2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級期中必刷?？碱}之

實數(shù)及其簡單運算

一.選擇題（共5小題）

22,___

L（2。2。?福田區(qū)校級模擬）m亍7,V343,3.1416.0.3中，無理數(shù)的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2015?棗莊）實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示,則下列式子中正確的是（）

A

ab0X

A.ac>bcB.\a-b\=a-bC.-a<-b<cD.-a-c>-b-c

3.(2015?杭州)若kV回Vk+1（人是整數(shù)）,則上=（）

A.6B.7C.8D.9

4.（2020春?大同期末）若同=4,Vh2=3,且a+b<0,貝！J〃-Z?的值是()

A.1,7B.-1,7C.1,-7D.-1,-7

5.（2023春?鶴峰縣期末）有下列說法：（1）無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；（2）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù);

（3）無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù)；（4）無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示.其中正確的說法

的個數(shù)是（

A.1B.2C.3D.4

二.填空題（共5小題）

2

6.（2012?常德）規(guī)定用符號表示一個實數(shù)優(yōu)的整數(shù)部分，例如：[-]=0,[3.14]=3.按此規(guī)定[VTU+1]

的值為.

7.（2018?徐州）化簡：|百一2|=.

8.（2006?巴中）舊的整數(shù)部分是a,通的小數(shù)部分是6,則浦=.

9.（2017?成都）如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是.

-2-101J2

A/5—1A/5—1

10.（2017?涼州區(qū)）估計----與0.5的大小關(guān)系是：-----0.5.（填

22-----------

三.解答題（共5小題）

11.（2024春?惠陽區(qū)期末）已知：3a+l的立方根是-2,26-1的算術(shù)平方根是3,c是房的整數(shù)部分.

⑴求a,b,c的值；

Q

(2)求2a-6+於的平方根.

12.(2021?饒平縣校級模擬)計算：|-3|-V16+|x7=8+(-2)2.

13.(2023秋?臨渭區(qū)期末)已知5a+2的立方根是3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,c是g的整數(shù)部分，

求3a-b+c的平方根.

14.(2019秋?洛寧縣期末)已知2a-1的算術(shù)平方根是3,3a+b-1的平方根是±4,c是的整數(shù)部分，

求a+2b-c的平方根.

15.(2021春?饒平縣校級期末)對于實數(shù)處我們規(guī)定：用符號［g］表示不大于6的最大整數(shù)，稱［份］為

a的根整數(shù)，例如：［迎］=3,［V10］=3.

(1)仿照以上方法計算：［〃］=；［V26］=.

(2)若［毋］=1,寫出滿足題意的尤的整數(shù)值.

如果我們對a連續(xù)求根整數(shù),直到結(jié)果為1為止.例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次=3-［百］=1,

這時候結(jié)果為L

(3)對100連續(xù)求根整數(shù)，次之后結(jié)果為1.

(4)只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級期中必刷常考題之

實數(shù)及其簡單運算

參考答案與試題解析

題號12345

答案BDDDB

選擇題（共5小題）

22___

1.（2020?福田區(qū)校級模擬）71、—,-V3,V343,3.1416,0.3中，無理數(shù)的個數(shù)是（）

7

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】無理數(shù).

【專題】數(shù)感.

【答案】B

【分析】由于無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：m2TT等；開方開不盡的數(shù);

以及0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).由此即可判定選擇項.

22___

【解答】解：在m,-V3,V343，3.1416,0.3中，

7

無理數(shù)是：it,一8共2個.

故選：B.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義.注意帶根號的數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，

帶根號且開方開不盡的數(shù)一定是無理數(shù).本題中麻=7是有理數(shù)中的整數(shù).

2.（2015?棗莊）實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）

-------------------------A

ab0cx

A.ac>bcB.\a-b\—a-bC.-a<-b<cD.-a-c>-b-c

【考點】實數(shù)與數(shù)軸.

【專題】數(shù)形結(jié)合.

【答案】D

【分析】先根據(jù)各點在數(shù)軸上的位置比較出其大小，再對各選項進(jìn)行分析即可.

【解答】解：：由圖可知，a<b<Q<c,

；.A、ac<bc,故A選項錯誤；

B、*：a<b,

?,?a-b<0,

/.\a-b\=b-〃，故3選項錯誤；

C、9：a<b<0,

-a>-Z?,故C選項錯誤；

D、*.*-a>-b,c>0,

-a-c>-b-c,故0選項正確.

故選：D.

【點評】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2015?杭州）若女V同〈上+1（左是整數(shù)），則左=（）

A.6B.7C.8D.9

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【答案】D

【分析】根據(jù)府=9,V100=10,可知9V同V10,依此即可得到上的值.

【解答】解：（左是整數(shù)），9<V90<10,

:?k=9?

故選：D.

【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵是估算回的取值范圍，從而解決問題.

4.（2020春?大同期末）若⑷=4,嬌=3,且a+b<0,貝Ua-b的值是（）

A.1,7B.-1,7C.1,-7D.-1,-7

【考點】實數(shù)的運算.

