2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中卷（湘教版2019）

（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：湘教版2019必修第二冊(cè)第一章至第三章

5.難度系數(shù)：0.7.

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知向量2=（1,2）,B=（X,4）,若向量N,B，貝IJX=（）

A.-8B.-2C.8D.2

【答案】A

【詳解】因?yàn)閍/B，所以展B=JC+2X4=0，解得X=-8.

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)z=m+l+（加-l）i（機(jī)eZ）的共輾復(fù)數(shù)［對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則加的值為（）

A.-1B.0C.1D.±1

【答案】B

【詳解】由題，z=m+l-（m-l）i,［對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

fm+1>0

則?八，可得T（加<1，又加為整數(shù)，所以冽=0.

故選：B.

3.如圖，有三個(gè)相同的正方形相接，^ZABC=a,ZACD^p,貝Utan（a+#）=（）

【答案】B

【詳解】設(shè)正方體邊長為1,由圖可得tana=；,tan￡=g,

tana+tan萬

則tan(a+6)==1

1一tanatan/?

故選：B

4.己知向量￡、書滿足k-可=卜|,且網(wǎng)=2,則的值為（

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【詳解】因?yàn)橄蛄咳霑鴿M足|【可=同，且同=2,則",=二,

故/一27%片=7,所以，=綱2=gx22=2.

故選：A.

5.在△ABC中，D,E分別是邊5C,的中點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足方=2或，則麗=（）

1—?1―?1—1—.1—,1—?1—?1—?

A.-AB+-ACB.—AB——ACC.-AB+-ACD.-AB——AC

36366363

【答案】D

【詳解】

訪=善一荏4而彳元=:（而+衣）彳次=:方-（胃,

故選：D.

6.已知sin[q+aJ=-§,則cos121+§J=()

77

D.

9BTc?$9

【答案】D

【詳解】因?yàn)閟in（9+a

jr-rr-rr17

由cos(2cr+§)=cos[2(a+—)]=1-2sin2(a+—)=1-2x(--)2=—.

故選：D.

7.在△NBC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=VL

(sin^-sinS)(Z)+a)=c(sin5+sinC),則△48C面積的最大值為()

A.1B.yC.—D.在

4242

【答案】C

【詳解】在△48C中，(sin/-sinB)(b+a)=c(sinB+sinC),

由正弦定理得(a-b)(6+a)=c(6+c),BPa2=b2+c2+bc,

由余弦定理得儂人”A24/2二__a2-be

2bc2

--3=a2=b2+c2+bc>2bc+bc=3bc,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=1時(shí)取等號(hào)，因此6c41,

???lxABC面積S=4csin/=^-bc<—，

244

.,.當(dāng)6=c=l時(shí)，A/BC的面積取得最大值L.

4

故選：C.

8.在三角形內(nèi)到其三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當(dāng)△/2C的三

個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，使得乙4OB=ZBOC=ZCOA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)AABC有一個(gè)內(nèi)角大于或

等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)，在△ABC中，若8C=4,且sin/:sin3:sinC=2后：2:1，則該

三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為（）

A.472B.372

C.4+V2D.4+2收

【答案】B

【詳解】設(shè)△NBC的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

因?yàn)閟iih4:sinB:sinC=2A/2:2:1>

所以由正弦定所得a：6：c=2jL2:l，

又a=4,所以6=2V2,C=s[2，

由余弦定理得cos/=^W8+2-1631

—<——

2X2A/2xV242

所以/>120%所以頂點(diǎn)A為費(fèi)馬點(diǎn)，

故點(diǎn)A到各頂點(diǎn)的距離之和為b+c=3日

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.mn。4n。inn。.4n。百Rtan22°+tan38°瓜

A.sinlOOcos40coslOOsin40=B.=73

21-tan22°tan38°

C.sin225cos22.5。="D.cos2150-sin2150

22

【答案】AB

=立，故A正確;

【詳解】對(duì)于A,sinl000cos400-cosl000sin40°=sin(100°-40")=sin600

2

對(duì)于B,tan221tan38。=02°+38°)=tan60°=VL故B正確；

l-tan22°tan38°''

iii行5

對(duì)于c,sin22.5°cos22.5°=—?2sin22.5°cos22.5°=—sin45°=—x——=——,故c錯(cuò)誤；

22224

對(duì)于D,cos2150-sin215°=cos(2xl50)=cos30°=,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.已知復(fù)數(shù)句，Z],則下列說法不正確的是（）

