試題PAGE1試題深圳市百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試八年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：90分鐘滿分：100分）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.趙爽弦圖 B.笛卡爾心形線C.科克曲線 D.斐波那契螺旋線2.下列各式中正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，且，則 D.若，則3.用反證法證明：在中，中不能有兩個(gè)角是鈍角時(shí)，假設(shè)中有兩個(gè)角是鈍角，令，則所得結(jié)論與下列四個(gè)選項(xiàng)相矛盾的是（）A.已知 B.三角形內(nèi)角和等于C.鈍角三角形的定義 D.以上結(jié)論都不對(duì)4.下列命題：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②若，則；③若兩個(gè)角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角都是直角；④對(duì)頂角相等，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)5.如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝5，則DF的長(zhǎng)度是（）A.6 B.5 C.4 D.36.如圖，一個(gè)小孩坐在秋千上，若秋千繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了，小孩位置也從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A.70° B.60° C.50° D.40°7.如圖，已知，垂足為，，，則可得到，理由是（）A. B. C. D.8.已知點(diǎn)在第四象限，則取值范圍是（）A. B. C. D.9.如圖，是一張長(zhǎng)方形紙片，且．沿過(guò)點(diǎn)D的折痕將A角翻折，使得點(diǎn)A落在上（如圖中的點(diǎn)），折痕交于點(diǎn)G，則（）A. B. C. D.10.如圖，在中．，于D，的平分線交于點(diǎn)E，交于F，于M，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（）A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，它向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．12.如圖，在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，E．若的周長(zhǎng)為13，，則的周長(zhǎng)為______．13.如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A，則不等式的解集為________．14.若關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是________．15.如圖，中，，，，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為________．三、解答題（共55分）16解下列不等式：（1）；（2）．17.若a、b、c是的三邊，且a、b滿足關(guān)系式，c是不等式組的最大整數(shù)解，求的周長(zhǎng)．18.如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）畫出將關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形；（2）將繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出．19.如圖，在中，，，，P，Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）________cm（用t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若是等邊三角形，求t值．20.為了響應(yīng)習(xí)主席提出的“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，某中學(xué)開設(shè)了“足球大課間活動(dòng)”，該中學(xué)購(gòu)買A種品牌的足球30個(gè)，B種品牌的足球20個(gè)，共花費(fèi)3100元，已知B種品牌足球的單價(jià)比A種品牌足球的單價(jià)高30元．（1）求A、B兩種品牌足球的單價(jià)各多少元？（2）根據(jù)需要，學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的足球50個(gè)，正逢體育用品商店“優(yōu)惠促銷”活動(dòng)，A種品牌的足球單價(jià)優(yōu)惠4元，B種品牌的足球單價(jià)打8折，如果此次學(xué)校購(gòu)買A，B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)2750元，且購(gòu)買B種品牌的足球不少于24個(gè)．①若購(gòu)買A品牌的m個(gè)，則購(gòu)買B品牌________個(gè)；②有幾種購(gòu)買方案？為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇哪種方案？21.如圖，為等腰的頂角的平分線，，在線段上取一點(diǎn)E．使得，在線段上取一點(diǎn)F，使得，連接．（1）________度，________度，________度；（2）求證：；（3）與的位置關(guān)系為________（直接寫出）．22.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中，已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形．（1）如圖Ⅰ，點(diǎn)Q在第一象限，點(diǎn)Q坐標(biāo)是________；（2）如圖Ⅱ，在y軸正半軸有一點(diǎn)，連接線段，以為底在線段上方作等邊，此時(shí)P、Q，C三點(diǎn)共線，求出的值；（3）如圖Ⅲ，在y軸正半軸有一動(dòng)點(diǎn)，連接線段，以為底在線段下方作等邊，連接，請(qǐng)問(wèn)線段是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)．

深圳市百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022~2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試八年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：90分鐘滿分：100分）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.趙爽弦圖 B.笛卡爾心形線C.科克曲線 D.斐波那契螺旋線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】A．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；D．不是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2.下列各式中正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，且，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A．若，則，故該選項(xiàng)正確，符合題意；B．若，若，且，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．若，且，若，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D．若，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)．不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．3.用反證法證明：在中，中不能有兩個(gè)角是鈍角時(shí)，假設(shè)中有兩個(gè)角是鈍角，令，則所得結(jié)論與下列四個(gè)選項(xiàng)相矛盾的是（）A.已知 B.三角形內(nèi)角和等于C.鈍角三角形的定義 D.以上結(jié)論都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】由，可得＞從而與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾，于是可得答案．