【專題】計算題.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，利用絕對值的代數(shù)意義及二次根式性質(zhì)化簡，確定出a與b的值，即可求出a-b

的值.

【解答】解：：間=4,府=3,且。+6<0,

.".a--4,b--3a--4,b=3,

貝!Ja-b=-1或-7.

故選：D.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

5.（2023春?鶴峰縣期末）有下列說法：（1）無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；（2）無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù);

（3）無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù)；（4）無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示.其中正確的說法

的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點】無理數(shù).

【專題】數(shù)感；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義以及實數(shù)的分類即可作出判斷.

【解答】解：（1）1T是無理數(shù)，而不是開方開不盡的數(shù)，則命題錯誤；

（2）無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，則命題正確；

（3）0是有理數(shù)，不是無理數(shù)，則命題錯誤；

（4）正確；

故選：B.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：it,27r等；開方開不盡的數(shù)；

以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù).

二.填空題（共5小題）

2

6.（2012?常德）規(guī)定用符號[詞表示一個實數(shù)相的整數(shù)部分，例如：[-]=0,[3,14]=3.按此規(guī)定/而+1]

的值為4.

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【專題】壓軸題；新定義.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】求出VTU的范圍，求出“U+1的范圍，即可求出答案.

【解答】解：?..svVmy,

.,.3+l<V10+l<4+l,

.,.4<V10+l<5,

A[V10+l]=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查了估計無理數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定VTU+1的范圍，題目比較新穎，是一道比較好的

題目.

7.（2018?徐州）化簡：1西—21=2一百.

【考點】實數(shù)的性質(zhì).

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】要先判斷出遍-2<0,再根據(jù)絕對值的定義即可求解.

【解答】解：???班一2<€

A|V3-2|=2-V3.

故答案為：2-百.

【點評】此題主要考查了絕對值的性質(zhì).要注意負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).

8.（2006?巴中）次的整數(shù)部分是°,遍的小數(shù)部分是6,則漏=_有一2_.

【考點】估算無理數(shù)的大??；代數(shù)式求值.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由于1<舊<2,2<V5<3,由此可以找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間，然后

判斷出所求的無理數(shù)的整數(shù)部分，小數(shù)部分讓原數(shù)減去整數(shù)部分，代入所求代數(shù)式求值即可.

【解答】解：<g<2,2<V5<3,

Z?=V5—2,

：.ab=lX（V5-2）=V5-2.

故填空答案：V5-2.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，解題首先估算出整數(shù)部分后，然后即可求出小數(shù)部分.

9.（2017?成都）如圖，數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是強(qiáng)-1.

-2-101A2

【考點】實數(shù)與數(shù)軸.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜邊長即可得出A點對應(yīng)的實數(shù).

【解答】解：由圖形可得：-1到A的距離為kTN=V5,

則數(shù)軸上點A表示的實數(shù)是：V5-1.

故答案為：V5—1.

【點評】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，正確得出-1到A的距離是解題關(guān)鍵.

V5-1V5-1

10.（2017?涼州區(qū)）估計——與0.5的大小關(guān)系是：——>0.5.（填

22---------

【考點】實數(shù)大小比較.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先把兩個數(shù)采用作差法相減，根據(jù)差的正負(fù)情況即可比較兩個實數(shù)的大小.

【解答】解：0.5=鳥匚一4=今

2乙乙乙

?/V5-2>0,

故答案為：>.

【點評】此題主要考查了兩個實數(shù)的大小，其中比較兩個實數(shù)的大小，可以采用作差法、取近似值法等.

三.解答題（共5小題）

11.（2024春?惠陽區(qū)期末）已知：3a+l的立方根是-2,26-1的算術(shù)平方根是3,c是房的整數(shù)部分.

（1）求a,b,c的值；

（2）求2a-6+於的平方根.

【考點】估算無理數(shù)的大小；平方根.

【專題】實數(shù)；數(shù)感；運算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、無理數(shù)的估算即可求出縱6、c的值；

（2）求出代數(shù)式2a-b+2c的值，再求這個數(shù)的平方根.

【解答】解：（1）：3a+l的立方根是-2,

；.3a+l=-8,

解得，a=-3,

?：2b-l的算術(shù)平方根是3,

，26-1=9,

解得，b=5,

VV36<V43<V49.

.?.6<V43<7,

...后的整數(shù)部分為6,

即，c=6,

因此，a=-3,b=5,c=6,

（2）當(dāng)〃=-3,b=5,c=6時，

_99

2〃-Z?+1c=-6-5+2x6=16,

2a-的平方根為土，］石=±4.

【點評】本題考查算術(shù)平方根、立方根、無理數(shù)的估算，掌握算術(shù)平方根、立方根和無理數(shù)的估算是正

確解答的前提.

12.（2021?饒平縣校級模擬）計算：|-31-^16+1x7=8+（-2）2.

【考點】實數(shù)的運算.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】原式第一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第二項利用算術(shù)平方根定義計算，第三項利用立方根

定義計算，第四項利用乘方的意義化簡，計算即可得到結(jié)果.

