決勝2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)"8+4+4”小題強(qiáng)化訓(xùn)練（19）

（導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.函數(shù)/（x）=xlnx,正確的命題是（）

A.值域?yàn)镽B.在（L+c。）是增函數(shù)

C./（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D.過(guò)（1,0）點(diǎn)的切線(xiàn)有兩條

【答案】B

【解析】因?yàn)?（x）=xlnx,所以/'（x）=lnx+l=0nx='，

e

因此當(dāng)X＞工時(shí)/'（X）＞0,/（X）在（-，^）上是增函數(shù)，即在（L+8）上是增函數(shù)；

ee

當(dāng)0＜x（工時(shí)，（x）＜0,/（x）在（―8」）上是減函數(shù)，因此/（x）2/（!）=—!；值域不為R;

eeee

當(dāng)0＜x＜g時(shí)〃x）＜0,當(dāng)時(shí):/（l）=0；./（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，即“可只有一個(gè)零點(diǎn)；

設(shè)切點(diǎn)為（不，豌），%）,則空手所以過(guò)（1,0）點(diǎn)的切線(xiàn)只有一條；

%—1

故選:B.

2.已知定義在區(qū)間（。⑼上的函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)為尸（X）,r（x）的圖象如圖所示，則（）

A.“X）在（吃力）上有增也有減B.“X）有2個(gè)極小值點(diǎn)

C.“工4）4/（工5）D.〃尤）有1個(gè)極大值點(diǎn)

【答案】D

【解析】由圖可得，當(dāng)xe（a,%），時(shí)，fV）-0'當(dāng)x?W，X4）時(shí)，尸（力＜。.

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（。,々），優(yōu)力），單調(diào)遞減區(qū)間為（9,匕），

所以有1個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn).

故A、B錯(cuò)誤，而％＜當(dāng)＜"，）（4卜〃龍5），C錯(cuò)誤.

故選：D

3.已知函數(shù)=V-/+3x在R上單調(diào)遞增，且g(無(wú))=尤+￡在區(qū)間(1,2］上既有最大值又有最小值，則

2x

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.［3,4)B.(2,3］C.(3,4］D.［2,3)

【答案】B

【解析】［.因?yàn)?'(x)=V-ox?+3x,貝!!/'(x)=3/-2ox+3,

若/(x)在R上單調(diào)遞增，則廣(力20在R上恒成立,

即3/-2依+320恒成立，則A=4°2—3640,解得-34aV3；

2.因?yàn)間(x)=x+早，貝以安)=三:3,

①當(dāng)時(shí),g'(x)>0對(duì)任意x?l,2］恒成立，所以g(x)在(1,2］上單調(diào)遞增,

此時(shí)只有最大值，沒(méi)有最小值不滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)時(shí)，g'(x)40對(duì)任意恒成立,所以g(x)在(1,2］上單調(diào)遞減,

此時(shí)只有最小值，沒(méi)有最大值不滿(mǎn)足題意；

③當(dāng)2<〃<8時(shí)，令g'(x)>0,解得欄<x<2；令g'(x)<0,解得l<x<g

則g(x)在、存2單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以gg為最小值,

若g(x)在(1,2]上既有最大值，又有最小值，

貝！Ig(2)Ng(l)o2+「021+/旦2<a<8,解得：2<a<4；綜上所述：2<a<3.

故選：B.

4.(2023秋?江蘇常州?高三前黃高級(jí)中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)/(x)=e*-b-2sinx,則關(guān)于/的不等式

/(f)+/(2f+l)之。的解集為()

A.(一8,一1]B.^―℃,――C.D.-1,+oo|

【答案】D

【解析】因?yàn)?(x)=e-e-、—2sinx,其定義域?yàn)镽,

所以/(-x)=e-x-eA-2sin(-x)=-(eA-e-v-2sinx)=-f(x),故/(x)為奇函數(shù),

又(x)=e*+e~x-2cosx>2\/exxe~x-2cosx>0<

當(dāng)且僅當(dāng)e'=er,cosx=l,即x=0時(shí)等號(hào)成立，所以從同在R上單調(diào)遞增,

故由/?)+/■⑵+1)之0得/⑺》_/(2,+1),ap/(?)>/(-i-2r),

所以/2—1—2/,解得—.

