AP,∵四邊形AEPF為矩形,則AP必過點M,AP=EF=2PM,當AP⊥BC時,AP最小為6×8105.A解:DE=AD6.B解:當點E與點D重合時,點F?在CD的延長線上,DF1=5,當點E與點B重合時,點F?在BC的延長線上，C7.B解:過點E作EM⊥AB于點M,EN⊥AD于點N,則EM=NE,可證△EMB≌△ENF,∴EF=EB;當點E在線段OC上運動時,EB的最小值為OB=4,EB的最大值為BC=8,∴4≤EF≤8,故EF長度為整數(shù)是4,5,6,7,8,共5個.8.A解:取AB的中點M,AD的中點N,連接MF,NH,MG,NG,可求MG=NG=1,∠MGN=60°,∴∠MGF=∠NGH,又FG=HG,∴△MFG≌△NHG,∴NH=MF=12,∴CH≥slantCN?NH=7?12壓軸突破8矩形多結(jié)論1.①②③解:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=DC,AD∥BC,∴∠ADE=∠CED,∵∠BAD的平分線交BC于點E,∴∠BAE=∠DAH=45°,∴AE=∵AD=2AB,∴AD=AE,AB=AH=DH=DC,∴∠ADE=∠AED,∴∠AED=∠CED,∴②正確;可證△ABE≌△AHD(AAS),故①正確;∴BE=DH,∵AB=AH,∵∠AHB=12∴∠DHO=9∵∠EBH=9∴可證△BEH≌△HDF(ASA),∴BH=HF,故③正確;∵∠AHB=67.5°,∠BAE=45°,∴∠BAE≠∠AHB,∴AB≠BH,∴CD≠HF,故④錯誤;過點H作HK⊥BC于點K，可知KC=12BC,HK=KE,由上知HE=EC,∴12BC=KE+EC,又2.①②④解:∵∠AMB=∠EMB,BA⊥AM,BE⊥MN,∴BE=AB=CD,①正確;可證△MDC≌△CEB,∴CE=MD,②正確;設(shè)AB=BE=a,則.AD=BC=故△BCN為等腰直角三角形,∴CE=NE,④正確;③不一定正確，故選①②④.3.①②④解:由折疊知,AE=EC,∠AEF=∠CEF=∠CFE,∴CF=CE,①正確;設(shè)AB=2a,則BC=a,設(shè)AE=CE=x,∴即AE=54a,BE=3當△ECF為等邊三角形時,∠CEB=60°,設(shè)BE=t,則CE=AE=2t,BC=3t,∴AB=3t,故AB=3連接AF，可證四邊形AECF為平行四邊形，∴AF∥CE,又FG∥CF,∴GF必過點A,④正確.故答案為①②④.壓軸突破9菱形中的計算1.B解:連接AF,∵四邊形ABCD是菱形,∴∠ABF=∠CBF,AB=BC,又∵BF=BF,∴△ABF≌△CBF(SAS),∴AF=CF,∵四邊形AEFG為矩形,∴EG=AF,∴EG=CF,∵EG=5,∴CF=5,故選B.2.D解:設(shè)AC交BD于點O,則OA⊥OB,∴OB=AB3.B解:連接AF,DE交于點O,∵△ABC為等邊三角形,∵.∠C=∠CAB=6∵AD∥BC,∴∠BCA=∠DAE=60°,∵四邊形AEFD是菱形,∴AO=OF,EO=DO,AF⊥DE,∠DAF=30°=∠EAF,∴DO=∴AF=2AO=43∴BF=∵∠FAB=90°,G是BF的中點,∴AG=14.D解:延長AE交DC的延長線于點G,可證△ABE≌△GCE,∴CG=AB=4,∠G=∠EAB,又∠DFA=2∠EAB=∠G+∠FAG,∴∠G=∠FAG,∴FG=FA,設(shè)CF=x,則DF=4-x,AF=x+4,過點A作AH⊥CD交其延