1

【解答】解：原式=3-4+X（-2）+4=3-4-1+4=2.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

13.（2023秋?臨渭區(qū)期末）已知5a+2的立方根是3,3a+6-1的算術(shù)平方根是4,c是舊的整數(shù)部分，

求3a-6+c的平方根.

【考點】估算無理數(shù)的大小；平方根；算術(shù)平方根；立方根.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無理數(shù)的估算方法，求出。、b、c的值，代入代數(shù)式

求出值后，進(jìn)一步求得平方根即可.

【解答】解：：5a+2的立方根是3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,

「?5〃+2=27,3a+b-1=16,

??〃=5,Z?=2,

Ye是g的整數(shù)部分，

，c=3,

3a-Z?+c=16,

3a-b+c的平方根是±4.

【點評】此題考查立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無理數(shù)的估算方法、平方根的意義、代數(shù)式求值

等知識點，讀懂題意，掌握解答順序，正確計算即可.

14.（2019秋?洛寧縣期末）已知2a-1的算術(shù)平方根是3,3a+b-1的平方根是±4,c是的整數(shù)部分，

求a+2b-c的平方根.

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先依據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義列出關(guān)于。、6的方程組求得。、b的值，然后估算出回的

大小，可求得c的值，接下來，求得。+26-c的值，最后求它的平方根即可.

【解答】解：由題意得：守?，

（3。+b—1=16

Z?=2.

V9<13<16,

.?.3<V13<4.

；.c=3.

a+2b-c—6.

a+2b-c的平方根是士聲.

【點評】本題主要考查的是算術(shù)平方根、平方根的定義、估算無理數(shù)的大小，熟練掌握相關(guān)定義和方法

是解題的關(guān)鍵.

15.（2021春?饒平縣校級期末）對于實數(shù)處我們規(guī)定：用符號［份］表示不大于6的最大整數(shù)，稱［份］為

a的根整數(shù)，例如：［眄］=3,［V10］=3.

（1）仿照以上方法計算：兩=2；電=5.

（2）若［日］=1,寫出滿足題意的x的整數(shù)值1,2,3.

如果我們對a連續(xù)求根整數(shù),直到結(jié)果為1為止.例如:對10連續(xù)求根整數(shù)2次=3-［b］=1,

這時候結(jié)果為1.

（3）對100連續(xù)求根整數(shù)，3次之后結(jié)果為1.

（4）只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是255.

【考點】估算無理數(shù)的大??；實數(shù)的運算.

【專題】新定義.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）先估算隹和回的大小，再由并新定義可得結(jié)果；

(2)根據(jù)定義可知無<4,可得滿足題意的x的整數(shù)值；

(3)根據(jù)定義對100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結(jié)果為1；

(4)最大的正整數(shù)是255,根據(jù)操作過程分別求出255和256進(jìn)行幾次操作，即可得出答案.

【解答】解：⑴V22=4,52=25,62=36,

：.5<>/26<6,

?'?[V4]=[2]=2,[V26]=5,

故答案為:2,5；

(2)Vl2=l,22=4,且畫=1,

??x~~1,2,3,

故答案為：1,2,3；

(3)第一次：[V1UU]=1O,

第二次：[VI6]=3,

第三次：[遮]=1,

故答案為:3；

(4)最大的正整數(shù)是255,

理由是：V[7255]=15,[V15]=3,[V3]=l,

/.對255只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?,

V[7256]=16,[V16]=4,[V4]=2,[V2]=l,

...對256只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?,

只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255；

故答案為:255.

【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和猜想能力，同時也考查了一

個數(shù)的平方數(shù)的計算能力.

考點卡片

1.平方根

(1)定義：如果一個數(shù)的平方等于。，這個數(shù)就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根.

(2)求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.

一個正數(shù)。的正的平方根表示為“g負(fù)的平方根表示為“-迎”.

正數(shù)a的正的平方根，叫做。的算術(shù)平方根，記作份.零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，。的立方根是

0.

2.算術(shù)平方根

(1)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a,即f=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算

術(shù)平方根.記為6.

(2)非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根。本身是非負(fù)數(shù).

(3)求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時，可以

借助乘方運算來尋找.

3.立方根

(1)定義：如果一個數(shù)的立方等于。，那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說，如果尤3=°,

那么x叫做。的立方根.記作：密.

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)，。的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

(3)求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中。叫做被開方數(shù).

注意：符號狐中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一

個立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是

0.

4.無理數(shù)

(1)、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周率、2的平方根

等.

(2)、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，

1

比如4=4.0,弓=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如魚=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.

(3)學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有TT

TC

的數(shù)，如分?jǐn)?shù)5是無理數(shù)，因為TT是無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型

(1)開不盡的方根，如魚，V3,巡等.

(2)特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003…(兩個3之間依次多一個0).

(3)含有n的絕大部分?jǐn)?shù)，如2n.

注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如底是有理數(shù)，而不是無理數(shù).

5.實數(shù)的性質(zhì)

(1)在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣.實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點

與原點的距離.

(2)實數(shù)的絕對值：正實數(shù)。的絕對值是它本身，負(fù)實數(shù)的絕