3

故選：D.

5.(2023秋,江蘇蘇州?高三南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)已知函數(shù)/。)=^+奴2-x+/?(a/eR),

則不正確的是()

A.若點(diǎn)(0,2)可能是曲線(xiàn)y=/(x)的對(duì)稱(chēng)中心，則a=0,b=2

B.〃龍)一定有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.函數(shù)y=/(x)可能在R上單調(diào)遞增

D,直線(xiàn)丁=一次可能是曲線(xiàn)y=/(x)的切線(xiàn)

【答案】c

【解析】/(x)=x3+ar2-x+^(a,Z?eR),

若點(diǎn)(0,2)可能是曲線(xiàn)y=/(x)的對(duì)稱(chēng)中心，

則有〃°+X)+/(0T)=2恒成立,

2

所以(1+加—/少卜八加+4與_2以”一女2+)=2恒成立，

22

所以a=0,b=2,

故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)?(%)=%3+G?-％+/(a/￡R),

所以/"(%)=3%之+2ax-1,

所以△=(2Q)2+12>0,

所以/'(%)=3爐+2ax-l有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，不妨假設(shè)為為/且玉<W，

X(0丙)(%,%)巧(x2,+oo)

f(x)+0—0+

"%)/極大值極小值/

所以了（九）一定有兩個(gè)極值點(diǎn),

故選項(xiàng)B正確；

f（x）-3x2+2ax-1,

所以f\x）=3/+2奴—1=0有兩根，不妨假設(shè)為%%且占<%

所以在區(qū)間（0,石）函數(shù)單調(diào)遞增，在（玉,馬）函數(shù)單調(diào)遞減，在（乙，+8）函數(shù)單調(diào)遞增，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

設(shè)切點(diǎn)為加，則有

f'（m）=3/712+2am-1=-1

/（m）=m3+am2-m+b=-m

2

m=——a,

m=0,3

4o

解得4匕=0,或46=—4,

故直線(xiàn)y=一％可能是曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)，

故D選項(xiàng)正確.

故選：C.

6.若關(guān)于X的不等式（。-1）（山。+]”*-1在]￡[0』內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是（）

1211

A.—B.-,eC.-,e2D.

_2eJ|_ee

【答案】B

【解析】由Ina有意義可知，a>0.

由(e-l)(lna+x)>(7ex-1,(e-1)Inaer)>aer-1.

令f=ae、'，BPW(e-l)lnr>r-l.

因?yàn)閤e[0,l],所以/=ae*e[a,ae],令〃/)=(e-l)ln「T+l,

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在te[a,ae],使得/(r)20.

6—]—1

因?yàn)槭琖=-----■，令r(r)<0,即e—1—r<0,解得，>e—l；

令『'⑺>0,即e—1—>0,解得0</<e—1,

所以〃。在(。工-1)上單調(diào)遞增，在(eT,E)上單調(diào)遞減

X/(l)=0,/(e)=(e-l)lne-e+l=0,所以當(dāng)IVYe時(shí)，/(r)>0.

因?yàn)榇嬖趂e[a,ae],使得成立，所以只需aMe且aeN1,解得ae1,e.

故選：B.

7.(2023秋?江蘇?高三靖江中學(xué)、華羅庚中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)/('=咚二(冽<0),且(％)=史上⑹，

3%x

設(shè)方程/(g(x))=，的3個(gè)實(shí)根分別為XI,巧，x3,且西<工2<七，則8(%)+28(%2)+38(不)的值

可能為().