A.若㈤="|,則z；=z：

B.若Z]-Z2>0,貝l]a>Z2

C.Z]Z2eR是Z1=z?的充分不必要條件

D.團(tuán)=1,區(qū)|=1,忸7=1,則B+Z2|=總

【答案】ABC

【詳解】對(duì)于A,令4=l,Z2=i,滿足團(tuán)=閭，顯然z；=z；不成立，錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令Z]=2+S=l+i,滿足4-Z2>0,顯然Z]>Z2不成立，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令4=1/2=-1,滿足z—eR,此時(shí)Z]=z?不成立，錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由㈤=1,|z2|=1,可得Z；=l,2；=l,

z?|=l可得：|zj—z2|=+z2—2zj-z2=\,

所以2z/Zz=l,

所以匕+Z2-=Z；+z；+2Z].Z2=3,則匕]+Z2]=g,正確；

故選：ABC

11.已知點(diǎn)P是△4BC的中線8。上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）且萬=工商+了/，則下列說法正確的是（）

l12

A.x+2y=lB.2x+y=lC.2X+4y>2V2D.-+一的最小值是9

xy

【答案】ACD

【詳解】由題知，設(shè)麗=4而（0<4<1）,

貝1」方=花+而=方+4而

______Q

=AB+A(AD-AB^=^-A,)AB+^AC,

因?yàn)槿f=x15+y衣，

1—%=X

所以,X，則X+2〉=1,且x〉0/>0,A正確，B不正確;

—=y

12，

2%+4、=2、+22y>2,23=272，

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=；時(shí)，等號(hào)成立，C正確；

=1+4+^+—>5+2>/4=9,

xy

2y2x1

當(dāng)且僅當(dāng)-=一，即'=^=彳時(shí)，等號(hào)成立，D正確.

xy3

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.鎮(zhèn)江的慈壽塔是金山寺的標(biāo)志性建筑，創(chuàng)建于1400余年前的齊梁時(shí)期.某同學(xué)為了測(cè)量慈壽塔即的

高，他在山下A處測(cè)得塔尖。點(diǎn)的仰角為45。，再沿正對(duì)塔即方向前進(jìn)20米到達(dá)山腳點(diǎn)8,測(cè)得塔尖點(diǎn)。

的仰角為60。，塔底點(diǎn)E的仰角為30。，則慈壽塔高約為米.（6=1.7,答案保留整數(shù)）

【答案】31

ZDBC=60°,ZEBC=30°,45=20,

設(shè)3C=x,則。￡=走％,DCfx,DC=AC,

3

r-20

???=x+20,%=石_］，

則占述片坦齊文

33V3-1

故答案為：31.

13.已知a=(x,2x),B=(-3x,2),如果"與否的夾角為鈍角，則x的取值范圍是.

【答案】

【詳解】向量Z與書的夾角為鈍角，則￡%=-3X2+4X<0，

4

解得x<0或x>§；

又向量￡與書不共線，所以2工+6—30,解得且XWO；

故所求x的取值范圍是18,-￡|d-；,0卜.

故答案為：

14.若sin2a=避^,sin(〃-a)=@^,且ae—,pe

貝lja+)=

510142」L2

7兀

【答案】彳

>0,所以2a

3^/10

COS(尸

10

所以cos（a+夕）=cos[（夕-a）+2a]=cos（夕-a）cos2a-sin（夕-<z）sin2c

r3A/W^(2后Vio亞3710x275VlOxVs6病-病5病后

―I10JI5J10510x510x5—50-50-2

因?yàn)镻G,所以二+兀］.

在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，cos(a+/7)=與時(shí)，+尸=?.

、7兀

故答案為：—.

4

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)設(shè)A,B,C,。為平面內(nèi)的四點(diǎn)，已知。(3,1),5(—2,2),C(-l,4),

(1)若四邊形/3C。為平行四邊形，求。點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若A,C,。三點(diǎn)共線，BD-AC=-18,求。點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)因?yàn)?(3,1),3(-2,2),C(-l,4),所以而=(1,2),(2分)

因?yàn)樗倪呅蜰8CD為平行四邊形，所以前=而，(3分)

設(shè)￡>(x,y),所以詬=(x-3)-l),

1x—3=1（x=4/、

所以1,,所以。4,3（5分）

[y-1=23=3

（2）因?yàn)锳,C,。三點(diǎn)共線，AC=（-4,3）,

所以設(shè)五5=4就=4（-4,3）=（-44,34）,（7分）

又/（3,1）,所以。（3-44,1+3彳），所以麗=（5-4尢32-1）,（9分）

又赤.衣=-4（5-4X）+3（32T=-18n2=g（11分）

所以（13分）

16.（15分）已知見方為銳角，sin（a+/?）=；,sinacos^=V.

（1）求證：tana=5tan4；

⑵cos（a—夕）的值.