【詳解】解：，＞這與互相矛盾，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的理解與證明，掌握反證法證題的方法是解題的關(guān)鍵．4.下列命題：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②若，則；③若兩個(gè)角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角都是直角；④對(duì)頂角相等，真命題的個(gè)數(shù)是（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的乘方、補(bǔ)角的概念、對(duì)頂角相等判斷即可．【詳解】解：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題；②若，則，是真命題；③若兩個(gè)角互補(bǔ)，則這兩個(gè)角不一定都是直角，故本小題說(shuō)法是假命題；④對(duì)頂角相等，是真命題；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5.如圖，已知BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝5，則DF的長(zhǎng)度是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝5，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵.6.如圖，一個(gè)小孩坐在秋千上，若秋千繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了，小孩的位置也從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A.70° B.60° C.50° D.40°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答．【詳解】解：∵秋千旋轉(zhuǎn)了，小林的位置也從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．7.如圖，已知，垂足為，，，則可得到，理由是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理分析即可?！驹斀狻拷猓骸?，∴.在RT和RT中，,∴(HL)。故選.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定定理，掌握用判定兩個(gè)三角形全等是解決此題的關(guān)鍵。8.已知點(diǎn)在第四象限，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)第四象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，得到關(guān)于的不等式，求解可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)在第四象限，∴，解不等式組，可得．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及不等式組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解并掌握各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，列出關(guān)于的不等式．9.如圖，是一張長(zhǎng)方形紙片，且．沿過(guò)點(diǎn)D的折痕將A角翻折，使得點(diǎn)A落在上（如圖中的點(diǎn)），折痕交于點(diǎn)G，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)可得，，由折疊可知，，于是可得，得到，利用平行線的性質(zhì)可得，以此即可求解．【詳解】解：取的中點(diǎn)E，連接，∵四邊形為矩形，∴，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，在中，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)得到得到，進(jìn)而得到是解題關(guān)鍵．10.如圖，在中．，于D，的平分線交于點(diǎn)E，交于F，于M，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（）A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】連接，根據(jù)證得，即可證得，可以判斷②正確；由已知，，，從而證得三個(gè)直角三角形，即：，，再通過(guò)已知，的平分線和對(duì)頂角得，即得為等腰三角形，，證明四邊形是菱形，可以判斷①③正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷④錯(cuò)誤．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵的平分線交于E，∴，在和中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∴，∵的平分線交于E，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，∴，故①③正確；在中，，∵，∴，故④錯(cuò)誤．綜上所述：①②③．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，它向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減可得點(diǎn)B的坐標(biāo)是．【詳解】解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為，它向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故答案：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化--平移，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．12.如圖，在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，E．若的周長(zhǎng)為13，，則的周長(zhǎng)為______．【答案】23【解析】【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)的周長(zhǎng)為13得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，E，，∴，，∵的周長(zhǎng)為13，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)，故答案為：23．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．13.如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A，則不等式的解集為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及圖象的位置關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A，∴當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上方，∴不等式的解集為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了利用一次函數(shù)圖象解不等式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14.若關(guān)于x不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】利用不等式組取解集的方法，根據(jù)不等式組無(wú)解求出a的取值范圍即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式組無(wú)解，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的解集，熟知一元一次不等式組的解集的確定方法“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)處找”是解題的關(guān)鍵．15.如圖，中，，，，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為________．