1268

A.—B.-C.—D.一

eeee

【答案】B

【解析】由題設(shè)，g(x)=電5的定義域?yàn)?-8,0),且g，(x)=lTn'f),

XX

.?.當(dāng)xe(—8,—e)時(shí)，g'(x)<0,即g(x)遞減；當(dāng)xe(—e,0)時(shí)，g'(x)>0,即gO)遞增.

g(x)>g(—e)=—L又x在(―哈—e)上逐漸變小時(shí)g(x)逐漸趨近于0,當(dāng)—1<%<0時(shí)g(x)>g(—1)=0

e

且隨x趨向于0,g(x)趨向無(wú)窮大.(如圖2)

???g(%)的圖象如圖1、圖2：

h(y)=-e

g(x)=T~

???/(x)的定義域?yàn)閧X|X片0},由/(x)+l=0可得：3/+—爪2=0在(-00,0)1J(0,+8)上必有兩個(gè)

m

不等的實(shí)根九馬

m

(假設(shè)4>/2)且4=一加4=§(加<°)，

.?.令/=g(x),要使/(。+l=0的3個(gè)實(shí)根，則

m

]1m3

%e[0,+oo)、?e(——,0),即一—<一<0,可得一一<"2<0.

2-ee3e

/.由王<々<演知：t]=g(xj=g(%2)，%=g(%3)，

...g(%1)+2g(x)+3g(x)=3(?!+t)=-2me(0,-).

232e

故選：B

8.(2023秋?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)郡中學(xué)月考)若實(shí)數(shù)a,仇c,d滿(mǎn)足匕土=三=1,則(a-。丁+3-〃)？的

ba-1

最小值是()

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

Qa

【解析】由佇絲=1,得8=a-2e°，令/(%)=%-2e1則/(x)=l-2e)

b

令/(x)=0得x=—ln2,當(dāng)x>—ln2時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x<—ln2時(shí)，/(x)>0,/(x)

單調(diào)遞增；

由^~^=1,得1=一0+2,令g(x)=-x+2,

U—1

y(%),g(x)的圖像如下圖：

則(?-c)2+(b-d￥表示y=/(%)上一點(diǎn)與y=g(x)上一點(diǎn)N(c,d)的距離的平方，

顯然，當(dāng)過(guò)M點(diǎn)了(%)的切線(xiàn)與g(x)平行時(shí)，最小，

設(shè)y=/(x)上與y=g(x)平行的切線(xiàn)的切點(diǎn)為％小，%)，由/'(%)=l—2e%=-1,解得%=0,

'|0-2-2|?

所以切點(diǎn)為Mo（0,-2）,切點(diǎn)到y(tǒng)=g（x）的距離的平方為=8,

、^/i+T?

即（。―C）2+0—d）2的最小值為8;

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

1nx

9.對(duì)于函數(shù)/（x）=—,下列說(shuō)法正確的是（）

A.『（尤）在％=e處取得極大值B./（X）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

C./（%）的極小值點(diǎn)為x=eD./(五)</(而</(2)

【答案】AD

1_]

【解析】函數(shù)定義域?yàn)椋?,+8）,令/（力=工-Jinx,。,解得x=e,

當(dāng)0<X<e時(shí),/'（x）>0,/（九）單調(diào)遞增；當(dāng)龍〉e時(shí),/（%）<0,/（九）單調(diào)遞減;

所以當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)有極大值為"e）=L,則A正確，C不正確；

e

當(dāng)x=l時(shí)，/⑴=乎=0,因?yàn)?（%）在（o,e）上單調(diào)遞增，所以在（O,e）上有一個(gè)零點(diǎn)，

Inx

當(dāng)x〉e時(shí)，lnx>0,x>0,所以——>0,此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，所以有一個(gè)零點(diǎn)，B不正確；

x

因?yàn)?'<J7<a<e，/（九）在（o,e）上單調(diào)遞增，所以/（&）</（正）</⑵，

故選:AD.

10.（2023秋?江蘇南京高三第九中學(xué)月考）已知函數(shù)7口）=3X3+5m6+1（-14工〈1）的導(dǎo)函數(shù)為了'（%）,

則以下結(jié)論中，正確的是（）

A.（0,1）是“X）的對(duì)稱(chēng)中心B.“X）是增函數(shù)

C.7'（%）是偶函數(shù)D.“X）最大值與最小值的和為2

【答案】ACD

【解析】對(duì)A,已知函數(shù)/（X）+sin;u+l（-l<1）,貝i]〃-x）=-L3-sinm+l,

33

所以/（”+/（f）=2,因此"X）關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱(chēng)，故A正確；

對(duì)B,又/=+7icos7ix,貝!]r(0)=()2+7rcos0=n:>0,/")=12+7rcos7r=l—7r<0,所以/'(%)不是增

函數(shù)，故B不正確；

對(duì)C,又/(-x)=(—+7tCOS(-7Uf)=x2+7tCOS7IX=r(X),所以/'(X)是偶函數(shù)，故C正確;

對(duì)D,又函數(shù)/(%)在閉區(qū)間［-1,1］上有最值，又/(九)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)，所以“X)最大值與最小值的和

為2,故D正確.