【詳解】（1）證明：因?yàn)閟in（e+0=；,

所以sinacos/7+cosasin，=；,（2分）

又sinacos4=^，

所以cosasin/?=；-'=’,（4分）

?.八.八sinalsin￡、

所以sinacos/3=5cosasm/3,即----=5-------（5分）

cosacos/3

所以tana=5tan/?（6分）

（2）sin（a—萬）=sinacos￡—cosasiny0=，一五=；,（8分）

°o18

所以cos（a_/7）=l_sin（2_力）=1_3=3,（11分）

因?yàn)閍,/?為銳角，所以0<a<TT|>0</<TT],所7T以（12分）

所以一TT]<[-￡<]7T,（13分）

所以cos（a-P）

17.（15分）記銳角三角形/8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知。=2,6cos2=亞sin22.

⑴求A；

⑵求（6-1）6+缶的最大值.

【詳解】（1）因?yàn)閎cosB=V^sin25,所以bcosB=2拒sinB?cos5.（2分）

又△N8C為銳角三角形，故cos八0,貝|」3=2血=工

sinBsinA

因?yàn)椤?2,所以sin4=4^.（4分）

2

乂故/=；.（5分）

（2）由正弦定理得<=$=，=2也，

sinBsmCsinA

則b-2V2sin8，c=2V2sinC-（7分）

由⑴知”?則c寸s

所以（有一1%+岳=20（百一1卜inB+4sinC

（26-2行卜inB+4sin

26sinB+2V2cosB-4后sinB+—,（10分）

因?yàn)椤?8C為銳角三角形,

0<B<-

7冗冗

所以2，所以:（12分）

八371n兀42

所以誓<3+2〈?，（13分）

1263

所以當(dāng)8+2=￡時(shí)，即2=￡時(shí)，（6-1）6+&c取得最大值40.（15分）

623''

18.（17分）在△45。中，角A,B,。所對(duì)的邊分別是。，b,c,且滿足2bcosC=2a-c.

AD

（1）求角B；

（2）若6=2,求△4BC面積的最大值.

（3）如圖，若△ABC外接圓半徑為半，。為NC的中點(diǎn)，且8。=2,求△4BC的周長.

【詳解】（1）由正弦定理得：2sin5cosC=2sin^-sinC,（1分）

又Z+5+C=7l,

/.2sinBcosC=2sin+C）-sinC=2sinBcosC+2cos5sinC-sinC,（2分）

即2cos5sinC=sinC,（3分）

又。￡（0,兀），sinCwO,cosB=；,（4分）

又兀），力二不（5分）

（2）由余弦定理得從=/+/-2QCCOSB,,,./72=a2+c2-ac（6分）

b1=a1+C1-ac>lac-ac=ac，（8分）

/.ac<4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時(shí)等號(hào)成立，（9分）

=LcsmB/x4x也

V=V3，

□AABC222

所以△ABC面積最大值為g；（10分）

（3）由正弦定理得—竺=2x偵，解得6=2收，即/C=20,（11分）

sin53

。為NC邊上的中點(diǎn)，.?./￡>=CD=正，（12分）

由余弦定理得/=/+/一2〃CCOS5,即。2+。2_四=8①，（13分）

4+2-。2

方法一：在中，cosABDA

2x2xV2

4+2-/

在ABCD中,cosZBDC=

2x2x^2

ABDA+Z.BDC=it,/.cosABDA+cosZ.BDC=0,

4+2-c?4+2-/

即0,整理得:a2+c2=12②,

2x2xV22X2XV2

由①②得：ac=4,（15分）

（a+c）-=a2+c2+2ac—20,解得：a+c—2y[5）（16分）

48c的周長為a+6+c=2行+25（17分）

方法二：由向量加法得2麗=滋+數(shù)，

4BD2=BA+BC2+2BA-BC>BP16=c2+a2+ac@,

由①②得ac=4,（15分）

(Q+c)2=+。2+2〃。=20,解得Q+C=2A/^,(16分)

△/5C的周長為〃+b+c=2后+2日(17分)

19.（17分）行列式在數(shù)學(xué)中是一個(gè)函數(shù)，無論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論,還是在微積分學(xué)中（比如說換

“11

元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用.將形如的符號(hào)稱二階行列式，并

a2\

2sinxsin2x

規(guī)定二階的行列式計(jì)算如下:=〃1口22一％2〃21，設(shè)函數(shù)/（%）=71(xeR).

2cosX+-

（1）求/（X）的對(duì)稱軸方程及在[0,兀]上的單調(diào)遞增區(qū)間;

a___o___1___n

(2)在銳角△45。中，已知/(2)=—],)萬=]赤+§次,cos5=三，求tanN氏40.

V31.1

【詳解】(1)/(x)=2siiw-cosL+^-2sin2x=2sinx——cosx——sinx-2sin2x

22J

sin2x^(l-cos2x)=Gs]*（2分）