【答案】3【解析】【分析】將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則此時(shí)三點(diǎn)在同一直線上，得出Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，由直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理可得出答案．【詳解】將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則此時(shí)三點(diǎn)在同一直線上，∵，∴，隨著P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，總有，∴總有，即三點(diǎn)在同一直線上，∴Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，∴當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度最小，中，，∴，即C為的中點(diǎn)，∵，∴，為的中位線，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共55分）16.解下列不等式：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）不等式去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可；（2）不等式去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可．【小問(wèn)1詳解】去括號(hào)，得：移項(xiàng)，得：合并同類項(xiàng)，得：系數(shù)化為1，得：【小問(wèn)2詳解】．去分母，得：去括號(hào)，得：移項(xiàng)，得：合并同類項(xiàng)，得：系數(shù)化為1，得：【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．17.若a、b、c是的三邊，且a、b滿足關(guān)系式，c是不等式組的最大整數(shù)解，求的周長(zhǎng)．【答案】11【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到、的值；再由不等式組的解集求出的值，進(jìn)而求出三角形的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵，，，．由不等式組的解得，是不等式組的最大整數(shù)解，．的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．18.如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）畫出將關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形；（2）將繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)成中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)畫圖即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向畫圖即可．【小問(wèn)1詳解】作圖如下：【小問(wèn)2詳解】作圖如下：【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)和中心對(duì)稱圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19.如圖，在中，，，，P，Q是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）________cm（用t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若是等邊三角形，求t值．【答案】（1）（2）秒（3）【解析】【分析】（1）求出的長(zhǎng)，根據(jù)題意即可用t可分別表示出；（2）結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，可得到關(guān)于t的方程，可求出答案；（3）用t分別表示出，利用等邊三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【小問(wèn)1詳解】由題意可知∵∴，∴，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】若是等腰三角形，則只能，，，解得：，此時(shí)點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，是等腰三角形時(shí)無(wú)解．【小問(wèn)3詳解】當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，是等邊三角形，，即，解得：若是等邊三角形，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．20.為了響應(yīng)習(xí)主席提出的“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，某中學(xué)開設(shè)了“足球大課間活動(dòng)”，該中學(xué)購(gòu)買A種品牌的足球30個(gè)，B種品牌的足球20個(gè)，共花費(fèi)3100元，已知B種品牌足球的單價(jià)比A種品牌足球的單價(jià)高30元．（1）求A、B兩種品牌足球的單價(jià)各多少元？（2）根據(jù)需要，學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的足球50個(gè)，正逢體育用品商店“優(yōu)惠促銷”活動(dòng)，A種品牌的足球單價(jià)優(yōu)惠4元，B種品牌的足球單價(jià)打8折，如果此次學(xué)校購(gòu)買A，B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)2750元，且購(gòu)買B種品牌的足球不少于24個(gè)．①若購(gòu)買A品牌的m個(gè)，則購(gòu)買B品牌________個(gè)；②有幾種購(gòu)買方案？為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇哪種方案？【答案】（1）種品牌足球的單價(jià)是50元，種品牌足球的單價(jià)是80元（2）①；②2種，購(gòu)買26個(gè)A種品牌的足球，24個(gè)B種品牌的足球【解析】【分析】（1）設(shè)A種品牌足球的單價(jià)是元，種品牌足球的單價(jià)是元，根據(jù)“該中學(xué)購(gòu)買A種品牌的足球30個(gè)，B種品牌的足球20個(gè)，共花費(fèi)3100元，已知B種品牌足球的單價(jià)比A種品牌足球的單價(jià)高30元”列出方程組并解方程組即可；（2）①學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的足球50個(gè)，由購(gòu)買A品牌的m個(gè)即可得到答案；②根據(jù)“學(xué)校購(gòu)買A，B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)2750元，且購(gòu)買B種品牌的足球不少于24個(gè)”得到不等式組，求出不等式組的解集，進(jìn)一步寫出方案即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)A種品牌足球的單價(jià)是元，種品牌足球的單價(jià)是元，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種品牌足球的單價(jià)是50元，B種品牌足球的單價(jià)是80元．【小問(wèn)2詳解】①∵學(xué)校決定再次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的足球50個(gè)，由購(gòu)買A品牌的m個(gè)，則購(gòu)買B品牌個(gè)，故答案為：②根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為25，26，共有2種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)買26個(gè)種品牌的足球，24個(gè)種品牌的足球，總費(fèi)用為（元）；方案2：購(gòu)買25個(gè)種品牌的足球，25個(gè)種品牌的足球，總費(fèi)用為（元）．，為了節(jié)約資金，學(xué)校應(yīng)選擇購(gòu)買方案1，即購(gòu)買26個(gè)種品牌的足球，24個(gè)種品牌的足球．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21.如圖，為等腰的頂角的平分線，，在線段上取一點(diǎn)E．使得，在線段上取一點(diǎn)F，使得，連接．（1）________度，________度，________度；（2）求證：；（3）與的位置關(guān)