故選：ACD.

11.(2023秋?江蘇常州?高三常州市聯(lián)盟學(xué)校月考)已知函數(shù)/(%)=土Y~二-L3空Y4二-1，其中xeR,則()

ex

A.不等式/(x)對(duì)VreR恒成立

B.若關(guān)于尤的方程/(%)=左有且只有兩個(gè)實(shí)根，則左的取值范圍(―e?,。］

C.方程/(/(x))=0恰有3個(gè)實(shí)根

D.若關(guān)于x的不等式/'(%)?依恰有1個(gè)正整數(shù)解，則。的取值范圍為

【答案】AD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,f\x)=—,+：-2=_(x+2)(x-l),

ee

當(dāng)％<—2或x>l時(shí)，r(x)<0,當(dāng)一24<1時(shí)，/^x)>0,

所以〃x)在(-?,-2),(1,茁)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增，

.?./(X)在x=—2出取得極小值，/(-2)=-e2,

在x=l處取得極大值，/(1)=

而x〉l時(shí)，恒有/(%)>0成立，

；?/(%)的最小值是-e2,即/(x)2—e?,對(duì)xeR恒成立，故A正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，方程/(力=左有且只有兩個(gè)實(shí)根，

即曲線(xiàn)/(%)與直線(xiàn)丁=左有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，

由A選項(xiàng)分析，曲線(xiàn)/(無(wú))與直線(xiàn)>=左圖像如下,

由圖知，當(dāng)—e?〈左＜0或左=』時(shí)，曲線(xiàn)/(%)與直線(xiàn)丁=左有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

e

對(duì)于C選項(xiàng)，由〃力=0,得d+3x+l=0,解得x=-3士君,

Az./\-3+壬n,/\-3-而2-3±y/5

令/(%)=——--，和/(%)=——--，nu-e<——--<0,

由圖像知，/(%)=-3丁和/(x)=-3丁分別有兩解：

綜上，方程/(/(x))=0共有4個(gè)根，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，直線(xiàn)產(chǎn)雙過(guò)原點(diǎn)，且/⑴=3,/(2)=?,43)=與,

eee

記左/⑴一°—5“2)—0」1〃3)-0」9

11-0e22-02e233-03e3

易判斷，k1>k2>k3,

不等式“x"砒恰有1個(gè)正整數(shù)解，

即曲線(xiàn)了(%)在y="的圖像上方對(duì)應(yīng)的x值恰有1個(gè)正整數(shù),

由圖可得左2<a<a，^4<a<-,故D正確.

故選：AD

a\x+

12.(2023秋?江蘇南京?高三六校聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=lnx-aGR，則下列說(shuō)法正確的是(

x-14)

A.當(dāng)a>0時(shí)，在(1,+s)上單調(diào)遞增

3

B.若/(%)的圖象在x=2處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y-5=0垂直，則實(shí)數(shù)

C.當(dāng)—1<。<0時(shí)，/(%)不存在極值

D.當(dāng)。>0時(shí)，“X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且石馬=1

【答案】ABD

【解析】因?yàn)?(x)=lnx_a(x+l)(aeR)，定義域?yàn)閧xIx>0且xw1},

X1

所以八月二:+”，

對(duì)于A(yíng),當(dāng)。>0時(shí)，r(x)>0,所以八工)在(0,1)和(L+8)上單調(diào)遞增，故A正確;

對(duì)于B,因?yàn)橹本€(xiàn)x+2y—5=0的斜率為—；，

又因?yàn)?(%)的圖象在x=2處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+2y—5=0垂直，

