第1頁(yè)/共1頁(yè)2025北京十五中高一（下）期中數(shù)學(xué)2025.04本試卷共5頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡和答題紙上，在試卷上作答無(wú)效.第一部分（選擇題共40分）選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).（1）若，且，則角是（）（A）第一象限角（B）第二象限角（C）第三象限角（D）第四象限角（2）已知，且是第四象限角，那么的值是（）（A）（B）（C）（D）（3）（）（A）（B）（C）（D）（4）已知向量，，且，則（）（A） （B） （C） （D）（5）已知，，，則的大小關(guān)系為（）（A） （B） （C） （D）（6）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）（7）若，則（）（A） （B） （C） （D）（8）在中，，則（）（A） （B）（C）（D）（9）已知函數(shù)的最小正周期為，最大值為，則函數(shù)的圖象（）（A）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（B）關(guān)于直線對(duì)稱（C）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（D）關(guān)于直線對(duì)稱（10）已知平面向量為兩兩不共線的單位向量，則“”是“與共線”的（）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.（11）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=_________.（12）已知且，則等于_________.（13）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則=_______；=_______.（14）①若則________；②面積的最大值為_(kāi)________．（15）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)給出以下四個(gè)結(jié)論：函數(shù)的最小正周期是；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)；直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16．（本小題13分）已知均為銳角，，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．17.（本小題14分）已知向量,設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)求的最小正周期.

(Ⅱ)求在上的零點(diǎn).18.（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且的面積，求的值．19．（本小題15分）已知函數(shù)函數(shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為求：（Ⅰ）的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在區(qū)間上的最大值和最小值.20.（本小題15分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面積為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的值.條件①：；條件②：；條件③：注：按第一個(gè)解答計(jì)分．21.（本小題15分）設(shè)為正整數(shù)，若滿足：①，；②對(duì)于，均有；則稱具有性質(zhì).對(duì)于和，定義集合.（I）設(shè)，若具有性質(zhì)，寫出一個(gè)及相應(yīng)的；（II）設(shè)和具有性質(zhì)，那么是否可能為，若可能，寫出一組和，若不可能，說(shuō)明理由；（III）設(shè)和具有性質(zhì)，對(duì)于給定的，求證：滿足的有偶數(shù)個(gè).

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B（6）D （7）A （8）D （9）B (10)C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）或（13），（14），（15）①②④.三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：(Ⅰ)因?yàn)闉殇J角，，又因?yàn)?，所以，所以因此?分(Ⅱ)因?yàn)闉殇J角，，，所以，同理，又因?yàn)椋?，所以，所以．所?13分（17）（本小題14分）解:(Ⅰ)=.最小正周期.所以最小正周期為.8分(Ⅱ)，當(dāng)時(shí)，，令，則或，所以或.所以函數(shù)在上的零點(diǎn)為和.14分方法二：令，則，所以，因?yàn)?，所以?所以函數(shù)在上的零點(diǎn)為和.14分（18）（本小題13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．所以?分（Ⅱ）因?yàn)?，由正弦定理得，所以．因?yàn)榈拿娣e為，即，所以．所以． 13分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）．因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為，所以，故．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．9分（Ⅱ）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，即時(shí)，取最大值，最大值為；當(dāng)，即時(shí)，取最小值，最小值為.15分方法二：由（Ⅰ）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，同理的單調(diào)遞減區(qū)間為，又因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為，又有，所以的最小值為.15分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）由及正弦定理，得. 由倍角公式得. 在中，，，得. 因?yàn)椋? 7分 （Ⅱ）記的面積為.選條件②：由（Ⅰ）知，又由題知，可得得. 又由條件②，即，解得. 由余弦定理，得，所以 15分選條件③：又由條件③，即以及，可得.所以由（Ⅰ）知，又由題知，可得.得. 由正弦定理得. 可設(shè).由，得.得 15分（21）（本小題15分）解：（I）根據(jù)題意，令，1，，則相應(yīng)的；4分第一問(wèn)的答案也可以是：若，2，，則相應(yīng)的，；若，0，，則相應(yīng)的，；若，2，，則相應(yīng)的，；若，0，，則相應(yīng)的，；若，1，，則相應(yīng)的，；（II）假設(shè)存在，，，，和，，，均具有性質(zhì)，且，1，2，3，4，，則，因?yàn)榕c同奇同偶，所以與同奇同偶，而，，可見(jiàn)奇偶不同，這與上述結(jié)論相矛盾，因此假設(shè)不成立．10分綜上可得，不存在具有性質(zhì)的，，滿足，1，2，3，4，．（III）證明：不妨設(shè)，，，，，，，構(gòu)成一個(gè)數(shù)表交換數(shù)表中兩行，可得數(shù)表調(diào)整數(shù)表中各列的順序，使第一行數(shù)據(jù)變?yōu)?，，，，設(shè)第二行變?yōu)椋?，，，令，，，，則具有性質(zhì)，且，1，2，，，若，，，與，，，相同，則，，，，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)排列，所以，一定存在，設(shè)，經(jīng)過(guò)上述方式調(diào)整以后，則有，故，如果，，，與，，，相同，則，，①，1，2，，，