長線于點H,∴DH=2,AH=23在Rt△AHF中,x+42=2325.7解:∵CE=DF,∠ECD=∠FDB=60°,CD=DB,∴△CED≌△DFB,∴∠BFD=∠DEC,∴∠DGF=60°,過點D作DH⊥BF于點H,∴GH=∴BD=壓軸突破10菱形中的路徑與最值1.D解:作CQ'⊥AD于點Q',交BD于點K',當K與K'重合時,CK+QK最小,其值為32.4.8解:連接OP,∵四邊形ABCD是菱形,AC=12,BD=16,∴AC?BD,BO=∴BC=∵PE⊥AC,PF⊥BD,AC⊥BD,∴四邊形OEPF是矩形,∴FE=OP,∵當OP⊥BC時,OP有最小值,此時S△OBC=∴OP=6×83.23解:∵EF∥DC,∴四邊形FCDE為平行四邊形,FC=ED,FC+EC=EC+DE,D,C為定點,E為動點,作點D關(guān)于AE的對稱點.D'壓軸突破11菱形多結(jié)論D解:∵AF∥BG,AF=BG,∴四邊形AFGB為平行四邊形,∴FG∥AB,∵CE⊥AB,∴CE⊥FG,①正確;∵AD=2AB,∴AF=AB,∴四邊形AFGB為菱形,②正確;∵FG⊥CE,FG平分CE,∴EF=CF,③正確;∵∠EFC=2∠CFG,∵四邊形CDFG為菱形,∴∠CFG=∠CFD,∴∠EFC=2∠CFD,④正確,故選D.壓軸突破12正方形的有關(guān)計算1.34∵BD為正方形ABCD的對角線,∴∠ADQ=∠CDQ=45°,AD=CD,∵DQ=DQ,∴△ADQ≌△CDQ(SAS),∴AQ=CQ,∵點Q在AF的垂直平分線上,∴AQ=FQ,∴FQ=CQ,∵QE⊥CF,正方形ABCD的邊長為4,BF=1,∴FE=CE=∴BE=2.5=QE,∴QF=2.52解:連接BP并延長交AD于點G,連接GF,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∵P為AE的中點,∴AP=PE,∴△APG≌△EPB(ASA),∴BP=PG,AG=BE,∵Q為BF的中點,∴PQ=∵E是BC的中點,∴AG=BE=∴GF=3.B解:連接AC交ED于點M,則AC過點O,過點O作ON⊥OF交FD于點N,∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OD=OA,∵AC⊥BD,OF⊥ON,∴∠FON=∠AOD=90°,∴∠AOF=∠DON=90°-∠AON,∵AF⊥DE,∴∠AFM=90°,∴∠FAO+∠AMF=90°,∵∠AOD=90°,∴∠NDO+∠DMO=90°,∵∠AMF=∠DMO,∴∠FAO=∠NDO,∴△AFO≌△DNO,∴DN=AF=1,ON=OF=2，在Rt△FON中,由勾股定理得FN=OF2+ON2=2,4.52∴AM=CF,AC=MF=32∴AM=OF,OM=FB,∴OF=CF,∵∠CFO=90°,∴△CFO是等腰直角三角形,∵OC=22∴BF=OM=OF?FM=2?∴BC=2+5.10解:連接BF,CD,設(shè)BD與CF相交于O點,CF與AD交于點P,∵四邊形ABEF和四邊形ACGD為正方形,∴AB=AF,AC=AD,∠BAF=∠CAD=90°,BF=∵∠BAF=∠CAD,∴∠BAF+∠DAF=∠CAD+∠DAF,即∠BAD=∠FAC,∴△ABD≌△AFC(SAS),∴∠ADB=∠ACF,∵∠PDO+∠POD+∠DPO=∠PCA+∠PAC+∠APC,而∠DPO=∠APC,∴∠POD=∠PAC=90°,在Rt△CDO中,(OD2+