13

故令/'(2)=—+2〃=2,解得〃二一，故B正確；

24

對(duì)于c,當(dāng)一1<。<0時(shí)，不妨取〃=—工，

2

則/"(x)」-71%2-3x+1

x(x-l)2

令r(x)=0,則有f—3%+1=0,解得石=^—乎丹=3+乎，

當(dāng)%^o,——時(shí)，/<x)>0,/(%)在0,——上單調(diào)遞增;

當(dāng)％￡大一^~,1u1,—+-^-時(shí)，r(x)＜。,/(%)在，1,~+-^-上分別單調(diào)遞減;

22,22,v722,22,

\J\J\J\J

所以此時(shí)函數(shù)有極值，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由A可知，當(dāng)。＞0時(shí)，4%)在(0,1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)"1時(shí),/?)=-i+島一片＜°，

3a+13fl+1

/?『)=3a+l—機(jī)^^)(3?+l)(e-l)-tz(e+l)

e3fl+1-l

3?(e3fl+1-l)-a(e3fl+1+l)2a(e3fl+1-2)

e3o+1-1—e3fl+1-1>0

所以/(x)在(1,+8)上有一個(gè)零點(diǎn),

22a八

又因?yàn)楫?dāng)0<x<l時(shí)，/(ea}=-a—a\1+----->0,

尸一1e0-l

/■『1)-[l+^^卜-3a-1-q1+1r

3fl+I3fl+13fl+1

、l+e(3a+1)(1-e)+a(e+1)

-3fl+1

--3a-l-a-]_e3"il-e

3a(l-e3a+1)+a(e3o+1+l)

一l-e3a+1

4a-2ae3Q+12a(2-e3a+1)

-l-e3fl+1-—e3fl+1-l-<'

所以了(%)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn),

所以了(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于(0,1)和(1,+8)內(nèi);

設(shè)0<%<1<x2,

令/(x)=0,則有l(wèi)iu_a(x+D=0,

x-1

,jnI+1]a(x+l)

則/_=In------------=-In%——--=-lnx+------

WX，—]X-1

XX

=-[Inx---------]=0,

X-1

所以/(%)=0的兩根互為倒數(shù)，所以占％=1，故D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，多空題，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.已知“X)=-V+祖x+1在區(qū)間(-2,-1)上的最大值就是函數(shù)/(%)的極大值,則m的取值范圍是

【答案】(T-2)

【解析】因?yàn)?(尤)=一/+〃吠+1,所以析(x)=zn-2x,

令/'(x)=根-2尤=0,得x=g.

由題意得(-2,-1),

2

故777€(-4,—2).

故答案為：(<-2).

14.已知函數(shù)/(x)=sm:'的導(dǎo)函數(shù)為/(X),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若玉yR,使得((小)=0,

e

則實(shí)數(shù)/的取值范圍為

【答案】后

■々刀工廠(chǎng)▼—、4一/、sin%+Zcosx-sinx-Z

【解析】(1)由/(%)=——--，可得尸(%)=------------，

exex

因?yàn)橥?^7?,使得廣(%)=0,

所以三七金尺，使得cos%—sin%-，=0,

貝！)有t=cos-sinx0=A/2(^-COSX0-^-sinx0),

所以1二COS(X0+—)E,[f/5,,

所以實(shí)數(shù)/的取值范圍為［-72,也;

故答案為：［-夜,0］

15.（2023秋,湖南?高三部分學(xué)校聯(lián)考）如圖，已知平面五邊形ABCDE的周長(zhǎng)為12,若四邊形ABDE為正

方形，且則當(dāng)△3CQ的面積取得最大值時(shí)，AB=.

27-3VU

【答案】

8-

【解析】過(guò)點(diǎn)。作CFL8D,垂足為設(shè)45=龍（尤＞0）,則==

3

?：BC=CD,：.3AB+2BC=12,則BC=6——x,

2

由BC>0,BC+CD>BD,得0<x<3.

在才中，CF=YBC?-BF?=—18x+36?

記△BCD的面積為S,則S=>5?CR=業(yè)占4—9》3+18宗.

22

設(shè)函數(shù)f(x)=x4-9x3+18x2,則